Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
Pytania na egzamin licencjacki
KIERUNEK MATEMATYKA
WSTĘP DO MATEMATYKI
-
Relacja (częściowego) porządku. Przykłady własności zbiorów liniowo uporządkowanych, których nie musi mieć każdy zbiór (częściowo) uporządkowany, i własności zbiorów dobrze uporządkowanych, których nie musi mieć każdy zbiór liniowo uporządkowany. Pojęcie izomorfizmu porządkowego. Lemat Kuratowskiego-Zorna, przykłady zastosowań.
-
Równoliczność zbiorów. Co to znaczy, że moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B? Twierdzenie Cantora (moc zbioru X jest mniejsza od mocy zbioru potęgowego zbioru X). Twierdzenie Cantora-Bernsteina. Przykłady zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych. Czy każdy zbiór nieprzeliczalny jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych? Czy istnieje zbiór o największej mocy?
-
Własności obrazu i przeciwobrazu zbioru względem funkcji. Zachowanie operacji obrazu i przeciwobrazu względem działań na zbiorach. Równoliczność obrazu zbioru A z odpowiednim zbiorem ilorazowym zbioru A.
ANALIZA MATEMATYCZNA
-
Ciągi liczb rzeczywistych. Zbieżność ciągu, warunek Cauchy'ego, zupełność zbioru liczb rzeczywistych.
-
Szeregi liczbowe, zbieżność bezwzględna i warunkowa. Przykłady kryteriów zbieżności i ich zastosowań.
-
Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji i odwzorowań. Twierdzenie o osiąganiu kresów przez funkcję ciągła na przedziale domkniętym. Przykład funkcji ciągłej niejednostajnie ciągłej.
-
Pochodna funkcji:
-
zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych;
-
odwzorowania z przestrzeni Rn o wartościach w Rm.
-
Pochodne cząstkowe. Obliczanie pochodnych.
-
Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej (twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a). Przykład zastosowania.
-
Szeregi potęgowe; przedział zbieżności, różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego, przykłady.
-
Ekstrema funkcji:
-
jednej zmiennej;
-
wielu zmiennych.
-
Warunki konieczne i dostateczne. Przykład wyznaczania ekstremum.
-
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym, twierdzenie o funkcji odwrotnej i twierdzenie o funkcji uwikłanej. Pojęcie rozmaitości różniczkowej.
-
Całka funkcji jednej zmiennej. Całka nieoznaczona i oznaczona. Zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego. Obliczanie całek.
-
Konstrukcja całki i miary Lebesgue’a oraz miary powierzchniowej. Przykład zbioru niemierzalnego w sensie Leesgue’a.
-
Całki iterowane (twierdzenie Fubiniego). Przykłady obliczania całek iterowanych.
-
Wzór na całkowanie przez podstawienie:
-
dla funkcji jednej zmiennej;
-
dla funkcji wielu zmiennych;
-
przykład zastosowania.
-
Twierdzenie o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy w teorii całki Lebesgue'a. Przykład zastosowania.
-
Przykład wzoru zamieniającego całkę po obszarze na płaszczyźnie na całkę po brzegu tego obszaru.
GEOMETRIA Z ALGEBRĄ LINIOWĄ
-
Rozwiązywanie układów równań liniowych. Elementarne operacje na macierzach, metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenia Kroneckera-Cappelli'ego i Cramera.
-
Ciała: definicja, przykłady. Liczby zespolone: własności, postać trygonometryczna, pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry.
-
Przestrzenie liniowe: definicja, przykłady. Układy liniowo niezależne, bazy, wymiar przestrzeni liniowej.
-
Przekształcenia liniowe: definicja, przykłady, macierz przekształcenia liniowego. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.
-
Przestrzenie własne i wartości własne endomorfizmów liniowych, sposoby ich znajdowania. Podobieństwo macierzy, diagonalizowalność, postać Jordana macierzy, twierdzenie Jordana.
-
Rząd, wyznacznik i ślad macierzy. Sposoby obliczania. Przykłady zastosowań.
-
Przestrzenie przekształceń liniowych. Funkcjonały liniowe, przestrzeń sprzężona do przestrzeni liniowej, baza sprzężona.
-
Formy dwuliniowe i kwadratowe: definicje, przykłady, macierz formy dwuliniowej. Diagonalizacja form dwuliniowych i kwadratowych, twierdzenie o bezwładności.
-
Iloczyny skalarne: definicja, przykłady, kryterium Sylvestera. Przestrzenie euklidesowe, miary, kąty. Izometrie.
ALGEBRA DLA MSEM
-
Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy.
-
Relacja porządku częściowego i liniowego, elementy maksymalne i największe.
-
Porównywanie mocy zbiorów. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne. Przeliczalność sumy i iloczynu kartezjańskiego zbiorów przeliczalnych. Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora.
-
Ciała: definicja, przykłady. Liczby zespolone: własności, postać trygonometryczna, pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry.
-
Rozwiązywanie układów równań liniowych. Operacje elementarne na macierzach, metoda eliminacji Gaussa.
-
Przestrzenie liniowe: definicja, przykłady. Układy liniowo niezależne, bazy, wymiar przestrzeni liniowej.
-
Przekształcenia liniowe: definicja, przykłady, macierz przekształcenia liniowego. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.
-
Rząd, wyznacznik i ślad macierzy. Sposoby obliczania. Przykłady zastosowań.
-
Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne. Wektory i wartości własne endomorfizmów liniowych, sposoby ich znajdowania. Podobieństwo macierzy, diagonalizowalność, postać Jordana macierzy, twierdzenie Jordana.
-
Formy dwuliniowe i kwadratowe: definicje, przykłady, macierz formy dwuliniowej.
-
Iloczyny skalarne: definicja, przykłady, kryterium Sylvestera.
-
Przestrzenie euklidesowe, miary, kąty. Izometrie.
-
Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Grupy permutacji. Warstwy grupy względem podgrupy, twierdzenie Lagrange'a. Homomorfizm grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa, twierdzenie o homomorfizmie. Działanie grupy na zbiorze.
-
Pierścienie przemienne z 1, homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Pierścień K[X] i ideały w nim.
WSTĘP DO INFORMATYKI
-
Problem algorytmiczny i jego rozwiązanie. Przykłady.
-
Funkcje i procedury rekurencyjne. Przykłady.
-
Metoda programowania “dziel i rządź". Zastosowania.
-
Dynamiczne struktury danych: listy, stos, kolejki, drzewa binarnych poszukiwań.
-
Sposoby reprezentacji grafu, przeszukiwanie grafu wszerz i w głąb. Zastosowania.
-
Złożoność obliczeniowa algorytmu. Przykłady algorytmów o różnej złożoności obliczeniowej.
-
Hipoteza P=NP, sformułowanie, znaczenie i konsekwencje.
-
Reprezentacja i arytmetyka liczb rzeczywistych w komputerze.
ALGEBRA
-
Podstawowe struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała i ich homomorfizmy. Przykłady:
-
grup – grupy permutacji, grupy izometrii, grupy macierzy;
-
pierścieni – pierścień wielomianów, pierścień szeregów formalnych, pierścień funkcji ciągłych;
-
ciał – ciała liczbowe, ciało funkcji wymiernych, ciała skończone.
-
Konstrukcje ilorazowe na przykładzie grup i pierścieni. Przykłady: abelianizacja grupy, rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu.
-
Związki pomiędzy rzędem grupy i rzędami podgrup, twierdzenia Lagrange’a, Cauchy’ego i Sylowa.
-
Działania grupy na zbiorach - orbity, grupy izotropii, zbiór orbit. Przykłady: działanie grupy na zbiorze warstw względem podgrupy, działanie grupy na zbiorze swoich elementów przez automorfizmy wewnętrzne. Przykłady zastosowań.
-
Iloczyn prosty grup, klasyfikacja skończonych grup abelowych.
-
Własności elementów pierścienia: elementy odwracalne, dzielniki zera. Dziedziny całkowitości: elementy pierwsze i nierozkładalne. Dziedziny z jednoznacznością rozkładu i ich przykłady: pierścienie wielomianów, pierścień Gaussa.
-
Rozszerzenia ciał: elementy algebraiczne i przestępne. Ciała algebraicznie domknięte, algebraiczne domknięcie.
TOPOLOGIA
-
Pojęcie przestrzeni topologicznej. Topologia przestrzeni. Czy każda topologia pochodzi od jakiejś metryki? (wyjaśnij użyte pojęcia, podaj przykłady).
-
Definicja ciągłości funkcji dla przestrzeni metrycznych i dla przestrzeni topologicznych. Równoważność tych definicji w przypadku przestrzeni metrycznych (z uzasadnieniem)
-
Przestrzenie zwarte: definicja, przykłady. Metryczny warunek zwartości. Zwarte podzbiory przestrzeni Rn, funkcje ciągłe określone na przestrzeni zwartej.
-
Przestrzenie metryczne zupełne: definicje, przykłady. Czy przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna, czy przestrzeń zupełna i ograniczona jest zwarta (dlaczego tak/nie)? Twierdzenie Baire'a. Dlaczego nie można opuścić żadnego z założeń tego twierdzenia?
-
Spójność i łukowa spójność przestrzeni topologicznych. Czy któraś z tych własności implikuje drugą? (przykład na brak wynikania w którąś stronę, wyjaśnij użyte pojęcia, podaj przykłady).
-
Homeomorficzność przestrzeni topologicznych, przykłady. Czy z istnienia ciągłej bijekcji f: X &arrow; Y wynika istnienie homeomorfizmu? Czy takie wynikanie ma miejsce przy jakichś szczególnych założeniach o przestrzeniach?
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
-
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Globalność rozwiązań.
-
Rozwiązywanie równań o zmiennych rozdzielonych, a także jednorodnych i niejednorodnych metodą uzmienniania stałej.
-
Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
-
Stabilność i asymptotyczna stabilność rozwiązania stacjonarnego równań autonomicznych; w szczególności, dla układu liniowego.
-
Całki pierwsze.
-
Definicja potoku i orbity. Szkicowanie portretów fazowych autonomicznych układów liniowych o stałych współczynnikach w R2.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
-
Model doświadczenia losowego. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. Paradoksy w teorii prawdopodobieństwa.
-
Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Przykłady zastosowań obu wzorów.
-
Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych. Model probabilistyczny dla ciągu niezależnych doświadczeń. Schemat Bernoulliego i twierdzenie Poissona.
-
Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanty, gęstości. Typy rozkładów (dyskretne, ciągłe). Parametry rozkładów (wartość oczekiwana i wariancja). Nierówność Czebyszewa.
-
Ważniejsze rozkłady prawdopodobieństwa (Bernoulliego, Poissona, wykładniczy, gaussowski). Przykłady zagadnień, w których pojawiają się poszczególne rozkłady.
-
Suma niezależnych zmiennych losowych. Wyznaczanie jej rozkładu (gęstości, dystrybuanty) przy użyciu pojęcia splotu funkcji.
-
Zbieżność zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej: według prawdopodobieństwa, prawie na pewno i według p-tego momentu. Związki między tymi rodzajami zbieżności.
-
Twierdzenia graniczne: prawa wielkich liczb, twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a jako szczególny przypadek centralnego twierdzenia granicznego. Przykłady zastosowań.
MATEMATYKA OBLICZENIOWA
-
Numeryczne rozkłady macierzy: trójkątno-trójkątny (LU) i ortogonalno-trójkątny (QR). Zastosowania do rozwiązywania układów równań algebraicznych liniowych. Koszt, własności numeryczne.
-
Normy wektorowe i macierzowe oraz ich własności. Wrażliwość numerycznych rozwiązań układu równań liniowych na zaburzenia danych.
-
Interpolacja wielomianowa. Wzór na resztę interpolacyjną i jego zastosowania.
-
Aproksymacja w przestrzeniach unitarnych oraz jednostajna.
-
Kwadratury interpolacyjne i złożone dla numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej. Zbieżność kwadratur złożonych.
-
Metody numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych skalarnych. Szybkość i warunki zbieżności tych metod.
STATYSTYKA/STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
-
Estymatory.
-
Przedziały ufności.
-
Testowanie hipotez statystycznych.
-
Model liniowy Gaussa.
FUNKCJE ANALITYCZNE
-
Różniczkowalność w sensie zespolonym i jej związek z równaniami Cauchy’ego-Riemanna. Co funkcje holomorficzne mają wspólnego z odwzorowaniami konforemnymi podzbiorów płaszczyzny zespolonej? Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi.
-
Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej. Ich podstawowe własności. Grupa homografii. Obrazy prostych i okręgów w przekształceniu homograficznym. Homografie jako przekształcenia sfery Riemanna.
-
Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Cauchy’ego o całkach po krzywych homotopijnych. Wzór całkowy Cauchy’ego. Indeks krzywej zamkniętej na płaszczyźnie zespolonej względem punktu tej płaszczyzny - definicja i podstawowe własności.
-
Różne charakteryzacje funkcji holomorficznych. Twierdzenie Morery. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych.
-
Zasada maksimum. Twierdzenie Liouville’a. Zasadnicze Twierdzenie Algebry.
-
Twierdzenie Laurenta. Osobliwości punktowe (izolowane) funkcji holomorficznych - ich klasyfikacja i podstawowe własności. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania.
-
Zera i bieguny funkcji meromorficznej. Ich związek z pochodną logarytmiczną funkcji - zasada argumentu. Twierdzenie Rouché’go.
ANALIZA MATEMATYCZNA
-
Ciągłość funkcji i najważniejsze własności funkcji ciągłych.
-
Pochodna funkcji jednej zmiennej, interpretacja geometryczna i mechaniczna.
-
Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej, jego interpretacja geometryczna i niektóre konsekwencje (monotoniczność, wklęsłość, wypukłość, szacowanie przyrostów).
-
Wzór Taylora dla funkcji jednej zmiennej, zastosowania do obliczeń przybliżonych, rozwijanie funkcji w szeregi potęgowe.
-
Pojęcie zbieżności ciągów liczbowych i funkcyjnych, twierdzenia o przejściu do granicy pod znakiem pochodnej i całki.
-
Ekstrema funkcji jednej i kilku zmiennych rzeczywistych: warunki konieczne i dostateczne.
-
Funkcja pierwotna, całka oznaczona. Zastosowania geometryczne całki (przykłady).
-
Całka Riemanna.
GEOMETRIA Z ALGEBRĄ LINIOWĄ
-
Definicja grupy i grupy przemiennej.
-
Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych.
-
Przestrzenie liniowe, liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej.
-
Macierze i przekształcenia liniowe, wyznaczniki.
-
Wektory i wartości własne macierzy i przekształceń liniowych.
-
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań układów równań liniowych, eliminacja Gaussa.
-
Przestrzenie z iloczynem skalarnym.
PODSTAWY MATEMATYKI
-
Działania na zbiorach.
-
Funkcje i ich własności.
-
Relacje równoważności i ich własności.
-
Moce zbiorów.
-
Porządki częściowe i ich własności.
-
Dobre ufundowanie i indukcja.
-
Rachunek zdań - semantyka i naturalna dedukcja.
-
Przykłady opisu własności struktur matematycznych w logice pierwszego rzędu.
MATEMATYKA DYSKRETNA
-
Metody obliczania sum skończonych.
-
Współczynniki dwumianowe i inne liczby specjalne występujące w kombinatoryce.
-
Równania rekurencyjne i funkcje tworzące.
-
Metody zliczania: zasada włączania-wyłączania, enumeratory.
-
Grafy: podstawowe pojęcia, cykle Eulera i Hamiltona.
-
Grafy dwudzielne: skojarzenia i tw. Halla.
-
Planarność i kolorowanie grafów.
-
Elementarna teoria liczb: podzielność, liczby pierwsze, rozkład na czynniki.
-
NWD i algorytm Euklidesa.
-
Arytmetyka modularna: małe tw. Fermata i tw. Eulera, chińskie tw. o resztach.
-
Asymptotyka: notacja asymptotyczna, twierdzenie o rekurencji uniwersalnej.
-
Asymptotyka: szacowanie sum.
WSTĘP DO PROGRAMOWANIA
-
Analiza złożoności programów komputerowych – złożoność asymptotyczna, koszt czasowy i pamięciowy, analiza kosztu zamortyzowanego.
-
Sposoby formalnego opisu składni języka programowania.
-
Metody abstrakcji – procedury, funkcje; metody enkapsulacji.
-
Rekurencja – pojęcie rekurencji, sposób realizacji; analiza złożoności programów rekurencyjnych.
-
Reprezentacja podstawowych typów danych w pamięci.
-
Metoda dziel i zwyciężaj – przykłady.
-
Sortowanie, metody i zastosowanie.
-
Przeszukiwanie z nawrotami (back-tracking).
-
Programowanie dynamiczne i spamiętywanie.
-
Programowanie zachłanne.
-
Kolejki i stosy.
-
Przeszukiwanie grafów. Obiegi drzew.
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
-
Kryteria oceny efektywności algorytmów.
-
Koszt zamortyzowany.
-
Podstawowe algorytmy sortowania.
-
Słowniki i metody ich realizacji.
-
Kolejki priorytetowe i metody ich realizacji.
METODY NUMERYCZNE
-
Uwarunkowanie i numeryczna poprawność.
-
Algorytmy rozkładu macierzy i ich zastosowania.
-
Interpolacja wielomianowa.
-
Aproksymacja w przestrzeniach unitarnych oraz jednostajna.
-
Metody numeryczne całkowania.
-
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych i nieliniowych.
SEMANTYKA I WERYFIKACJA PROGRAMÓW
-
Metoda operacyjna definiowania semantyki języków programowania.
-
Metoda denotacyjna definiowania semantyki języków programowania.
-
Przekazywanie parametrów w procedurach i reguły widoczności identyfikatorów.
-
Weryfikacja poprawności programów. Metoda niezmienników. Logika Hoare'a.
JĘZYKI, AUTOMATY I OBLICZENIA
-
Języki regularne, wyrażenia regularne i automaty skończone.
-
Języki bezkontekstowe, gramatyki bezkontekstowe i automaty ze stosem.
-
Lematy o pompowaniu dla języków regularnych i bezkontekstowych.
-
Języki obliczalne oraz języki częściowo obliczalne. Problem stopu oraz metoda przekątniowa.
-
Klasy P, NP oraz NP-zupełność.
PROGRAMOWANIE OBIEKTOWE
-
Pojęcia klasy i obiektu.
-
Konstruktory w Javie i ich zastosowanie.
-
Kapsułkowanie danych i zakresy widoczności w Javie.
-
Dziedziczenie i hierarchie klas. Klasy abstrakcyjne i interfejsy.
-
Podmienianie metod jako realizacja polimorfizmu.
-
Obsługa wyjątków. Hierarchie wyjątków.
-
Standardowe kolekcje w Javie.
BAZY DANYCH
-
Relacyjny model danych.
-
Podstawowe konstrukcje języka SQL i sposoby ich realizacji.
-
Rodzaje metadanych i ich rola.
-
Redundancja a postacie normalne.
-
Przejście od modelu pojęciowego do modelu logicznego.
-
Fizyczna reprezentacja danych.
PROGRAMOWANIE WSPÓŁBIEŻNE
-
Poprawność programów współbieżnych.
-
Mechanizmy synchronizacji programów współbieżnych w systemach scentralizowanych i rozproszonych.
-
Klasyczne problemy współbieżności (problem wzajemnego wykluczania, problem producenta-konsumenta, czytelników i pisarzy, 5 filozofów) i przykłady ich rozwiązania.
-
Algorytmy rozproszone: wzajemne wykluczanie, synchronizacja zegarów logicznych uzgadnianie.
-
Wsparcie dla współbieżności w językach programowania Java, C++ oraz w systemie operacyjnym Unix.
SYSTEMY OPERACYJNE
-
Mechanizmy sprzętowe potrzebne do realizacji wielodostępnych, wieloprocesowych systemów operacyjnych.
-
Podstawy programowania niskopoziomowego, asembler.
-
Algorytmy szeregowania procesów.
-
Pamięć wirtualna. Cechy charakterystyczne różnych technik realizacji pamięci wirtualnej.
-
Funkcje systemowe do obsługi plików z poziomu użytkownika (czynności wykonywane przez system operacyjny, struktury danych).
SIECI KOMPUTEROWE
-
Warstwy sieci.
-
Protokoły TCP, UDP, IP, ICMP, Ethernet.
-
Adresy internetowe, tablice tras, zasady trasowania, NAT.
-
System nazw domenowych.
-
Sieciowy interfejs gniazd.
INŻYNIERIA OPROGRAMOWANIA
-
Procesy wytwarzania oprogramowania.
-
Zwinne wytwarzanie oprogramowania.
-
Inżynieria wymagań.
-
Metody i języki modelowania w inżynierii oprogramowania.
-
Architektura oprogramowania.
-
Zapewnianie jakości oprogramowania.
-
Ewolucja i pielęgnacja oprogramowania.
JĘZYKI I PARADYGMATY PROGRAMOWANIA
-
Modele obliczeń i paradygmaty programowania.
-
Programowanie funkcyjne.
-
Programowanie imperatywne.
-
Typy, kontrola typów.
-
Programowanie obiektowe.
-
Programowanie w logice.
-
Maszyna wirtualna.
-
Podstawy translacji programów.
-
Deklaracje i typy danych.
-
Odśmiecanie.
-
Mechanizmy abstrakcji w językach programowania.
-
Parsowanie.
IPP i BLOK JNP
-
Znajomość konstrukcji programistycznych języków C i C++.
-
Znajomość metod zarządzania konfiguracjami i wersjami oprogramowania.
-
Znajomość technik i narzędzi tworzenia oprogramowania (linkowanie, debugowanie, profilowanie itd.)
APLIKACJE WWW
-
Rodzina protokołów HTTP.
-
Mechanizmy tworzenia stron internetowych: HTML, CSS.
-
Język JavaScript oraz jego unikalne cechy.
-
Języki kompilowane na JavaScript.
-
Mechanizmy budowania aplikacji internetowych: ciasteczka, żądania, routing, widoki, mapowanie obiektowo-relacyjne.
-
Bezpieczeństwo aplikacji webowych.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA
-
Prawdopodobieństwo warunkowe: prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń.
-
Dyskretne zmienne losowe i ich rozkłady: rozkład dwumianowy, geometryczny, Poissona.
-
Parametry rozkładu: wartość oczekiwana, wariancja, funkcje tworzące prawdopodobieństwa.
-
Nierówności probabilistyczne: Markowa, Czebyszewa, Chernoffa.
-
Ciągłe zmienne losowe: definicja, własności, rozkład wykładniczy oraz normalny, centralne twierdzenie graniczne.
-
Łańcuchy Markowa: prawdopodobieństwa oraz średnie czasy dotarcia, twierdzenie ergodyczne.
-
Wnioskowanie statystyczne: estymatory nieobciążone, estymatory największej wiarygodności.
BEZPIECZEŃSTWO SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
-
Podstawy kryptografii.
-
Infrastruktura klucza publicznego.
-
Modele i klasy bezpieczeństwa systemów informatycznych.
-
Modele uwierzytelniania, strategie kontroli dostępu.
-
Bezpieczeństwo protokołów komunikacyjnych i aplikacji.
-
Praktyczna ochrona systemów operacyjnych i usług aplikacyjnych z wykorzystaniem izolacji, ścian ogniowych, VPN, TLS, PGP.
-
Problematyka bezpiecznego programowania.
-
Zagrożenia związane z przestępczością elektroniczną.
PROBLEMY SPOŁECZNE I ZAWODOWE INFORMATYKI
-
Prawne i społeczne aspekty informatyki.
-
Odpowiedzialność zawodowa i etyczna informatyków.
-
Zasady współżycia w społecznościach cyfrowych.
-
Podstawowe zasady bezpieczeństwa i higieny pracy w zawodzie informatyka.
-
Ogólne zasady tworzenia i rozwoju indywidualnej przedsiębiorczości, wykorzystującej wiedzę z zakresu informatyki.
-
Fundamentalne dylematy współczesnej cywilizacji.
KIERUNEK BIOINFORMATYKA i BIOLOGIA SYSTEMÓW
-
Budowa i sposoby funkcjonowania komórek prokariotycznych i eukariotycznych.
-
Sposoby rozmnażanie u prokariota i eukariota.
-
Podstawowe procesy zachodzące w komórce.
-
Sposoby funkcjonowania komórek różnych typów.
-
Budowa i funkcjonowanie wirusów.
-
Relacje między organizmami (na poziomie osobników i populacji).
-
Relacje między organizmami i ich środowiskiem (na poziomie biocenoz i ekosystemów).
-
Budowa i właściwości podstawowych typów makrocząsteczek biologicznych i ich elementów składowych.
-
Podstawowe zasady przemian chemicznych w żywej komórce (podział metabolizmu, szlaki metaboliczne, regulacja metabolizmu).
-
Rola poszczególnych przedziałów komórkowych w jej metabolizmie (cytosol, mitochondrium, chloroplast, retikulum endoplazmatyczne i jądro komórkowe).
-
Enzymy i mechanizm ich działania (kataliza enzymatyczna i hamowanie reakcji enzymatycznych).
-
Dokładne i przybliżone algorytmy porównywania sekwencji nukleotydowych i białkowych.
-
Metody modelowania molekularnego (przewidywania struktury) białek.
-
Rozpoznawanie białko-białko: termodynamika, kinetyka, przewidywanie struktur.
-
Podstawowe metody analizy sieci oddziaływań w komórce, -omiki.
-
Metody analizy szlaków metabolicznych w komórce.
-
Podstawowe strategie badawcze w genetyce (analiza fenotypu mutacji, inżynieria genetyczna, odwrotna genetyka, biologia syntetyczna).
-
Podstawy genetyki klasycznej i chromosomowej teorii dziedziczenia.
-
Od genetyki do biologii systemów - plejotropia, interakcje genetyczne i interaktomika.
-
Podstawy biologii molekularnej genów prokariotycznych i eukariotycznych (replikacja, mutageneza i naprawa uszkodzeń DNA, rekombinacja, translacja i kod genetyczny, ekspresja genu i jej regulacja).
-
Przełączniki genetyczne i podstawy genetyki rozwoju i różnicowania.
-
Genetyka człowieka - cechy jednogenowe, oligogenowe i wieloczynnikowe. Struktura ludzkiego genomu.
-
Genetyczne podstawy nowotworzenia.
-
Zwierzę w środowisku – (przykłady do omówienia, do wyboru: odżywianie, wymiana gazowa, osmoregulacja, układ nerwowy i zmysły, stres).
-
Roślina w środowisku - (przykłady do omówienia, do wyboru: fotosynteza, fotooddychanie, oddychanie tlenowe, stres, komunikacja międzykomórkowa i systemiczna).
-
Utrzymanie homeostazy u zwierząt i roślin.
-
Zegary biologiczne roślin i zwierząt.
-
Choroby metaboliczne jako przykład dyskoordynacji na poziomie biochemicznym.
-
Charakterystyka badań z zakresu genomiki, metagenomiki, transkryptomiki i proteomiki.
-
Znajomość typowych technik całogenomowych nowej generacji (mikromacierze DNA, metody sekwencjonowania wysokoprzepustowego w badaniach DNA, RNA i struktury chromatyny, genomika trójwymiarowa oraz proteomika).
-
Genetyczne podstawy ewolucji, powstanie i ewolucja informacji genetycznej.
-
Zasada doboru naturalnego. Pojęcie dostosowania, współczynnik selekcji, dobór pozytywny i negatywny (oczyszczający).
-
Dryf genetyczny i ewolucja neutralna. Modele substytucji DNA.
-
Metody największej parsymonii, największej wiarygodności i bayesowskie w rekonstrukcji filogenezy na podstawie danych molekularnych. .
-
Podstawowe konstrukcje sterowania w programowaniu.
-
Wyrażenia regularne i wyszukiwanie wzorców w tekstach.
-
Arytmetyka komputerowa i związane z nią błędy obliczeń.
-
Komputerowa reprezentacja obrazów, sposoby reprezentacji barw.
-
Przetwarzanie sygnałów i konstrukcja filtrów jedno- i dwuwymiarowych.
-
Zagadnienie kompresji danych.
-
Problemy aproksymacji i interpolacji funkcji.
-
Pojęcia klasy i obiektu, dziedziczenie w programowaniu obiektowym.
-
Wyjątki i ich obsługa w nowoczesnych językach programowania.
-
Zasady analizy algorytmów: kryteria, aparat matematyczny.
-
Programowanie dynamiczne.
-
Sortowanie: problem, podstawowe algorytmy.
-
Drzewa i struktury danych oparte na drzewach.
-
Grafy i algorytmy grafowe.
-
Zastosowania rachunku macierzowego do rozwiązywania układów równań liniowych i liniowych równań różniczkowych zwyczajnych.
-
Przestrzenie euklidesowe: struktura przestrzeni liniowej (baza, wymiar), prostopadłość wektorów, rzuty, metoda najmniejszych kwadratów.
-
Wektory własne i wartości własne macierzy - definicja, metody obliczania, związek z wyznacznikiem macierzy. Macierze dodatnio określone i półokreślone - zastosowania.
-
Granica ciągu i suma szeregu. Definicje, przykłady, podstawowe własności. Przykłady kryteriów zbieżności szeregu.
-
Granica funkcji w punkcie i ciągłość funkcji. Podstawowe własności funkcji ciągłych (własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa).
-
Pochodna funkcji jednej zmiennej i pochodne wyższych rzędów. Zastosowanie pochodnych do badania przebiegu zmienności funkcji. Wzór Taylora.
-
Funkcja pierwotna i całka oznaczona. Interpretacja całki jako pola pod wykresem. Podstawowe metody całkowania. Całkowanie funkcji wielu zmiennych: całki iterowane, podstawienie egunowe.
-
Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych: definicje, zastosowanie do wyznaczania ekstremów funkcji wielu zmiennych.
-
Liniowe równania różniczkowe zwyczajne I i II rzędu: przykłady i podstawowe metody rozwiązywania. Trajektorie ruchu. Zastosowania w modelach wzrostu bakterii.
-
Nieliniowe równania różniczkowe zwyczajne, pojęcie punktu stałego i jego stabilność. Bistabilność w układach dynamicznych - zastosowanie do modelu aktywności białka.
-
Podstawowe równania fizyki matematycznej i metody ich rozwiązywania: równanie dyfuzji i ciepła, równanie falowe.
-
Prawdopodobieństwo klasyczne i metody kombinatoryczne obliczania mocy zbiorów zdarzeń elementarnych (permutacje, wariacje, kombinacje z i bez powtórzeń).
-
Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
-
Zmienne losowe dyskretne i ciągłe oraz podstawowe definicje z nimi związane (dystrybuanta, gęstość, wartość oczekiwana, wariancja). Przykłady ważniejszych rozkładów dyskretnych np. Bernoulliego, Poissona) i ciągłych (np. wykładniczy, gaussowski).
-
Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych. Podstawowe własności niezależnych zmiennych losowych. Schemat Bernoulliego.
-
Twierdzenia graniczne: prawa wielkich liczb oraz prawo de Moivre'a-Laplace'a.
-
Łańcuchy Markowa: reprezentacja za pomocą grafu i macierzy przejścia, rozkłady stacjonarne, twierdzenie ergodyczne.
-
Pojęcie estymatora, metody estymacji parametrów.
-
Testowanie hipotez, metody testowania hipotez, testy istotności, testy zgodnosci, testy parametrycznie i nieparametryczne.
-
Problem regresji liniowej, estymator parametrów, ich interpretacja.
-
Metody regularyzacji modeli liniowych.
-
Kompromis pomiędzy wariancją a obciążeniem modelu, problem przeuczenia, walidacja krzyżowa.
-
Problemy regresji, klasyfikacji i klastrowania, podać przykłady algorytmów uczenia maszynowego.
-
Indukcja i rekurencja, rozwiązywanie dyskretnych równań rekurencyjnych.
-
Relacje na zbiorach: relacje porządku i równoważności, klasy abstrakcji.
-
Zadania optymalizacji z ograniczeniami i bez ograniczeń: warunki konieczne i dostateczne (mnożniki Lagrange’a, warunki KKT).
-
Pojęcie gry i rodzaje gier. Pojęcie strategii, równowaga Nasha.
-
Rodzaje strategii w grach, strategie czyste i mieszane. Minimaks.
-
Załącznik nr 2 do szczegółowych zasad dyplomowania na kierunku matematyka
-
Załącznik nr 2 do szczegółowych zasad dyplomowania na kierunku informatyka
-
Załącznik nr 2 do szczegółowych zasad dyplomowania na kierunku Bioinformatyka i biologia systemów