Paradoksalny przykład homeomorfizmu n-wymiarowej kostki w siebie skonstruowali Paweł Goldstein (Instytut Matematyki, MIM UW) oraz Piotr Hajłasz (University of Pittsburgh). Praca ukazała się w czasopiśmie Archive for Rational Mechanics and Analysis.

Skonstruowane przekształcenie z jednej strony zachowuje orientację kostki (a nawet jest równe identyczności w pobliżu jej brzegu), a z drugiej ma (aproksymatywny) jakobian równy -1 prawie wszędzie. Homeomorfizm dodatkowo zachowuje miarę Lebesgue'a.
„Aproksymatywna różniczkowalność prawie wszędzie” oznacza, że przekształcenie jest klasy C¹poza zbiorem dowolnie małej miary Lebesgue'a. Warto zauważyć, że jeżeli homeomorfizm zachowuje orientację i miarę Lebesgue'a, to w każdym punkcie, w którym jest różniczkowalny w klasycznym sensie musi mieć jakobian równy +1.
Badanie własności tego typu homeomorfizmów ma duże znaczenie w teorii nieliniowej elastyczności, przekształceń quasi-konforemnych i w innych działach rachunku wariacyjnego.

Pracę można znaleźć pod adresem: https://arxiv.org/pdf/1510.05575.pdf