Wiele zjawisk w świecie fizycznym podlega tzw. zasadzie najmniejszego działania. Najogólniej rzecz ujmując, obiekty fizyczne naturalnie zmieniają się (poruszają lub odkształcają) w taki sposób by zminimalizować skumulowaną w nich energię. Dobrym przykładem jest błona mydlana rozpięta na sztywnym drucie. Siły napięcia powierzchniowego powodują, że błona kurczy się tak, by osiągnąć najmniejsze możliwe pole powierzchni. Problem matematyczny polegający na znalezieniu powierzchni o zadanym brzegu, która ma minimalne pole, nazwany został zagadnieniem Plateau – od imienia XIX w. belgijskiego fizyka Josepha Plateau, który wykonał szereg doświadczeń z tym związanych. Współcześnie modelujemy to zjawisko definiując funkcję (funkcjonał energii), która każdej możliwej błonie przypisuje liczbę odpowiadającą całkowitej zmagazynowanej w tej błonie energii. By znaleźć błonę, która minimalizuje energię różniczkujemy nasz funkcjonał i badamy jego punkty krytyczne, czyli punkty (w przestrzeni błon!), w których pochodna funkcjonału się zeruje. W ogólności nasza błona może być zrobiona z materiałów o różnorakich własnościach fizycznych i podlegać działaniu pewnych sił zewnętrznych (np. pola elektromagnetycznego) – wówczas zmagazynowana w niej energia nie będzie po prostu równa jej polu powierzchni, a będzie zależeć od wielu czynników. Niemniej, jeśli potrafimy wypisać funkcjonał energii odpowiadający badanej sytuacji, to możemy również badać jego punkty krytyczne – tym właśnie zajmuje się rachunek wariacyjny.

Zerowanie się pochodnej funkcjonału implikuje, że punkty krytyczne (jeśli istnieją i leżą w dziedzinie funkcjonału) muszą spełniać pewne równania różniczkowe. Udowodnienie istnienia rozwiązań takich równań nie jest proste i dlatego matematycy stosują pewną sztuczkę. Dziedzina funkcjonału jest rozszerzana tak, by łatwo (stosując abstrakcyjne narzędzia analizy funkcjonalnej) było w niej znaleźć punkty krytyczne. Jest jednak cena, którą trzeba zapłacić. Znaleziony obiekt może być dość egzotyczny – nie musi przypominać błony rozpiętej na drucie.

Czytelnik może porównać tę sytuację do następującej. Szukamy minimum pewnej funkcji jednej zmiennej określonej w naturalny sposób tylko na liczbach wymiernych. W tym celu rozszerzamy (jakąś sprytną metodą) dziedzinę funkcji do wszystkich liczb rzeczywistych i wtedy możemy stosować zwykłe metody rachunku różniczkowego by znaleźć kandydatów na ekstrema. Liczby niewymierne zostały dodane do dziedziny w sposób sztuczny, więc ostatecznie interesują nas tylko rozwiązania wymierne – inne są w pewnym sensie nieprawdziwe. Jakie warunki musi spełniać funkcja, by minimum było osiągane w punkcie wymiernym?

Wracając do zagadnień wariacyjnych, w ogólności musimy rozważać rozwiązania (odpowiednio rozumiane) pewnego równania różniczkowego, które mogą w ogóle nie być różniczkowalne! Zadaniem matematyka rozwijającego tzw. teorię regularności jest opisanie własności funkcjonału gwarantujących, że każde minimum (lub ogólniej punkt krytyczny) jest w istocie czymś co przypomina błonę, to znaczy np. że otoczenie prawie każdego punktu jest wykresem jakiejś funkcji różniczkowalnej. Matematycy lubią jednak rozwiązywać problemy w maksymalnej ogólności, więc nie ograniczają się do błon, czyli dwuwymiarowych powierzchni położonych w trójwymiarowej przestrzeni, ale zajmują się d-wymiarowymi obiektami położonymi w n-wymiarowej przestrzeni, gdzie d i n są dowolnymi liczbami całkowitymi spełniającymi 1 ≤ d ≤ n.

Eliptyczność jest pewną własnością pozwalającą dowodzić istnienia i regularności rozwiązań zagadnień wariacyjnych. W pracy „Equivalence of the ellipticity conditions for geometric variational problems” (preprint), napisanej wspólnie z Antonio De Rosa, zajmujemy się zagadnieniem minimalizacji funkcjonałów zdefiniowanych na d-wymiarowych prostowalnych podzbiorach n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej. Zbiory prostowalne to najszersza klasa zbiorów, dla których możliwe jest określenie pojęcia przestrzeni stycznej w punkcie. Badana energia zależy od położenia zbioru w przestrzeni, a także od rozkładu przestrzeni stycznych do zbioru. W klasycznym (nie geometrycznym) rachunku wariacyjnym rozważa się funkcjonały zdefiniowane na funkcjach i zależące od argumentu, wartości funkcji oraz od pochodnej funkcji w danym punkcie. Geometrycznie odpowiada to sytuacji, gdy a priori wiadomo, że badany obiekt jest wykresem. W klasycznych zagadnieniach pojęcie eliptyczności jest dość dobrze zrozumiane. Przykładowo wiadomo, że wypukłość Lagranżjanu jest warunkiem dostatecznym dla eliptyczności. Dla zagadnień geometrycznych, gdzie niewiadomą jest zbiór prostowalny, a nie funkcja, nie są znane żadne, łatwo sprawdzalne, warunki dostateczne eliptyczności, a co za tym idzie – liczba zagadnień, które można rozwiązać jest dość niewielka. W naszej pracy wskazujemy pewien warunek dostateczny eliptyczności, który ma dodatkowo bardzo prostą interpretację geometryczną. Ponadto, ten warunek okazuje się być równoważny odkrytemu niedawno warunkowi, który gwarantuje prostowalność punktów krytycznych.

Ciekawą cechą naszej pracy jest to, że wykorzystaliśmy w niej zarówno narzędzia analityczne, algebraiczne i topologiczne, łącząc ze sobą dość odległe światy. Osoby głębiej zainteresowane tematyką mogą zajrzeć do oryginalnej pracy lub notatek do kilku  odczytów seminaryjnych (1, 2, 3) i konferencyjnych na ten temat.

Praca została przyjęta do publikacji w prestiżowym czasopiśmie Communications on Pure and Applied Mathematics.

Sławomir KOLASIŃSKI

Obrazek pochodzi ze strony www.soapbubble.dk/en/articles/former