Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Eryk Kopczyński

Nr albumu: 189185

Konstrukcja i własności ridgeletów

Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA

Praca wykonana pod kierunkiem prof. dr. hab. Przemysława Wojtaszczyka

Lipiec 2004 Pracę przedkładam do oceny Data Podpis autora pracy:

Praca jest gotowa do oceny przez recenzenta Data Podpis kierującego pracą:

Streszczenie

Ridgelety ortonormalne (ρ_{λ})_{λ∈Λ′} są bazą ortonormalną przestrzeni L^{2}(ℝ^{2}) mającą potencjalne zastosowania w kompresji obrazów.

Niniejsza praca przybliża konstrukcję ridgeletów ortonormalnych i bada ich własności, takie, jak oszacowanie na wartość ρ_{λ}(x, y) dla punktów (x, y) w pobliżu 0 i ∞, przedstawia wykresy ρ_{λ}, oraz konstrukcję rodziny prostszych funkcji η o kształcie i własnościach zbliżonych do ridgeletów.

Słowa kluczowe

falki, transformacja Radona, aproksymacja, ridgelets

Klasyfikacja tematyczna

42-xx. Fourier analysis 42Cxx. Nontrygonometric Fourier analysis 42C40. Wavelets

44-xx. Integral transforms, operational calculus 44A12. Radon transform

Spis treści

1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Oznaczenia i definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Konstrukcja ridgeletów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1. Baza ortonormalna na ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Baza ortonormalna na 𝕋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. Przestrzeń Radona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4. Baza ortonormalna na ℝ^{d} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5. Konstrukcja ridgeletów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Kształt ridgeletów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1. Przybliżenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Oszacowanie ρ w pobliżu 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. Oszacowanie ρ daleko od 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Rozdział 1

Wstęp

Falki Meyera bardzo dobrze nadają się do aproksymacji pewnych klas funkcji, co ma zastosowanie między innymi w kompresji obrazów. Każda funkcja f klasy L^{2}(ℝ) zapisuje się jako ∑_{k} a_{k}Ψ_{k} (Ψ_{k} — falki Meyera takie, że ich transformata Fouriera jest klasy C^{∞}). Oznaczmy przez A_{n}(f) n-ty największy wyraz z ciągu modułów (|a_{k}|)_{k}. (Na przykład, dla f równej \frac{1}{2}Ψ_{1} + Ψ_{4} − \frac{1}{2}Ψ_{6} kolejnymi wyrazami ciągu A_{k}(f) są 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0, . . ..) Jeśli funkcja f jest klasy C^{∞} i ma zwarty nośnik, to A_{n} = o(n^{ϵ}) dla każdego ϵ > 0. Oznacza to, że wystarczy mało wyrazów sumy ∑_{k} b_{k}Ψ_{k}, żeby uzyskać bardzo dobre przybliżenie funkcji f. To samo zachodzi, jeśli funkcja f o zwartym nośniku jest klasy C^{∞} poza skończoną liczbą punktów, w których jest osobliwa. Przykładami funkcji z takimi osobliwościami punktowymi w a są f(x) = |x − a|^{−1/3}w(x) i f(x) = H(x − a)w(x), gdzie H(x) jest funkcją charakterystyczną prawej półprostej [0, ∞), a w(x) jest tzw. „oknem”, czyli funkcją klasy C^{∞} o zwartym nośniku.

Na płaszczyźnie sytuacja jest bardziej skomplikowana, gdyż osobliwości mogą być różnych wymiarów. Dwuwymiarowe falki Meyera wciąż nadają się do aproksymacji funkcji z osobliwościami punktowymi, ale zawodzą dla funkcji z osobliwościami na odcinkach oraz na krzywych.

Funkcją grzbietową (ridge function, planar wave) nazywamy funkcję f : ℝ^{d} → ℝ postaci f(x) = g(x·u), czyli stałą na hiperpłaszczyznach x·u = t, dla pewnego kierunku u. Ridgelety zostały wymyślone przez E. Candèsa w jego pracy doktorskiej [Cand98]. Są to funkcje grzbietowe na płaszczyźnie o własnościach zbliżonych w pewnym stopniu do falek, które bardzo dobrze nadają się do aproksymacji funkcji, które mają osobliwości na odcinkach (chociaż nie są one bazą ortonormalną L^{2} — niezerowe funkcje grzbietowe nie mogą być klasy L^{2}).

Niniejsza praca zajmuje się ridgeletami ortogonalnymi, opisanymi przez D. Donoho w pracy [Dono00]. Są to funkcje na płaszczyźnie zbliżone do ridgeletów Candèsa, ale tworzą one bazę ortonormalną przestrzeni L^{2}(ℝ^{2}).

Istnieje też układ funkcji na płaszczyźnie zwanych curveletami, których konstrukcja używa między innymi ridgeletów ortonormalnych. Curvelety są o wiele lepsze od innych znanych układów na płaszczyźnie, jak na przykład falki i wielomiany trygonometryczne Fouriera, jeśli chodzi o aproksymację funkcji klasy C^{2} poza brzegiem klasy C^{2}, czyli funkcji postaci

f(x, y) = \{ \begin{matrix}f_{0}(x, y) & dla |(x, y)| ≤ ρ(Arg(x + iy)) \\ f_{1}(x, y) & dla |(x, y)| > ρ(Arg(x + iy)) \end{matrix} ,  (1.1)

gdzie f_{0} i f_{1} są funkcjami klasy C^{2} o zwartym nośniku na ℝ^{2} , a ρ jest funkcją dodatnią klasy C^{1} na okręgu, której pochodna spełnia warunek Lipschitza. (Najprostszym przykładem takiej funkcji f jest funkcja charakterystyczna koła, dla której ρ jest funkcją stałą.) Dokładniej, błąd, który uzyskujemy, jeśli bierzemy m największych wyrazów przybliżenia jest rzędu O(m^{−2}(log m)^{3}), podczas gdy dla innych znanych układów jest on rzędu O(m^{−1}) lub gorszego. Ma to potencjalne zastosowanie w kompresji obrazów.

Dużo informacji o ridgeletach, curveletach i innych układach, ich związkach z sieciami neuronowymi, analizą harmoniczną i teorią aproksymacji można znaleźć w pracy [Cand01].

W niniejszej pracy przedstawiono konstrukcję Donoho (w hipotetycznym uogólnieniu na wyższe wymiary) oraz pewnie wyniki dotyczące kształtu ridgeletów ρ — m. in. ich wykresy (wyliczone numerycznie), oszacowanie na wartość ρ(x, y) dla (x, y) w pobliżu 0, oraz rodzinę funkcji η o kształcie i własnościach zbliżonych do ridgeletów, ale łatwiejszych do liczenia.

1.1. Oznaczenia i definicje

W niniejszej pracy często będziemy używać następujących operatorów na przestrzeniach funkcyjnych L_{p}(ℝ^{d}):

• Operator translacji T^{y}, zadany wzorem T^{y}f(x) = f(x − y).

• Operator odbicia Q, Qf(x) = f(−x).

• Operator dylatacji J, Jf(x) = 2^{d/p}f(2x).

• Transformata Fouriera

F_{d}(f)(ω) = (2π)^{−d/2} ∫_{−∞}^{∞} e^{−iω·x}f(x)dx;  (1.2)

funkcja F(f) bywa też oznaczana f̂.

• Odwrotna transformata Fouriera F_{d}^{−1} = QF_{d} = F_{d}Q.

W przypadku p = 2, wszystkie te operatory są unitarne. (Transformata Fouriera jest określona dla f ∈ L_{1}(ℝ^{d}) ∩ L_{2}(ℝ^{d}), ale daje się rozszerzyć do operatora unitarnego na L_{2}.)

Symbol S^{n} oznacza sferę n-wymiarową, czyli {x ∈ ℝ^{n+1} : |x| = 1}. Punkt antypodyczny do x ∈ S^{n} oznaczamy przez −x. Podobnie jak dla ℝ^{d}, na przestrzeniach funkcyjnych L_{p}(S^{n}) mamy operator Qf(x) = f(−x).

Najbardziej dla nas interesujący jest przypadek d = 2. Płaszczyznę ℝ^{2} interpretujemy jako płaszczyzną zespoloną ℂ. Okrąg S^{1} interpretujemy jako 𝕋 = {z ∈ ℂ : |z| = 1}. Z tej interpretacji wynika oznaczenie e^{it} i struktura mnożenia na okręgu.

Jeśli V i W są przestrzeniami L_{2} (V = L_{2}(A, μ_{A}), W = L_{2}(B, μ_{B})), to iloczynem tensorowym przestrzeni V i W, oznaczanym V ⊗ W, nazywamy przestrzeń L_{2}(A × B, μ_{A} ⊗ μ_{B}). Jeśli v ∈ V, w ∈ W, to przez v ⊗ w ∈ V ⊗ W oznaczamy funkcję zadaną wzorem (v ⊗ w)(a, b) = v(a)w(b). Nie wszystkie elementy V ⊗ W są tej postaci, ale jest ona domknięciem przestrzeni liniowej przez nie rozpinanej. Jeśli (v_{i})_{i∈I} i (w_{j})_{j∈J} są odpowiednio bazami ortonormalnymi V i W, to (v_{i} ⊗ w_{j})_{i∈I,j∈J} jest bazą ortonormalną V ⊗ W. Jeśli L : V → V jest operatorem liniowym, to L⊗I jest operatorem działającym dla każdego ustalonego b jak operator L, czyli (L ⊗ I)v(a, b) = (Lv(·, b))(a). Analogicznie definiuje się operator I ⊗ M dla M : W → W, oraz L ⊗ M = (L ⊗ I)(I ⊗ M).

Przez ℤ_{k} oznaczamy grupę cykliczną rzędu k, czyli zbiór liczb {0, 1, 2, …, k − 1} z dodawaniem modulo k.

Konstrukcja ridgeletów

Do konstrukcji ortonormalnych ridgeletów na ℝ^{d} potrzebujemy dwóch baz ortonormalnych: (t_{τ})_{τ∈T} na L_{2}(ℝ), oraz (s_{σ})_{σ∈S} na L_{2}(S^{d−1}) (na sferze). W konstrukcji zaproponowanej przez D. Donoho stosujemy bazy ortonormalne oparte na falkach Meyera. Bazy te są opisane w następnych dwóch podrozdziałach. Potrzebna również będzie transformata Radona.

Transformata Radona oraz konstrukcja prowadząca od baz ortonormalnych na L_{2}(ℝ) i L_{2}(S^{d−1}) do ridgeletów została w niniejszym rozdziale przedstawiona w sposób ogólny (dla dowolnego d), ale będziemy jej używać tylko dla d = 2.

2.1. Baza ortonormalna na ℝ

Definicja 2.1 Niech Φ ∈ L_{2}(ℝ). Niech V_{0} będzie podprzestrzenią domkniętą L_{2}(ℝ) rozpinaną przez funkcje T^{m}Φ dla m ∈ ℤ (przesuwamy funkcję Φ o odcinki będące liczbami całkowitymi). Niech V_{j} = J^{j}V_{0} dla j ∈ ℤ. Funkcję Φ nazywamy funkcją skalującą, jeśli spełnione są następujące warunki:

1. (T^{m}Φ)_{m∈ℤ} jest bazą ortonormalną V_{0},

2. · · · ⊂ V_{−1} ⊂ V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯

3. ⋂_{j∈ℤ} V_{j} = {0},

4. L_{2}(ℝ) jest domknięciem ⋃_{j∈ℤ} V_{j}.

Przykładem funkcji skalującej jest Φ_{H}, funkcja charakterystyczna odcinka [0, 1]. Przestrzeń V_{j} to wówczas przestrzeń funkcji stałych na odcinkach [m/2^{j}, (m + 1)/2^{j}].

Niech Ψ ∈ V_{1} będzie taką funkcją, że funkcje T^{m}Φ i T^{m}Ψ dla m ∈ ℤ stanowią razem bazę ortonormalną V_{1} (słowo razem oznacza, że suma zbiorów {T^{m}Φ} i {T^{m}Ψ} stanowi bazę ortonormalną, a nie każdy z nich). (T_{m}Φ jest bazą ortonormalną V_{0}; wiemy, że V_{0} ⊂ V_{1}.) Dla Φ_{H} funkcją spełniającą ten warunek jest Ψ_{H}, różnica funkcji charakterystycznej [0, 1/2] i funkcji charakterystycznej [1/2, 1].

Z definicji funkcji skalującej i definicji Ψ wynika, że funkcje J^{j}T^{m}Φ, J^{j}T^{m}Ψ dla wszystkich m ∈ ℤ stanowią razem bazę ortonormalną V_{j+1}. Jeśli do tego dorzucimy funkcje J^{j+1}T^{m}Ψ, to otrzymamy bazę ortonormalną V_{j+2} (wzięliśmy inną bazę V_{j+1} zamiast J^{j+1}T^{m}Φ). Kontynuując powyższą operację i wiedząc, że domknięciem sumy wszystkich przestrzeni V_{j} jest całe L_{2}(ℝ), otrzymujemy następujący fakt:

Fakt 2.2 Niech j_{0} ∈ ℤ. Funkcje J^{j_{0}}T^{m}Φ dla wszystkich m ∈ ℤ, oraz J^{j}T^{m}Ψ dla wszystkich m ∈ ℤ oraz j ∈ ℤ, j ≥ j_{0}, stanowią razem bazę ortonormalną przestrzeni L_{2}(ℝ).

Jeśli skorzystamy również z założenia, że przecięcie przestrzeni V_{j} jest puste, otrzymamy:

Fakt 2.3 Funkcje J^{j}T^{m}Ψ dla wszystkich m ∈ ℤ oraz j ∈ ℤ stanowią bazę ortonormalną przestrzeni L_{2}(ℝ).

Definicja 2.4 Funkcję Ψ spełniającą tezę faktu 2.3 nazywamy falką. (Funkcję Ψ_{H} nazywamy falką Haara.) Funkcję Ψ powiązaną w powyższy sposób z funkcją skalującą Φ nazywamy falką powiązaną z Φ. Funkcje J^{j}T^{m}Ψ oznaczamy przez Ψ_{j,m} (tak samo dla Φ).

Będzie nam jeszcze potrzebna falka Meyera:

Definicja 2.5 Falką Meyera nazywamy falkę Ψ spełniającą następujące własności:

1. suppΨ̂ ⊂ [−8/3π, −2/3π] ∪ [2/3π, 8/3π],

2. Ψ jest rzeczywistą funkcją klasy C^{∞},

3. Ψ(−1 − x) = Ψ(x).

Jeśli Ψ jest falką Meyera, to funkcja T^{1/2}Ψ jest rzeczywistą funkcją parzystą, zatem jej transformata Fouriera γ(ω) = e^{−iω/2}Ψ̂(ω) jest również rzeczywistą funkcją parzystą. Najprostszą falką Meyera jest Ψ_{A} zadana przez funkcję γ_{A}, która jest funkcją charakterystyczną zbioru [−2π, −π] ∪ [π, 2π], pomnożoną przez (2π)^{−1/2}. Odpowiadającą jej funkcją skalującą jest Φ_{A} taka, że Φ̂_{A} jest funkcją charakterystyczną odcinka [−π, π] (znów pomnożoną przez (2π)^{−1/2}). Wadą jej jest to, że funkcja Ψ̂_{A} nie jest ciągła, przez co m. in. Ψ_{A} nie należy do klasy L_{1}.

Jeśli zamiast γ_{A} użyjemy funkcji γ takiej, że odpowiednia Ψ również będzie falką, ale γ będzie klasy C^{∞}, to unikniemy tego problemu. Przykładowe konstrukcje takich falek można znaleźć w [Wojt00]; falkę Meyera, dla której transformatą Fouriera jej funkcji skalującej jest funkcja θ z Zadania 4.2 z [Wojt00], będziemy oznaczać przez Ψ_{C}.

Z definicji supp(γ) jest zawarty w [−\frac{8π}{3} , −\frac{2π}{3} ] ∪ [+\frac{2π}{3} , +\frac{8π}{3} ]. Funkcja γ musi spełniać |γ(ω)| ≤ (2π)^{−1/2}.

2.2. Baza ortonormalna na 𝕋

Korzystając ze skonstruowanego w fakcie 2.2 układu ortonormalnego na L_{2}(ℝ), możemy skonstruować układ ortonormalny falek okresowych na L_{2}[0, 1]. Niech O : L_{1}(ℝ) → L_{1}[0, 1] będzie operatorem zadanym wzorem Of(x) = ∑_{m∈ℤ} f(x + m). Korzystając z faktu 2.2 oraz z ortogonalności Φ_{0,m} i Φ_{0,n} dla m ≠ n, łatwo jest udowodnić następujący fakt:

Fakt 2.6 Niech j_{0} ∈ ℤ, j_{0} ≥ 0. Niech Ψ i Φ będzie falką i odpowiadającą jej funkcją skalującą i obie należą do L^{1}(ℝ). Funkcje OΦ_{j_{0},m} dla m ∈ ℤ_{2^{j}} oraz OΨ_{j,m} dla j ∈ ℤ, j ≥ j_{0}, m ∈ ℤ_{2^{j}} należą wówczas do L_{2}[0, 1] i stanowią razem jej bazę ortonormalną.

Układ ortonormalny na L_{2}[0, 1] możemy przenieść na L_{2}(𝕋) przy użyciu izometrii A : L_{2}[0, 1] → L_{2}(𝕋) zadanej wzorem

Af(e^{2πit}) = (2π)^{−1/2}f(t).  (2.1)

2.3. Przestrzeń Radona

Do konstrukcji ridgeletów potrzebujemy jeszcze kilku elementów.

Definicja 2.7 Niech X_{t,u} będzie płaszczyzną prostopadłą do wektora u i odległą od 0 o t: X_{t,u} = {x : x · u = t}. Transformatą Radona funkcji f ∈ L^{2}(ℝ^{d}) jest funkcja Rf : ℝ × S^{d−1} → ℝ, zadana wzorem

Rf(t, u) = ∫_{X_{t,u}} f(x)dx.  (2.2)

Rf(t, u) jest całką z f po hiperpowierzchni x · u = t.

Transformata Radona jest operatorem nieograniczonym, w związku z czym jest określona nie dla wszystkich f ∈ L^{2}(ℝ^{d}). Jest ona określona tylko dla tych f, które są całkowalne dla prawie wszystkich hiperpowierzchni X_{t,u} oraz Rf zadana powyższym wzorem należy do L^{2}(ℝ ⊗ S^{d−1}).

Transformatę Radona wygodnie się zapisuje przy użyciu delty Diraca δ:

Rf(t, u) = ∫_{ℝ^{d}} f(x)δ(x · u − t) dx.  (2.3)

Nie każda funkcja z L_{2}(ℝ × S^{d−1}) może być transformatą Radona jakiejś funkcji f. Jest bowiem spełniony warunek Rf(−t, −u) = Rf(t, u).

Definicja 2.8 Przestrzenią Radona R nazywamy podprzestrzeń funkcji z L_{2}(ℝ × S^{d−1}) spełniających warunek f(−t, −u) = f(t, u).

Łatwo sprawdzić, że operator P : L_{2}(ℝ × S^{d−1}) → R zadany wzorem P = (I + Q ⊗ Q)/2 jest rzutem (ortogonalnym) na R.

Istnieje prosta izometria C z przestrzeni Radona w L_{2}(ℝ^{d}). Każdy punkt przestrzeni ℝ^{d} (oprócz 0) można wyrazić jako iloczyn punktu u ∈ S^{d−1} i ω ∈ ℝ (przypomina to układ biegunowy). Izometria ta jest zadana wzorem

Ch(ωu) = \sqrt{2}|ω|^{−(d−1)/2}h(ω, u).  (2.4)

Wartość h w punkcie (ω, u) jest reprezentowana przez wartość Ch w punkcie ωu. Wartość |ω|^{−(d−1)/2} jest pierwiastkiem z jakobianu, a \sqrt{2} wynika stąd, że każdy punkt liczymy dwa razy, jako ωu i (−ω)(−u) (z definicji przestrzeni Radona wynika, że wartość Ch(ωu) nie zależy od tego, którą reprezentację wybierzemy).

Fakt 2.9 Niech R^{∗} : R → L^{2}(ℝ^{n}) będzie operatorem zadanym wzorem

R^{∗}h(x) = ∫_{S^{d−1}} h(x · u, u)du.  (2.5)

Podobnie jak dla transformaty Radona, jest on określony tylko dla tych funkcji h, dla których prawa strona jest określona dla prawie wszystkich x oraz funkcja R^{∗}h zadana powyższym wzorem jest klasy L^{2}. Jeśli f ∈ L^{2}(ℝ^{n}) i h ∈ R są funkcjami, dla których określone są odpowiednio operatory R i R^{∗}, to mamy ⟨Rf, h⟩ = ⟨f, R^{∗}h⟩ .

Dowód.

⟨Rf, h⟩ = ∫_{S^{d−1}} ∫_{−∞}^{∞} Rf(t, u)h(t, u)dtdu =  (2.6)
= ∫_{S^{d−1}} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{ℝ^{d}} f(x)δ(x · u − t)h(t, u)dxdtdu =  (2.7)
= ∫_{S^{d−1}} ∫_{ℝ^{d}} f(x)h(x · u, u)dxdu =  (2.8)
= ∫_{ℝ^{d}} f(x) ∫_{S^{d−1}} h(x · u, u)dudx =  (2.9)
= ∫_{ℝ^{d}} f(x)R^{∗}h(x)dx = ⟨f, R^{∗}h⟩ .  (2.10)

2.4. Baza ortonormalna na ℝ^{d}

Mając bazy ortonormalne (t_{τ})_{τ∈T} na L_{2}(ℝ) i (s_{σ})_{σ∈S} na L_{2}(S^{d−1}) oraz przestrzeń Radona R, możemy przystąpić do ogólnej konstrukcji bazy ortonormalnej na ℝ^{d}, której szczególnym przypadkiem są ridgelety. Nie każda baza ortonormalna (t_{τ}) i (s_{σ}) jest dobra. Układ (t_{τ}) musi spełniać następujący

Warunek 2.10 Wyrazy (t_{τ}) można połączyć w pary (τ, q(τ)), τ ≠ q(τ), takie, że Q(t_{τ}) = ±t_{q(τ)} ( znak ± nie ma znaczenia; Q to operator odbicia Qf(x) = f(−x)). Taki sam warunek musi spełniać układ (s_{σ}).

Przez S′ oznaczamy taki podzbiór S, do którego należy dokładnie jeden element każdej pary (σ, q(σ)).

Na przestrzeni L_{2}(ℝ × S^{d−1}) mamy tensorową bazę ortonormalną (t_{τ} ⊗ s_{σ})_{(τ,σ)∈T ×S}. Oznaczmy

W_{τ,σ} = \sqrt{2}P(t_{τ} ⊗ s_{σ}).  (2.11)

Korzystając z warunku 2.10 i wzoru P = (I + Q ⊗ Q)/2, mamy

W_{τ,σ} = (\sqrt{2}/2)(t_{τ} ⊗ s_{σ} ± t_{q(τ)} ⊗ s_{q(σ)}).  (2.12)

Łatwo pokazać, że (W_{τ,σ})_{τ∈T ,σ∈S′} jest bazą ortonormalną przestrzeni R (wyrzuciliśmy tutaj duplikaty, biorąc S′ zamiast S).

Niech I : R → L_{2}(ℝ^{2}) będzie operatorem zadanym wzorem (indeksy przy F oznaczają tutaj wymiar przestrzeni, na której działa transformata Fouriera)

I = F_{d}^{−1}C(F_{1} ⊗ I).  (2.13)

Oznaczmy ρ_{τ,σ} = IW_{τ,σ}. Operator I jest izometrią (bo transformata Fouriera i C są izometriami), więc (ρ_{λ})_{λ∈T ×S′} jest bazą ortonormalną w przestrzeni ℝ^{d}. Transformata Fouriera ρ_{τ,σ} zapisuje się wzorem

ρ̂_{τ,σ}(ωu) = |ω|^{−(d−1)/2}(t̂_{τ} (ω)s_{σ}(u) + t̂_{τ} (−ω)s_{σ}(−u)).  (2.14)

Interesujące jest zapisanie izometrii I w inny sposób.

Definicja 2.11 Operatorem ułamkowego różniczkowania Riesza Δ : L^{2}(ℝ) → L^{2}(ℝ) nazywamy operator Δ = F^{−1}Y^{+}F, gdzie Y^{+}g(ω) = |ω|^{1/2}g(ω). Operator ten jest nieograniczony i określony tylko dla tych f, dla których Y^{+}Ff ∈ L^{2}(ℝ).

Z własności transformaty Fouriera wiemy, że gdybyśmy we wzorze na Y^{+}f mnożyli przez ω zamiast przez |ω|^{1/2}, byłby to zwykły operator różniczkowania (z dokładnością do mnożenia przez i). Biorąc pierwiastek z ω, otrzymujemy „ułamkowe” różniczkowanie.

Fakt 2.12 Niech f ∈ R, g = (F_{1} ⊗ I)f, h = Cg, j = F_{d}^{−1}h (czyli j = If). Jeśli funkcje h i f(·, u) są całkowalne oraz operatory R^{∗} i Δ^{d−1} są określone dla odpowiednich funkcji, to dla pewnego współczynnika α_{d}

j = If = α_{d}R^{∗}(Δ^{d−1} ⊗ I)f.  (2.15)

Dowód. Oznaczmy Π = ((2π)^{−1/2}).

j(x) = Π^{d} ∫_{ℝ^{d}} e^{iν·x}h(ν)dν =  (2.16)
= 2^{−1}Π^{d} ∫_{S^{d−1}}∫_{−∞}^{∞} e^{iωu·x}|ω|^{d−1}h(ωu)dωdu =  (2.17)
= 2^{−1/2}Π^{d} ∫_{S^{d−1}}∫_{−∞}^{∞} e^{iωu·x}|ω|^{d−1}|ω|^{−(d−1)/2}g(ω, u)dωdu =  (2.18)
= 2^{−1/2}Π^{d+1} ∫_{S^{d−1}}∫_{−∞}^{∞} e^{iωu·x}|ω|^{(d−1)/2} ∫ e^{−iωt}f(t, u)dtdωdu =  (2.19)
= 2^{−1/2}Π^{d−1} ∫_{S^{d−1}}(Δ^{d−1} ⊗ I)f(u · x, u)du =  (2.20)
= 2^{−1/2}Π^{d−1}(R^{∗}(Δ^{d−1} ⊗ I)f)(x).  (2.21)

Fakt 2.13 Załóżmy, że założenia faktu 2.12 są spełnione dla f = W_{τ,σ} i operator Δ^{d−1} jest określony dla t_{τ}; oznaczmy t_{τ}^{+} = Δ^{d−1}t_{τ}. Mamy wówczas

ρ_{τ,σ}(x) = \sqrt{2}α_{d} ∫_{S^{d−1}} t_{τ}^{+}(x · u)s_{σ}(u)du.  (2.22)

Dowód. Łatwo sprawdzić, że R^{∗}(Q ⊗ Q) = R^{∗} i, że operator Q jest przemienny z Δ. Ze wzoru 2.15 otrzymujemy

ρ_{τ,σ}(x) = α_{d}R^{∗}(Δ^{d−1} ⊗ I)(\sqrt{2}/2)(I + Q ⊗ Q)(t_{τ} ⊗ s_{σ}) =  (2.23)
= (\sqrt{2}/2)α_{d}R^{∗}(I + Q ⊗ Q)(Δ^{d−1} ⊗ I)(t_{τ} ⊗ s_{σ}) =  (2.24)
= \sqrt{2}α_{d}R^{∗}(t_{τ}^{+} ⊗ s_{σ}) =  (2.25)
= \sqrt{2}α_{d} ∫_{S^{d−1}} t_{τ}^{+}(x · u)s_{σ}(u)du.  (2.26)

2.5. Konstrukcja ridgeletów

Baza ortonormalnych ridgeletów powstaje przez zastosowanie konstrukcji z podrozdziału 2.4 (w wymiarze d = 2) do bazy falkowej na prostej (same falki Meyera, bez funkcji skalujących) skonstruowanej w 2.1 oraz bazy falkowej na okręgu, skonstruowanej w 2.2.

Jako bazę ortonormalną na prostej przyjmujemy falki Meyera, czyli (Ψ jest oczywiście falką Meyera)

T = {(j, k) : j ∈ ℤ, k ∈ ℤ}, t_{j,k} = Ψ_{j,k}.  (2.27)

Baza ortonormalna na okręgu jest bazą wynikającą z faktu 2.6, przeniesioną na 𝕋 przy użyciu operatora A (2.1). Ustalamy liczbę i_{0} ∈ ℤ, i_{0} ≥ 1. Przyjmujemy

S = {(0, i_{0}, l) : l ∈ 2^{i_{0}}} ∪ {(1, i, l) : i ≥ i_{0}, i ∈ ℤ, l ∈ ℤ_{2^{i}}},  (2.28)
s_{0,i_{0},l} = AOΦ_{i_{0},l}, s_{1,i,l} = AOΨ_{i,l}.

Za Ψ bierzemy falkę Meyera, a za Φ odpowiadającą jej funkcję skalującą.

Bazy te spełniają warunek 2.10: Qt_{j,k} = −t_{j,−1−k} (z ostatniego punktu definicji falki Meyera), Qs_{ϵ,i,l} = s_{ϵ,i,l+2^{i−1}}. Stąd wynika kojarzenie w pary q. Za S′ można wziąć {(ϵ, i, l) ∈ S : l < 2^{i−1}}. Możemy więc zastosować konstrukcję 2.4.

Przedstawiona powyżej konstrukcja została trochę uproszczona w stosunku do konstrukcji Donoho. Jeśli bazą przestrzeni Hilberta V jest (v_{τ})_{τ} , i dla każdego τ mamy jakąś bazę (w_{σ}^{τ})_{σ} przestrzeni Hilberta W (tej samej dla każdego τ), to (v_{τ} ⊗w_{σ}^{τ})_{τ,σ} jest bazą przestrzeni V ⊗W. Możemy więc, tworząc bazę dla iloczynu tensorowego przestrzeni L_{2}(ℝ)⊗L_{2}(𝕋), zamiast brać ustaloną bazę przestrzeni L_{2}(𝕋), dobierać ją oddzielnie dla każdego elementu bazy L_{2}(ℝ).

W naszym przypadku baza ortonormalna (s_{σ}) na L_{2}(𝕋) jest sparamateryzowana wartością i_{0} ≥ 0; Donoho przyjmuje i_{0} = min(i′_{0}, k(τ)). Nie zaburza to warunku 2.10.

Definicja 2.14 Ridgeletami nazywamy bazę ortonormalną złożoną z funkcji ρ_{ϵ,i,l,j,k} zadanych wzorem (2.14) dla układów (t_{j,k}) i (s_{ϵ,i,l}) zdefiniowanych wzorami (2.27) i (2.28).

Dla falek Meyera operator Δ jest określony (ze względu na zwarty nośnik ich transformaty Fouriera); pozostałe założenia faktu 2.13 również łatwo sprawdzić, zatem zachodzi wzór (2.22). Wynika z niego, że ρ_{τ,σ} jest „średnią” funkcji grzbietowych (ridge function) t_{τ}^{+}(x · u) (współczynniki tej „średniej” nie muszą być dodatnie). Jeśli wartości s_{σ} są małe poza okolicami pewnego kierunku u (w przypadku falek okresowych oznacza to, że współczynnik skalowania ma dużą wartość), to funkcja ρ_{τ,σ} jest dobrym przybliżeniem funkcji grzbietowej. Uzasadnia to nazwę ridgelety ortonormalne dla skonstruowanych przez nas obiektów.

Fakt 2.15 Jeśli j ∈ L^{2}(ℝ^{d}), transformata Radona jest określona dla j i operator Δ^{d−1} ⊗ I jest określony dla Rj, to I^{−1}j = α_{d}(Δ^{d−1} ⊗ I)Rj.

Dowód. Fakt ten wynika stąd, że I jako izometria jest operatorem unitarnym i stąd, że Y^{+} jest operatorem symetrycznym. Dla każdego f ∈ R spełniającego założenia faktu 2.12 (funkcje takie są gęste w R, bo zawierają przestrzeń liniową rozpinaną przez W_{τ,σ}) mamy:

⟨f, I^{−1}j⟩ = ⟨If, j⟩ = ⟨α_{d}R^{∗}(Δ^{d−1} ⊗ I)f, j⟩ =  (2.29)
= ⟨((F(Y^{+})^{d−1}F^{−1}) ⊗ I)f, α_{d}Rj⟩ =  (2.30)
= ⟨f, α_{d}(F^{−1}(Y^{+})^{d−1}F ⊗ I)Rj⟩ =  (2.31)

= ⟨f, α_{d}(F^{−1}Q(Y^{+})^{d−1}QF ⊗ I)Rj⟩ =  (2.32)
= ⟨f, α_{d}(F(Y^{+})^{d−1}F^{−1} ⊗ I)Rj⟩ =  (2.33)
= ⟨f, α_{d}(Δ^{d−1} ⊗ I)Rj⟩ .  (2.34)

Zatem I^{−1}j = α_{d}(Δ^{d−1} ⊗ I)Rj.

Fakt 2.15 jest powodem, dla którego ridgelety tak dobrze nadają się do aproksymacji funkcji z osobliwościami na odcinkach. Jak sobie dość łatwo wyobrazić, transformata Radona przekształca osobliwości na odcinkach na osobliwości punktowe w przestrzeni Radona. (Niestety, słabo nadają się do aproksymacji funkcji z osobliwościami punktowymi, gdyż osobliwości punktowe stają się osobliwościami na krzywych.) Pełny dowód tych własności można znaleźć w pracy [Dono00].

Brak ridgeletów dla wymiarów d > 2 wynika z braku dobrych ortonormalnych baz falkowych na S^{d−1} dla d > 2. Warto zauważyć, że w wymiarze d > 2 mogą nas interesować osobliwości dowolnych wymiarów od 0 do d−1. W pracy [Dono99] została przedstawiona konstrukcja krat sztywnych, które mogłyby dobrze aproksymować takie osobliwości (konstrukcja używa m.in. rozmaitości Grassmana). (Kratą sztywną nazywamy układ funkcji (f_{n}) w L^{2} taki, że dla każdego h ∈ L^{2} mamy h = C · ∑ ⟨h, f_{n}⟩ f_{n} dla pewnej stałej C ∈ ℝ; przykładem kraty sztywnej nie będącej bazą jest układ funkcji powstający po połączeniu dwóch różnych baz ortonormalnych.)

Kształt ridgeletów

W tym rozdziale zajmujemy się własnościami ridgeletów (opartych na falkach Meyera, na płaszczyźnie). Baza ortogonalna ridgeletów jest indeksowana pięcioma liczbami:

• k — skala falki na prostej. Jak łatwo zauważyć, zmiana tego parametru oznacza po prostu skalowanie ridgeletu, zatem dla wygody przyjmiemy, że ma on wartość 0 (fakty łatwo będzie przenieść na dowolne k).

• l — jak bardzo falka Meyera jest oddalona od punktu 0. Środek układu współrzędnych ma duże znaczenie w konstrukcji ridgeletów, zatem parametr ten dość mocno wpływa na kształt.

• ϵ — określa, z którą częścią bazy ortonormalnej L_{2}(𝕋) mamy do czynienia: z funkcjami skalującymi na poziomie i_{0} (0), czy z falkami na poziomie i ≥ i_{0} (1).

• i — skala falki lub funkcji skalującej na okręgu. Ma wpływ na kształt ridgeletu (zasięg kątowy), podobnie jak l.

• j — obrót falki lub funkcji skalującej na okręgu. Zmiana tego parametru powoduje obrócenie ridgeletu, zatem, podobnie jak dla k, będziemy przyjmowali, że ma on ustaloną wartość. Funkcja s_{σ} jest symetryczna; aby środkiem symetrii było 0, przyjmujemy j = 1/2.

Rysunki 3.1 i 3.2 przedstawiają wyliczone numerycznie wykresy ridgeletów odpowiednio dla falek Ψ_{A} i Ψ_{C}. Jasność punktu określa |ρ(x, y)|; skala odcieni szarości przedstawiona jest pod wykresem na rysunku 3.3 (1 oznacza ||ρ||_{1}). Współrzędne x i y przebiegają na każdym wykresie od −64 do 64.

Na wszystkich wykresach ϵ = 1, i = 7 poza przedostatnim, na którym ϵ = 0, i = 8. Pierwsze cztery wykresy różnią się wartością parametru l. Ostatni wykres przedstawia η — przybliżenie ρ, które jest opisane później. Wartość l jest tu równa 0 — wykresy η dla różnych wartości l różnią się tylko przesunięciem.

Rysunek 3.3 to powiększenie wykresu dla l = 10 (współrzędne przebiegają tutaj od −32 do 32). Funkcja ρ jest oscylująca; widoczne na rysunku grzbiety są na przemian dodatnie i ujemne — po drugiej każdej białej pionowej linii oraz każdej białej linii krzywej znak się odwraca. Okres regularnych oscylacji poziomych (białe pionowe linie) jest mniej więcej równy 1.

\begin{matrix}0 & 2 \\ 10 & 25 \\ 10, ϵ = 0 & η \end{matrix}

Rysunek 3.1: Wykresy ρ dla różnych wartości l, oraz η (Ψ_{A} jako falka na prostej).

\begin{matrix}0 & 2 \\ 10 & 25 \\ 10, ϵ = 0 & η \end{matrix}

Rysunek 3.2: Wykresy ρ dla różnych wartości l, oraz η (Ψ_{C} jako falka na prostej).

0  0,2  0,4  0,6  0,8  1

Rysunek 3.3: Powiększenie wykresu ρ dla Ψ_{A}, l = 10, ϵ = 0, i = 7, oraz skala szarości.

3.1. Przybliżenie

Poniższe przybliżenie nie nadaje się szacowania wartości ρ_{l,1,i}(x, y) (nieznaczące indeksy j i k pomijamy) i pochodnych — chociaż można próbować policzyć drugą normę różnicy między ρ a przybliżeniem — ale daje się dosyć dobrze policzyć i dosyć dobrze oddaje kształt, szczególnie dla większych i.

Jak pamiętamy z konstrukcji (2.14), wartość transformaty Fouriera funkcji ρ̂_{l,1,i} w punkcie ωu, u = e^{iϕ}, zadana jest wzorem

ρ̂(ωu) = |ω|^{−1/2}(t̂_{τ} (ω)s_{σ}(u) + t̂_{τ} (−ω)s_{σ}(−u)).  (3.1)

Funkcja s_{1,i,1/2} jest określona na okręgu (u = e^{iθ}). Jeśli i jest duże, to funkcja s_{1,i,1/2} jest mała w punktach określonych przez duże θ. Przybliżenie opiera się na zastąpieniu u = e^{iθ} przez u = 1 + iθ, co (po przyjęciu s_{σ}(−u) = 0) prowadzi do:

η̂(ω, ν) = |ω|^{−1/2}(t̂_{τ} (ω)s̃_{σ}(1 + i(ν/ω)))  (3.2)

Funkcję s_{σ}(e^{it}) zdefiniowaliśmy wzorem s_{σ}(e^{it}) = ∑_{k}(2π)^{−1/2}Ψ_{i,0}(k + t/2π), zatem na potrzeby przybliżenia s̃_{σ}(1 + i(ν/ω)) = (2π)^{−1/2}Ψ_{i,0}(ν/2πω). Rysunek 3.4 schematycznie ukazuje, czym się różni kształt ρ̂ i η̂.

Rysunek 3.4: Schematyczne wykresy ρ̂ (z lewej) i η̂ (z prawej).

Przejście od η̂ do η jest łatwiejsze do obliczenia niż dla ρ. Niech η_{1} = (I ⊗ F^{−1})(η̂); mamy η = (F^{−1} ⊗ I)η_{1}. Niech ỹ = 2πy/2^{i}. Wykonując różniczkowanie najpierw po y (przejście z η̂ do η_{1}), a następnie po x (przejście z η_{1} do η) otrzymujemy:

η̂(ω, ν) = |2πω|^{−1/2}t̂_{τ} (ω)Ψ_{i}(ν/2πω)  (3.3)

η_{1}(ω, y) = (2π)^{−1/2}|2πω|^{+1/2}t̂_{τ} (ω)Ψ̂_{i}(2πωy)  (3.4)
η_{1}(ω, y) = (2π)^{−1/2}|2^{i+1}πω|^{+1/2}t̂_{τ} (ω)Ψ̂(2πωy/2^{i})  (3.5)
η(x, y) = (2π)^{−1}(2^{i+1}π)^{1/2} ∫_{−∞}^{∞} |ω|^{1/2}γ(ω)γ(ỹω)e^{iω(x−l+1/2))}dω  (3.6)

Z ostatniego wzoru widać, że η(x, y) = 0, jeśli |ỹ| jest mniejsze niż 1/4 lub większe niż 4 (nośniki γ(ω) i γ(ỹω) są wówczas rozłączne). (Wykresy η na rysunkach 3.1 i 3.2 nie są zerowe w tych przedziałach (są lekko szare); wynika to z błędów przybliżeń w obliczeniach numerycznych.) Należy się spodziewać, że η osiąga największą wartość dla x − l + 1/2 = 0 oraz ỹ = 1.

Porównanie wykresów prawdziwych ridgeletów i przybliżeń pokazuje, że prawdziwe ridgelety trochę zakręcają wokół 0. Poza tym, wykresy są dość podobne. Z własności transformaty Fouriera wynika, że dla prawdziwych ridgeletów wartości ρ dla za małych i za dużych |y| nie mogą być równe 0, chociaż są rzeczywiście małe.

Układ funkji η jest nie tylko przybliżeniem ridgeletów ρ, ale jest także interesującym układem funkcji, o własnościach zbliżonych do własności ridgeletów. Jest to baza ortonormalna. Konstrukcja η daje się łatwo uogólnić na większą liczbę wymiarów. Ridgelety były zadane przez izometrię (patrz wzory 2.13 i 2.15)

I = F_{d}^{−1}C(F_{1} ⊗ I) = α_{d}R^{∗}(Δ^{d−1} ⊗ I),  (3.7)

gdzie R^{∗} jest operatorem sprzężonym do transformaty Radona; dla „pseudoridgeletów” η odpowiednią izometrię można zapisać jako

Ĩ = F_{d}^{−1}C̃(F_{1} ⊗ I) = β_{d}E^{∗}(Δ^{d−1} ⊗ I),  (3.8)

gdzie (x ∈ ℝ, y ∈ ℝ^{d−1})

E^{∗}f(x, y) = ∫_{ℝ^{d−1}} f(x + z · y, z)dz.  (3.9)

Operator sprzężony do E^{∗} jest postaci

Ef(x, y) = ∫_{ℝ^{d−1}} f(x − z · y, z)dz;  (3.10)

podobnie jak dla transformaty Radona, mamy tutaj całki po hiperpłaszczyznach, z tym, że hiperpłaszczyzny są tu inaczej rozłożone.

Funkcje η mogłyby być pod pewnymi względami lepsze od ridgeletów ρ. W przypadku η wszystkie cztery parametry i, j, k i l wpływają na kształt funkcji w bardzo prosty sposób (przekształcenia afiniczne), a w przypadku ρ tylko j i k, co mogłoby mieć znaczenie praktyczne (wystarczy policzyć tylko jedną). Uogólnienie ridgeletów na wyższe wymiary natrafiło na problem z brakiem falek na sferze; w przypadku η zamiast sfery mamy hiperpłaszczyznę, na której falki są znane. Wadą funkcji η jest to, że nie wszystkie kierunki są równoważne (kierunek poziomy jest wyróżniony).

3.2. Oszacowanie ρ w pobliżu 0

Na wykresach dla ϵ = 1 widzimy, że ρ(x) jest małe dla punktów x ∈ ℝ^{2} bliskich 0. W tej części podamy wyjaśnienie tego faktu.

Jest to prawda tylko dla ϵ = 1. Wartość funkcji ρ w zerze jest bowiem równa t_{τ}^{+}(0) ∫_{𝕋} s_{σ}(u)du (ze wzoru 2.22); jeśli ϵ = 0, to całka ∫_{𝕋} s_{σ}(u)du jest niezerowa (jako całka z funkcji skalującej); t_{τ} (0) zazwyczaj również jest niezerowe.

Ze wzoru (2.22) wiemy, że ρ_{τ,σ} = L_{σ}(t_{τ}^{+}), gdzie operator L_{σ} : L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ^{2}) zadany jest wzorem (α′_{2} = α_{2}\sqrt{2})

L_{σ}(f)(x) = α′_{2} ∫_{𝕋} f(x · u)s_{σ}(u)du.  (3.11)

Z definicji funkcji s_{1,i} mamy, że (punkt x zapisujemy w biegunowym układzie współrzędnych jako x = re^{iθ})

L_{σ}(f)(x) = α′_{2} ∫_{0}^{2π} f(r cos(θ − ϕ))s_{σ}(e^{iϕ})dϕ  (3.12)
= α′_{2}(2π)^{−1/2} ∫_{−∞}^{∞} f(r cos(θ − ϕ))Ψ_{i,0}(ϕ/2π)dϕ  (3.13)

Jeśli f(t) = t^{k}, to przez zapisanie funkcji cos^{k} α w postaci sumy ∑_{l=−k}^{k} A_{l}e^{ilα} mamy:

L(f)(x) = α′_{2}(2π)^{−1/2} ∫_{−∞}^{∞}(r cos(θ − ϕ))^{k}Ψ_{i,0}(ϕ/2π)dϕ  (3.14)
= α′_{2}(2π)^{−1/2}r^{k} ∑_{l} A_{l} ∫_{−∞}^{∞} e^{il(θ−ϕ)}Ψ_{i,0}(ϕ/2π)dϕ  (3.15)
= α′_{2}(2π)^{+1/2}r^{k} ∑_{l} A_{l}e^{ilθ} ∫_{−∞}^{∞} e^{i2πl(ϕ/2π)}Ψ_{i,0}(ϕ/2π)dϕ/2π  (3.16)
= α′_{2}(2π)^{+1/2}r^{k} ∑_{l} A_{l}e^{ilθ}Ψ̂_{i,0}(2πl)  (3.17)

Z definicji falek Meyera wiemy, że Ψ̂_{i,0}(2πl) jest równe 0 dla |2πl| < 2^{i+1}π/3. Zatem L(f) = 0 dla funkcji f będących wielomianami stopnia m ≤ 2^{i}/3. Ze wzoru (3.11) widać, że

|L(f − g)(x)| ≤ α′_{2}||f − g||_{∞}||s_{1,i}||_{1},  (3.18)

gdzie przez ||f − g||_{∞} rozumiemy normę supremum na odcinku [−r, r], bo x · u zawsze należy do tego odcinka (x = re^{iθ}). Należy więc oszacować E_{m}(t_{0,l}^{+}), czyli błąd oszacowania funkcji t_{0,l}^{+} przez wielomian f stopnia m ≤ 2^{i}/3 na odcinku [−r, r].

W tym celu skorzystamy z następującego tw. Jacksona [Pleś00]:

Twierdzenie 3.1 (Jackson) Jeśli f jest klasy C^{k} na przedziale [−r, r] oraz m > k, to

E_{m}(f) ≤ (\frac{π}{2} )^{k} \frac{r^{k}||f^{(k)}||_{∞}}{(m + 1)\underline{k}} ,  (3.19)

gdzie a\underline{k} = a(a − 1)(a − 2) ⋯ (a − k + 1).

Pochodne t^{+} można łatwo oszacować z transformaty Fouriera:

||(t^{+})^{(k)}||_{∞} ≤ (2π)^{−1/2} ∫_{−∞}^{∞} |F((t^{+})^{(k)})(ω)|dω = ∫_{−∞}^{∞} |γ(ω)ω^{k}|ω|^{1/2}dω (3.20)
≤ 2(2π)^{−1/2} ∫0^{\frac{8π}{3}} (2π)^{1/2}|ω|^{k+1/2}dω  (3.21)
≤ \frac{2}{k + 3/2} (\frac{8π}{3} )^{k+3/2}  (3.22)

Po podstawieniu wzorów 3.19 i 3.22 do 3.18 otrzymujemy:

Twierdzenie 3.2 Dla każdych k i m spełniających k < m < 2^{i}/3

ρ_{0,l,1,i,j}(re^{iθ}) ≤ α′_{2}||s_{1,i}||_{1} (\frac{π}{2} )^{k} r^{k} \frac{2 (\frac{8π}{3} )^{k+3/2}}{(k + \frac{3}{2})(m + 1)\underline{k}}  (3.23)

≤ 16 (\frac{π}{3} )^{3/2} α′_{2}||s_{1,i}||_{1} \frac{(\frac{4π^{2}r}{3} )k}{(k + \frac{3}{2})(m + 1)\underline{k}} .  (3.24)

Oszacowanie jest tym lepsze, im większe jest m; najlepsze jest zatem dla m = ⌊2^{i}/3⌋ (najmniejszej liczby całkowitej nie przekraczającej 2^{i}/3).

Jeśli chodzi o k, to najlepsze oszacowanie otrzymujemy dla największego k, dla którego m + 2 − k ≥ \frac{4π^{2}r}{3} (m + 2 − k jest nowym czynnikiem dochodzącym do mianownika przy zwiększeniu k, a \frac{4π^{2}r}{3} — nowym czynnikiem dochodzącym do licznika; dla uproszczenia nie uwzględniamy zmieniającego się czynnika k+ \frac{3}{2}). Mamy zatem k ≤ m+2− \frac{4π^{2}r}{3} i jednocześnie k < m (warunek z Twierdzenia 3.1). Jeśli r jest małe (\frac{4π^{2}r}{3} < 3), to możemy przyjąć k = m − 1 (mamy wówczas (m + 1)\underline{k} = (m + 1)!/2), w przeciwnym razie największe możliwe jest k = ⌊m + 2 − \frac{4π^{2}r}{3} ⌋.

3.3. Oszacowanie ρ daleko od 0

Ograniczenie na ρ(x) dla dużych wartości |x| wynika z własności transformaty Fouriera.

Fakt 3.3 Jeśli t̂_{τ} jest funkcją klasy C_{l}, to dla pewnej stałej C ρ_{τ,σ}(x) ≤ C|x|^{−l}.

Dowód. Jeśli pochodna ρ̂ po ω_{k} istnieje i jest funkcją całkowalną, to

F^{−1} (\frac{dρ̂}{dω_{k}} ) (x) = ix_{k}ρ(x).  (3.25)

Ze wzoru na ρ̂ wynika, że jeśli funkcje s_{σ} i t̂_{τ} są klasy C^{l}, to ρ̂ również. Funkcja s_{σ} jest klasy C^{∞} (jako falka Meyera). Ze wzoru 3.25 oraz tego, że ||f||_{∞} ≤ (2π)^{−d/2}||f̂||_{1} łatwo można wywnioskować, że x_{1}^{l_{1}}x_{2}^{l_{2}} … x_{d}^{l_{d}}ρ(x_{1} … x_{d}) szacuje się przez normę L_{1} odpowiedniej pochodnej ρ̂.

Bibliografia

[Cand98] E. J. Candès, Ridgelets: Theory and Applications. Ph. D. Thesis, Stanford University.

[Cand01] E. J. Candès, New Ties between Computational Harmonic Analysis and Approximation Theory, 2001.

[Dono99] D. L. Donoho, Tight frames of k-plane Ridgelets and the problem of representing objects which are smooth away from d-dimensional singularities in ℝ^{n}, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 96 (1999), 1828-1833.

[Dono00] D. L. Donoho, Orthonormal ridgelets and linear singularities, SIAM J. Math. Anal. 31 (2000), 1062-1069.

[Dono01] D. L. Donoho, Ridge functions and orthonormal ridgelets, J. Approx. Theory 111 (2001), 143-179.

[Pleś00] W. Pleśniak, Wykłady z teorii aproksymacji, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.

[Wojt00] P. Wojtaszczyk, Teoria falek, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2000.

Wszystkie wymienione prace E. J. Candèsa i D. L. Donoho są dostępne na ich stronach internetowych.