N U ME R YK A W OB R AZ K AC H

Ciekawostki numeryczne

Zbior Mandelbrota

Zbior Mandelbrota powstaje w wyniku wielokrotnej iteracji pewnego wielomianu w dziedzinie zespolonej. Dokladniej, zbior Mandelbrota (czarne punkty) sklada sie z tych punktow c plaszczyzny zespolonej, dla ktorych orbita punktu 0 przy iteracji

x_new = (x_old)²+ c jest ograniczona. W przeciwnym razie, kolor punktu c zalezy od tego, jak szybko orbita ucieka do nieskonczonosci.

Fraktalne oblicze metody Newtona

Niestety, Twoja przegladarka nie obsluguje Javy.

Piekna figura powstaje w wyniku zastosowania metody Newtona do znalezienia miejsca zerowego wielomianu z³+1 w dziedzinie zespolonej [Autor appletu: Victor Huang]. Kolor danego punktu z=x+iy na plaszczyznie zalezy od tego, do ktorego zera wielomianu jest zbiezna metoda Newtona startujaca z x+iy jako przyblizenia poczatkowego. Naciskajac guzik "Refine", dostajemy obrazki coraz wiekszej rozdzielczosci. Lewym klawiszem myszki mozemy ograniczyc ogladany obszar i dokladniej przyjrzec sie jego strukturze. "Bardziej" zlozone obrazki powstaja dla wielomianow wyzszego stopnia, zob. M.Drexler, I.Sobey and C.Bracher:Fractal Characteristics of Newton's Method on Polynomials.

Praktyczne zastosowania

Ponizej przedstawiam kilka ciekawych obrazkow, wygenerowanych przeze mnie przy okazji rozmaitych projektow, w jakich zdarzylo mi sie uczestniczyc. Dotycza one takich zagadnien jak:

modelowanie przeplywu cieczy
badanie plynow mikropolarnych (maja zastosowanie w teorii smarowania),
zastosowanie metod dekompozycji obszaru w zagadnieniach konstrukcyjnych (w ramach projektu PARASOL),

Konstrukcje powlokowe (np. kadlub statku, dach)

Siatka elementu skonczonego na cwiartce czaszy. Triangulacja generowana automatycznie przez komercyjny pakiet SESAM z zachowaniem quasi-regularnosci. Czasza , czyli fragment sfery w 3 wymiarach, jest oczywiscie rozmaitoscia 2-wymiarowa, wiec uzywane elementy skonczone tez sa plaskie. Z drugiej jednak strony, realna czasza ma niezerowa grubosc, dlatego w definicji elementu skonczonego uwzglednia sie ja - dostajac tzw. element skorupowy (shell). [Wizualizacja: BOOGA]

Dekompozycja czaszy na 16 podobszarow, zawierajacych z grubsza te sama liczbe elementow skonczonych. Podzial czaszy przeprowadzono przy uzyciu automatycznego partitionera Metis. Podobszary sa dosc regularne (co prawda ich brzeg juz nie) i bardzo dobrze zbalansowane. Nieregularnosc brzegu moze powodowac klopoty numeryczne! Zwrocmy tez uwage na szary podobszar: lewy dolny trojkat ma tylko jeden wspolny punkt z reszta obszaru, to tez bywa zrodlem problemow przy rozwiazywaniu tego typu zagadnien przy uzyciu metody dekompozycji obszaru. [Wizualizacja: BOOGA]

Plyny mikropolarne (np. smary lozyskowe)

Tak wyglada macierz dyskretyzacji, za pomoca elementu skonczonego Taylora-Hooda, ukladu (ilu?) rownan rozniczkowych czastkowych, opisujacych przeplyw plynu nienewtonowskiego. Jej elegancka blokowa struktura odzwierciedla zaleznosci pomiedzy niewiadomymi. Wewnetrzne bloki zawdzieczaja swoja ascetyczna regularnosc prostokatnej, jednorodnej siatce. Z kolei cala macierz jest pieknie symetryczna (co znakomicie ulatwia jej numeryczne rozwiazywanie!), ale to juz zasluga samych rownan rozniczkowych, jakie poddano dyskretyzacji. [Wizualizacja: PETSc]

A to ta sama macierz, po uwzglednieniu w niej warunkow brzegowych. Zwrocmy uwage, ze macierz stracila symetrie! Co ciekawe, z punktu widzenia metod iteracyjnych rozwiazywania tej macierzy, bedzie ona wciaz zachowywala sie tak, jakby byla w pelni symetryczna! [Wizualizacja: PETSc]

Smar mikropolarny: mikrorotacja na tle siatki Smar mikropolarny: rozklad predkosci

Efektem rozwiazania macierzy typu rozwazanej poprzednio, jest obraz przeplywu oleju smarujacego w obszarze modelujacym "zuzyte" lozysko (miejscami warstewka smaru jest grubsza, niz normalnie). Okazuje sie, iz grubosc warstwy smaru ma wplyw na jego charakterystyki przenoszenia obciazen. Na powyzszych obrazkach, widzimy (po lewej) pole mikrorotacji na tle prostokatnej, niejednorodnej siatki elemetu skonczonego oraz (po prawej) rozklad predkosci w oleju smarujacym. W przedstawianym przypadku, dolna powierzchnia lozyska nie porusza sie, a gorna, nierowna, przesuwa w prawo ze stala predkoscia. Jak widac, plyn porusza sie najszybciej w okolicy "uskokow" symulujacych chropowatosci powierzchni. [Wizualizacja: Vigie]

Rownania elastycznosci

Zrzut ekranu MATLABa, obrazujacy strukture rozrzedzonej macierzy spotykanej w zagadnieniach elastycznosci. Wewnetrzne stopnie swobody poprzedzaja brzegowe i stad jej 2x2 blokowa struktura. Znow pelna symetria macierzy! [Wizualizacja: Matlab]