Maksymilian Dryja, Janina i Michał Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT
Claes Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge
Philippe G. Ciarlet,
The Finite Element Method for Elliptic Problems, SIAM
Dietrich Braess, Finite Elements
Theory, Fast Solvers, and Applications in Solid Mechanics, Cambridge
Alfio Quarteroni, Alberto Valli, Numerical approximation of partial differential equations, Springer
Na wykładzie będą omawiane także zagadnienia spoza podanej literatury.
Egzamin
Egzamin pisemny
Zadania i pytania o treści wykładu, wymienione poniżej. Dowody (zaznaczone poniżejkursywą) mogą być wymagane na ocenę bardzo dobrą. Zadania rozwiązujemy z możliwością wspomożenia się notatkami, na pytania odpowiadamy bez żadnych pomocy naukowych.
Egzamin ustny
Egzamin dla chętnych, w terminie ustalonym po ogłoszeniu wyników pisemnego.
Wykład... tydzień po tygodniu
Zadania modelowe, wokół których osnuto wykład. Droga od równania różniczkowego do numerycznego rozwiązania: omówienie kolejnych etapów i trudności z nimi związanych. Jednowymiarowe zadanie Poissona: dyskretyzacja MRS, lokalny błąd aproksymacji, sformułowanie macierzowe, stabilność zadania dyskretnego i jak je rozwiązywać. Ogólna teoria Laxa-Filipowa dla schematów liniowych.
Twierdzenie o stabilności w dyskretnej normie maksimum dla macierzy diagonalnie dominującej. Operatory różnicy dzielonej w przód, w tył i centralnej i ich rząd aproksymacji. Różne warianty dyskretyzacji równań różniczkowych drugiego rzędu postaci -u''(x)+b(x)u'(x)+c(x) u(x) = f(x) z warunkami brzegowymi Dirichleta i Neumanna. Przypadek c(x) ≥ c > 0. Warunki brzegowe niejednorodne. Warunkowa stabilność schematu rzędu 2 (z pierwszą pochodną aproksymowaną różnicą centralną) gdy |b(x)| ≥ M. Aproksymacja zadania -(a(x)u'(x))'+b(x)u'(x)+c(x)u(x) = f(x) (do domu).
Stabilność bezwarunkowa, gdy b(x) ≥ 0, a pierwsza pochodna aproksymowana różnicą w tył. Różnicowa zasada maksimum i wynikające z niej twierdzenie o stabilności. Stabilność w normie maksimum, gdy c(x) ≥ 0 (dla b=0). Podwyższenie rzędu aproksymacji warunku Neumanna przez wykorzystanie równania i analiza stabilności (to ostatnie do domu). Dyskretyzacja schematem rzędu 2 i pełna analiza aproksymacji (przez zasadę maksimum oraz tw. Laxa) w normie maksimum zadania Poissona w obszarze prostokątnym z warunkami brzegowymi Dirichleta.
Różne zadania na aproksymację i stabilność w normie maximum dla równań eliptycznych. Złe metody aproksymacji -(a(x)u'(x))'+b(x)u'(x)+c(x)u(x) = f(x). Podwyższenie rzędu aproksymacji warunku Neumanna przez wykorzystanie punktów zewnętrznych. Schemat dziewięciopunktowy dla dwuwymiarowego Laplasjanu.
Aproksymacja z rzędem 2 równania -(a(x)u'(x))'+c(x)u(x) = f(x) i stabilność w normie maksimum. Macierzowe sformułowanie problemu i jego symetria. Stabilność zadania z warunkiem brzegowym Dirichleta i Neumanna na siatce przesuniętej (trick z eliminacją niewiadomej związanej z warunkiem Dirichleta). Równania hiperboliczne pierwszego rzędu o stałym współczynniku ut+ a ux = f: schemat upwind i warunek CFL. Wiosenna kartkówka: aproksymacja warunku Neumanna rzędu 2.
Stabilność schematów upwind i otwartego schematu Eulera z różnicą centralną. Wartości własne trójdiagonalnej macierzy Toeplitza. Własność regularyzacji równania (numeryczna dyfuzja) przez schemat upwind. Globalny błąd aproksymacji dla schematu upwind. Schemat Laxa-Friedrichsa (do domu). Aproksymacja z rzędem 2 dla dwuwymiarowego zadania eliptycznego z warunkiem Neumanna, na siatce prostokątnej (nie-kwadratowej): aproksymacja warunku Neumanna metodą współczynników nieoznaczonych. Postać macierzowa tego zagadnienia.
Aproksymacja z rzędem 2 dla dwuwymiarowego zadania eliptycznego z warunkiem Neumanna, na siatce prostokątnej (nie-kwadratowej): aproksymacja warunku Neumanna metodą z wykorzystaniem równania na brzegu. Postać macierzowa dwuwymiarowego zagadnienia Poissona z warunkiem brzegowym Dirichleta (przy leksykograficznym uporządkowaniu niewiadomych). Własności tej macierzy i koszt rozwiązania takiego układu metodami eliminacji Gaussa: gęstą i pasmową. Podstawowe metody rozwiązywania układów równań z macierzami rozrzedzonymi: przegląd. Metoda strukturalna (bezpośrednia). Metody iteracyjne klasyczne i analiza ich zbieżności w przypadku ogólnym. Metoda Richardsona i wybór parametru optymalnego.
Metody Jacobiego, Gaussa-Seidela, CG. Ściskanie macierzy. Sformułowanie dwuwymiarowego zadania Poissona na siatce jednostajnej w terminach macierzy niewiadomych. Wartości i wektory własne dwuwymiarowego laplasjanu.
Kolokwium . Stabilność schematów różnicowych dla zadań parabolicznych.
Metoda Galerkina aproksymacji równań różniczkowych eliptycznych. Twierdzenie o stabilności i aproksymacji. Metoda elementu skończonego. Przykłady dla równania Poissona jedno- i dwuwymiarowego: baza funkcji dachowych, warunek brzegowy Dirichleta, postać macierzowa, związek z metodą różnic skończonych. Stabilność zadania dyskretnego.
Warunek Neumanna w jednowymiarowym zadaniu Poissona. Baza lokalna. Macierz masy i jej związek z metodą różnic skończonych. Elementy skończone kwadratowe na odcinku. Zadanie czwartego rzędu i wybór bazy.
Afinicznie równoważne elementy skończone. Twierdzenia o błędzie interpolacji. Warunek regularności kształtu. Półdyskretyzacja równań parabolicznych i układ równań zwyczajnych, jaki się uzyskuje.
Uzupełnienia. Twierdzenie Necasa. Metoda Petrova-Galerkina. Metoda z aproksymacją formy dwuliniowej lub prawej strony (np. kwadraturą): lematy Stranga. Niejednorodne warunki brzegowe w praktyce.