Topologia i teoria mnogości

Prowadzący seminarium:

Opis seminarium:

Tematyka seminarium obejmuje szereg różnorodnych obszarów topologii ogólnej i teorii mnogości, ze szczególnym uwzględnieniem problematyki znajdującej się na styku obu tych dziedzin i mającej związki z innymi działami matematyki oraz matematycznymi podstawami informatyki.
Do uczestnictwa w seminarium wystarczająca jest znajomość wykładów kursowych ,,Topologia I'' oraz ,,Wstęp do matematyki''. Rekomendowane jest uprzednie lub równoległe zaliczenie wykładu monograficznego ,,Wprowadzenie do teorii mnogości'' (zastąpionego od roku akad. 09/10 wykładem fakultatywnym ,,Teoria mnogości'').

Dotychczasowa problematyka:

1. Deskryptywna teoria mnogości.
Deskryptywna teoria mnogości zajmuje się klasyfikowaniem podzbiorów przestrzeni polskich (tzn. przestrzeni topologicznych ośrodkowych, metryzowalnych w sposób zupełny) pod względem stopnia ich skomplikowania. Mierzony on jest poprzez ustalenie deskryptywnej złożoności badanych podzbiorów, czyli wskazanie ich położenia w rozmaitych hierarchiach, w tym borelowskiej lub rzutowej. Pozycja zbioru w takiej hierarchii jest miarą prostoty definicji tego zbioru za pomocą zbiorów otwartych oraz operacji przeliczalnej sumy, dopełnienia i rzutowania. Deskryptywna złożoność danego zbioru daje ważną informację na temat jego własności. Przykłady zbiorów, których deskryptywną złożoność się bada, pochodzą z różnych dziedzin matematyki, w szczególności z analizy i topologii (podprzestrzenie przestrzeni funkcyjnych lub hiperprzestrzeni zbiorów zwartych) oraz matematycznych podstaw informatyki (języki obiektów nieskończonych rozpoznawalne przez automaty skończone).

2. Teoria algebr Boole'a.
Algebra Boole'a składa się z uniwersum, dwóch elementow wyróżnionych (zera i jedynki) oraz działań sumy, iloczynu i dopełnienia. Z algebraicznego punktu widzenia każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem podzbiorów jakiegoś niepustego zbioru X: zerem jest zbiór pusty, jedynką cały zbiór X, a działaniami są odpowiednie operacje teoriomnogościowe. Algebry Boole'a odgrywają bardzo ważną rolę w teorii mnogości, topologii, teorii miary (sigma ciała zbiorów), logice oraz matematycznych podstawach informatyki. Z punktu widzenia topologii kluczowa jest tzw. dualność Stone'a: algebry Boole'a są w kanonicznej wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości ze zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami topologicznymi.

3. Ultrafiltry podzbiorów zbioru liczb naturalnych N.
Ultrafiltr podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest rodziną podzbiorów zbioru N, zamkniętą ze względu na branie nadzbiorów i skończone przecięcia swoich elementów oraz zawierającą po dokładnie jednym zbiorze z każdej pary postaci: {podzbiór zbioru N, jego dopełnienie w N}. W rodzinie wszystkich ultrafiltrów można wprowadzić topologię w taki sposób, że otrzymana przestrzeń jest uzwarceniem Cecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych. Uzyskuje się bardzo ciekawą przestrzeń topologiczną, którą bada się za pomocą metod topologii, teorii mnogości oraz teorii algebr Boole'a. Można też w przestrzeni tej wprowadzić naturalną strukturę półgrupy. Badanie tej półgrupy prowadzi do zaskakująco prostych dowodów różnych twierdzeń kombinatoryki nieskończonej. Chodzi o tzw. twierdzenia podziałowe, do których należy znane twierdzenie Ramseya.

Aktualna lista uczestników seminarium:

Michał Gołębiowski
Łukasz Grochala
Adrian Królak
Adrian Panasiuk
Przemysław Pawelec
Barbara Pilat
Łukasz Wołochowski
Nikolay Zhukov

Przykłady tematów prac magisterskich uczestników seminarium:

1. Deskryptywna złożoność zbioru punktów osiągalnych zbiorów zwartych w przestrzeniach euklidesowych.
2. Deskryptywna złożoność pewnych podzbiorów hiperprzestrzeni zbiorów domkniętych .
3. Własności oddzielania zbiorów drzew definowalnych przez automaty.
4. Twierdzenia o zwartości w topologii, logice i kombinatoryce.
6. Własności selekcyjne ideałów na zbiorze liczb naturalnych.

Strona seminarium w USOS
Opis badań z dziedziny teorii mnogości i topologii w Instytucie Matematyki UW.