Topologia i teoria mnogości

Prowadzący seminarium:

Opis seminarium:

Tematyka seminarium obejmuje szereg różnorodnych obszarów topologii ogólnej i teorii mnogości, ze szczególnym uwzględnieniem problematyki znajdującej się na styku obu tych dziedzin i mającej związki z innymi działami matematyki oraz matematycznymi podstawami informatyki.
Do uczestnictwa w seminarium wystarczająca jest znajomość wykładów kursowych ,,Topologia I'' oraz ,,Wstęp do matematyki''. Rekomendowane jest uprzednie lub równoległe zaliczenie wykładów fakultatywnych ,,Teoria mnogości'' i ,,Topologia ogólna".

Przykładowa problematyka:

1. Deskryptywna teoria mnogości.
Deskryptywna teoria mnogości zajmuje się klasyfikowaniem podzbiorów przestrzeni polskich (tzn. przestrzeni topologicznych ośrodkowych, metryzowalnych w sposób zupełny) pod względem stopnia ich skomplikowania. Mierzony on jest poprzez ustalenie deskryptywnej złożoności badanych podzbiorów, czyli wskazanie ich położenia w rozmaitych hierarchiach, w tym borelowskiej lub rzutowej. Pozycja zbioru w takiej hierarchii jest miarą prostoty definicji tego zbioru za pomocą zbiorów otwartych oraz operacji przeliczalnej sumy, dopełnienia i rzutowania. Deskryptywna złożoność danego zbioru daje ważną informację na temat jego własności. Przykłady zbiorów, których deskryptywną złożoność się bada, pochodzą z różnych dziedzin matematyki, w szczególności z analizy i topologii (podprzestrzenie przestrzeni funkcyjnych lub hiperprzestrzeni zbiorów zwartych) oraz matematycznych podstaw informatyki (języki obiektów nieskończonych rozpoznawalne przez automaty skończone).

2. Teoria algebr Boole'a.
Algebra Boole'a składa się z uniwersum, dwóch elementow wyróżnionych (zera i jedynki) oraz działań sumy, iloczynu i dopełnienia. Z algebraicznego punktu widzenia każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem podzbiorów jakiegoś niepustego zbioru X: zerem jest zbiór pusty, jedynką cały zbiór X, a działaniami są odpowiednie operacje teoriomnogościowe. Algebry Boole'a odgrywają bardzo ważną rolę w teorii mnogości, topologii, teorii miary (sigma ciała zbiorów), logice oraz matematycznych podstawach informatyki. Z punktu widzenia topologii kluczowa jest tzw. dualność Stone'a: algebry Boole'a są w kanonicznej wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości ze zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami topologicznymi.

3. Ultrafiltry podzbiorów zbioru liczb naturalnych N.
Ultrafiltr podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest rodziną podzbiorów zbioru N, zamkniętą ze względu na branie nadzbiorów i skończone przecięcia swoich elementów oraz zawierającą po dokładnie jednym zbiorze z każdej pary postaci: {podzbiór zbioru N, jego dopełnienie w N}. W rodzinie wszystkich ultrafiltrów można wprowadzić topologię w taki sposób, że otrzymana przestrzeń jest uzwarceniem Cecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych. Uzyskuje się bardzo ciekawą przestrzeń topologiczną, którą bada się za pomocą metod topologii, teorii mnogości oraz teorii algebr Boole'a. Można też w przestrzeni tej wprowadzić naturalną strukturę półgrupy. Badanie tej półgrupy prowadzi do zaskakująco prostych dowodów różnych twierdzeń kombinatoryki nieskończonej. Chodzi o tzw. twierdzenia podziałowe, do których należy znane twierdzenie Ramseya.

4. Własności kombinatoryczne zbiorów i ich związki z topologią ogólną.
W teorii mnogości często bada się zbiory o szczególnych, czasem zaskakujących własnościach. Przykładem takich zbiorów są omówione w poprzednim punkcie ultrafiltry. Inne przykłady, które pojawiły się na seminarium w ostatnich latach, to:
4.1. Paradoksalny podział kuli (,,paradoks Banacha-Tarskiego"). Chodzi o podział kuli w R^3 na skończenie wiele podzbiorów, za pomocą których można - obracając je i przesuwając - utworzyć dwie kule identyczne z wyjściową. Kawałki takiego podziału nie mogą być wszystkie mierzalne w sensie Lebesgue'a (ani w sensie żadnej skończenie addytywnej miary przedłużającej miarę Lebesgue'a i niezmienniczej na izometrie), mogą natomiast mieć własność Baire'a.
4.2. Luka Hausdorffa. Wyrafinowana konstrukcja, znaleziona przez Felixa Hausdorffa, prowadzi do bardzo ciekawej rodziny podzbiorów zbioru liczb naturalnych, która z topologicznego punktu widzenia daje przykład zstępującego ciągu pozaskończonego długości omega_1, złożonego z podzbiorów typu F_sigma zbioru Cantora i mającego puste przecięcie.
4.3. Takie zbiory X, że istnieje przeliczalnie addytywna miara probabilistyczna, znikająca na singletonach i zdefiniowana na sigma-ciele wszystkich podzbiorów zbioru X. Wyniki Stanisława Ulama pokazują, że moc zbioru X o tej własności musi byc w pewnym sensie bardzo duża, choć z drugiej strony nieznane są powody, dla których za X nie można by przyjąć zbioru liczb rzeczywistych. W tym ostatnim przypadku miara, o której mowa, może być przedłużeniem miary Lebesgue'a.
4.4. Takie zbiory X, dla których sigma-ciało wszystkich podzbiorów kwadratu kartezjańskiego X x X jest generowane przez abstrakcyjne prostokąty postaci A x B, gdzie A, B są dowolnymi podzbiorami zbioru X. Własność ta implikuje, że zbiór X jest mocy co najwyżej kontinuum. Ma ją też każdy zbiór najmniejszej mocy nieprzeliczalnej, ale pytania, czy ma ją zbiór liczb rzeczywistych nie da się rozstrzygnąć na gruncie zwykłej aksjomatyki teorii mnogości. Niedawny wynik Stevo Todorcevica pokazał zaskakujący związek tej własności z twierdzeniem Parovicenki, dotyczącym możliwości istnienia ciągłej suriekcji z narostu uzwarcenia Cecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych na daną zwartą przestrzeń Hausdorffa ciężaru co najwyżej kontinuum.

5. Gry nieskończone.
Bardzo bogata problematyka gier nieskończonych i ich zastosowań w topologii i teorii mnogości została zapoczątkowana przez Stanisława Mazura, który w 1935 r. zaproponował w Księdze Szkockiej następującą grę, znaną dziś jako gra Banacha-Mazura. Dany jest podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych. Gracze I i II wybierają na przemian coraz mniejsze przedziały otwarte I_0, I_1, I_2,...; gracz II wygrywa, jeśli przecięcie wszystkich tych przedziałów jest podzbiorem zbioru A. Okazuje się, że istnienie strategii zwycięskiej dla któregoś z graczy wiąże się ściśle z własnościami topologicznymi zbioru A. Szczególną rolę w teorii mnogości odgrywa natomiast następujący wariant gry Banacha-Mazura, zaproponowany przez Stanisława Ulama. Gracze na przemian wybierają zera i jedynki, w wyniku rozgrywki tworząc nieskończony ciąg binarny (x_0, x_1, x_2...); gracz II wygrywa, jeśli ciąg ten trafia do zadanego z góry zbioru A. Twierdzenie Donalda Martina, mówiące, że jeśli zbiór A jest borelowski (jako podzbiór przeliczalnego produktu przestrzeni {0,1}), to któryś z graczy ma w grze Ulama strategię zwycięską, jest jednym z najgłębszych wyników deskryptywnej teorii mnogości.

Program seminarium w roku akad. 2022/2023 (prowadzący: Witold Marciszewski, Piotr Zakrzewski):

1. Liczby porządkowe z topologią porządkową.
2. Zwarte przestrzenie rozproszone.
3. Konsekwencje aksjomatu determinacji.
4. Hierarchia Baire'a funkcji borelowskich, charakteryzacje funkcji I klasy Baire'a o wartościach rzeczywistych.
5. Kompakty Rosenthala.
6. Funkcje przeliczalnie ciągłe.
7. Własności pokryciowe i gry topologiczne.
8. Kanoniczny model wewnętrzny z liczbą mierzalną.
9. Kompakty Eberleina.
10. Twierdzenie Sierpińskiego o zupełności przestrzeni metryzowalnej, będącej ciągłym otwartym obrazem przestrzeni polskiej.
11. Grupy topologiczne.
12. Twierdzenie Namioki o funkcjach określonych na iloczynie kartezjańskim dwóch przestrzeni zwartych, ciągłych ze względu na każdą ze zmiennych.

Program seminarium w semestrze zimowym roku akad. 2021/2022 (prowadzący: Mikołaj Krupski, Maciej Malicki):

1. Elementy deskryptywnej teorii mnogości (na podstawie [10] i [1]).
2. Elementy teorii grafów (na podstawie [4] i [12].)
3. Liczba chromatyczna dla grafów otwartych i dla grafów domkniętych (na podstawie [12], [18], [19], [7], [8]).
4. Borelowska liczba chromatyczna (na podstawie [12] i [13]).
5. Dychotomia dla grafów analitycznych i twierdzenie Silvera (na podstawie [6]).
6. Borelowska liczba chromatyczna i twierdzenie Brooksa (na podstawie [2]).
7. Borelowski indeks chromatyczny (na podstawie [12], [11], [9], [3], [20]).
8. Pełne skojarzenia i twierdzenie Halla. Zastosowania do paradoksalnego rozkładu kuli (na podstawie [15] i [11]).
9. Liczba chromatyczna grafu homeomorfizmu n-wymiarowej przestrzeni parazwartej wynosi co najwyżej n+3 (na podstawie [16]).
10. Borelowska liczba chromatyczna grafu generowanego przez skończoną liczbę przekształceń borelowskich (na podstawie [17]).

Literatura:
[1] R. Chen, On Lusin-Novikov uniformization, notes.
[2] C. Conley, A. Marks, R. Tucker-Drob, Brook’s theorem for measurable colorings, Forum Math. Sigma 4 (2016), Paper No. e16.
[3] E. Csóka, G. Lippner, O. Pikhurko, K?nig’s line coloring and Vizing’s theorems for graphings, Forum Math. Sigma 4 (2016), Paper No. e27.
[4] R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag 2005.
[5] S. Gao, Invariant descriptive set theory, Pure and applied mathematics, Chapman & Hall/CRC, 2009.
[6] A. Gawro«ski, Teoriografowe dowody pewnych dychotomii w deskryptywnej teorii mnogości, praca magisterska, UW.
[7] S. Geschke, Denable graphs on Polish spaces, slides.
[8] S. Geschke, Weak Borel chromatic numbers, Math. Logic Quarterly 57 (2011), 5-13.
[9] J. Grebík, O. Pikhurko, Measurable versions of Vizing’s theorem, Advances Math. 374 (2020), 107-378.
[10] A. Kechris, Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Mathematics, 156, Springer-Verlag, 1995.
[11] A. Kechris, A. Marks, Descriptive Graph Combinatorics, notes.
[12] A. Kechris, S. Solecki, S. Todorcevic, Borel chromatic numbers, Advances Math. 141 (1999), 1-44.
[13] A. Marks, A short proof that an acyclic n-regular borel graph may have borel chromatic number n + 1, notes.
[14] A. Marks, A determinacy approach to borel combinatorics, J. American Math. Society, 29 (2016), 579-600.
[15] A. Marks, S. Unger, Baire measurable paradoxical decompositions via matchings, Advances Math. 289 (2016), 397-410.
[16] J. van Mill, Easier proofs of coloring theorems, Topology Appl. 97 (1999), 155-163.
[17] K. Palamourdas, 1, 2, 3, . . . , 2n + 1, ?!, praca doktorska, UCLA.
[18] S. Todorcevic, Two examples of Borel partially ordered sets with ccc, Proc. American Math. Society, 112 (1991), 1125-1128.
[19] M. Viale, G. Carotenuto, An introduction to OCA, lecture notes.
[20] F. Weilacher, Borel Vizing’s Theorem for 2-Ended Groups, arXiv:2101.12740v1.

Program seminarium w semestrze letnim roku akad. 2021/2022 (prowadzący: Mikołaj Krupski, Maciej Malicki):

1. Relacje ramseyowskie i twierdzenie Ramseya (na podstawie [6] i [7]).
2. Twierdzenia Halesa-Jewetta oraz Grahama-Rothschilda i ich zastosowania (na podstawie [9]).
3. Topologiczne układy dynamiczne i własność Ramseya (na podstawie [8] i [10]).
4. Duże stopnie Ramseya grafu losowego i porządku liczb wymiernych (na podstawie [4]).
5. Twierdzenie Halperna-Läuchliego i jego zastosowania (na podstawie [1]).
6. Tęczowe kolorowania (na podstawie [2] i [3]).
7. Ultrafiltry ramseyowskie i aksjomat Martina (na podstawie Rozdziału 13 w [5]).

Literatura:
[1] N. Dobrinen, Forcing in Ramsey theory, tutorial notes.
[2] N. Dobrinen, C. Laflamme, N. Sauer, Rainbow Ramsey simple structures, Disc. Math., 339 (2016), 2848-2855.
[3] V. Fisher, Partitioning pairs of countable sets of ordinals, notes.
[4] R. Fraisse, Theory of relations, North Holland, 2012.
[5] L. Halbeisen, Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing, Springer 2012.
[6] W. Hodges, Model theory, Cambridge University Press, 2008.
[7] D. Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002.
[8] L. Nguyen Van The, More on the Kechris-Pestov-Todorcevic correspondence: Precompact expansions, Fund. Math. 222 (2013), 19-47.
[9] H. Prömmel, Ramsey Theory for Discrete Structures, Springer, 2013.
[10] A. Zucker, Topological dynamics of automorphism groups, ultrafilter combinatorics, and the Generic Point Problem, Trans. Amer. Math. Soc., 368 (2016), 6715-6740.

Przykłady tematów prac magisterskich uczestników seminarium:

1. Deskryptywna złożoność zbioru punktów osiągalnych zbiorów zwartych w przestrzeniach euklidesowych.
2. Deskryptywna złożoność pewnych podzbiorów hiperprzestrzeni zbiorów domkniętych.
3. Własności oddzielania zbiorów drzew definowalnych przez automaty.
4. Twierdzenia o zwartości w topologii, logice i kombinatoryce.
6. Zbiory małe w sensie Bartoszyńskiego.
7. Własności selekcyjne ideałów na zbiorze liczb naturalnych.
8. O pewnej metodzie konstrukcji modeli teorii mnogości.
9. Pewne rozszerzenia twierdzenia Michaela o selekcjach ciągłych dla multifunkcji o wartościach wypukłych w przestrzeniach Banacha.
10. Funkcje parkingowe.
11. Zastosowania ultrafiltrów w dowodach twierdzeń podziałowych.
12. Teoriografowe dowody pewnych dychotomii w deskryptywnej teorii mnogości.
13. Uogólnienia twierdzenia Ellentucka i filtry.
14. Borelowska wersja twierdzenia Halla.
15. Sumy algebraiczne podzbiorów prostej - miara i mierzalność.
16. Biciągowość w klasach kompaktów Rosenthala i Eberleina.
17. Zasada "Trefl" - warianty i zastosowania.
18. Własności pokryciowe i przestrzenie funkcyjne.
19. Gry topologiczne, hiperprzestrzenie i własności w nieskończoności.
20. O strukturze relacji definiowalności pomiędzy definicjami prawdy dla języka arytmetyki.
21. Twierdzenia ramseyowskie a zbiory odseparowane w przestrzeniach Banacha.
22. Topologiczna jednorodność.
23. Teorie ze skończenie wieloma przeliczalnymi modelami w matematyce odwrotnej nad słabą teorią bazową.
24. Kanoniczny model z jedną mierzalną liczbą kardynalną a iterowalność.
25. Niezmienniki w teorii przestrzeni Banacha a pewne rodziny funkcji 1 klasy Baire'a.

Strona seminarium w USOS
Opis badań z dziedziny teorii mnogości i topologii w Instytucie Matematyki UW.