Topologia i teoria mnogości

Prowadzący seminarium:

Opis seminarium:

Tematyka seminarium obejmuje szereg różnorodnych obszarów topologii ogólnej i teorii mnogości, ze szczególnym uwzględnieniem problematyki znajdującej się na styku obu tych dziedzin i mającej związki z innymi działami matematyki oraz matematycznymi podstawami informatyki.
Do uczestnictwa w seminarium wystarczająca jest znajomość wykładów kursowych z "Topologii" oraz ze "Wstępu do matematyki". Rekomendowane jest uprzednie lub równoległe zaliczenie wykładu "Wprowadzenie do teorii mnogości".

Dotychczasowa problematyka:

1. Deskryptywna teoria mnogości.
Deskryptywna teoria mnogości zajmuje się klasyfikowaniem podzbiorów przestrzeni polskich (t.j. przestrzeni topologicznych ośrodkowych, metryzowalnych w sposób zupełny) pod względem stopnia ich skomplikowania. Mierzony on jest poprzez ustalenie deskryptywnej złożoności badanych podzbiorów, czyli wskazanie ich położenia w rozmaitych hierarchiach, w tym borelowskiej lub rzutowej. Pozycja zbioru w takiej hierarchii jest miarą prostoty definicji tego zbioru za pomocą zbiorów otwartych oraz operacji przeliczalnej sumy, dopełnienia i rzutowania. Deskryptywna złożoność danego zbioru daje ważną informację na temat jego własności. Przykłady zbiorów, których deskryptywną złożoność się bada, pochodzą z różnych dziedzin matematyki, w szczególności z analizy i topologii (podprzestrzenie przestrzeni funkcyjnych lub hiperprzestrzeni zbiorów zwartych) oraz matematycznych podstaw informatyki (języki obiektów nieskończonych rozpoznawalne przez automaty skończone).

2. Teoria algebr Boole'a.
Algebra Boole'a składa się z uniwersum, dwóch elementow wyróżnionych (zera i jedynki) oraz działań sumy, iloczynu i dopełnienia. Z algebraicznego punktu widzenia każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem podzbiorów jakiegoś niepustego zbioru X: zerem jest zbiór pusty, jedynką cały zbiór X, a działaniami są odpowiednie operacje teoriomnogoście. Algebry Boole'a odgrywają bardzo ważną rolę w teorii mnogości, topologii, teorii miary (sigma ciała zbiorów), logice oraz matematycznych podstawach informatyki. Z punktu widzenia topologii kluczowa jest tzw. dualność Stone'a: algebry Boole'a są w kanonicznej wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości ze zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami topologicznymi.

Planowane rozszerzenie problematyki:

3. Ultrafiltry podzbiorów zbioru liczb naturalnych N.
Ultrafiltr podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest rodziną podzbiorów zbioru N, zamkniętą ze względu na branie nadzbiorów i skończone przecięcia swoich elementów oraz zawierającą po dokładnie jednym zbiorze z każdej pary postaci: {podzbiór zbioru N, jego dopełnienie w N}. W rodzinie wszystkich ultrafiltrów można wprowadzić topologię w taki sposób, że otrzymana przestrzeń jest uzwarceniem Cecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych. Uzyskuje się bardzo ciekawą przestrzeń topologiczną, którą bada się za pomocą metod topologii, teorii mnogości oraz teorii algebr Boole'a. Można też w przestrzeni tej wprowadzić naturalną strukturę półgrupy. Badanie tej półgrupy prowadzi do zaskakująco prostych dowodów różnych twierdzeń kombinatoryki nieskończonej. Chodzi o tzw. twierdzenia podziałowe, do których należy znane twierdzenie Ramseya.

Przykłady tematów prac magisterskich uczestników seminarium:

1. Deskryptywna złożoność zbioru punktów osiągalnych zbiorów zwartych w przestrzeniach euklidesowych.
2. Deskryptywna złożoność pewnych podzbiorów hiperprzestrzeni zbiorów zwartych.
3. Własności oddzielania zbiorów drzew definowalnych przez automaty.

Strona seminarium w USOS
Opis badań z dziedziny teorii mnogości i topologii w Instytucie Matematyki UW.