Rysowanie wykresów
Wykresy wykonane w OpenOffice: płatków i spiralki,
funkcji różniczkowalnej, większej od zera poza zerem,
równej zero w zerze, oraz zmieniającej monotoniczność nieskończenie wiele razy w dowolnym otoczeniu zera,
funkcji z zadania domowego o stycznej.
Niedokończone zadanie z sin(n)
Tw. Jeżeli jakiś podciąg an nie jest zbieżny do g, to także an nie jest zbieżny do g
(w notatkach wykładowych znajduje się jakieś dziwne dodatkowe ograniczenia na to twierdzenie).
Rozważmy ciąg an = sin(r n) dla dowolnej stałej π > r > 0. Niech ε = (π - r) ⁄ 2. Wtedy dlugość każdego przedziału ⟨ k π + ε, (k+1) π - ε ⟩ dla naturalnego k, jest mniejsza od r. Zatem, w każdym takim przedziale znajduje się przynajmnej jedno r nk dla pewnego naturalnego nk. Jeżeli k jest parzyste, to sin(nk) ≥ sin(k π + ε) ≥ 0. Jeżeli natomiast k jest nieparzyste, to sin(nk) ≤ sin(k π + ε) ≤ 0. Stąd dla parzystych k podciąg ank ciągu an jest stale większy od pewnej liczby dodatniej, a dla k nieparzystych ank jest stale mniejsze od pewnej liczby ujemnej.
Na mocy powyższego twierdzenia an nie ma granicy (w przyszłości pokażemy sobie także, że dla dowolnej liczby wymiernej q ≠ 0 ciąg sin(q n) ma granicę górną równą 1 i dolną równą -1, czyli także nie może mieć granicy w klasycznym sensie).
Rozważmy ciąg an = sin(r n) dla dowolnej stałej π > r > 0. Niech ε = (π - r) ⁄ 2. Wtedy dlugość każdego przedziału ⟨ k π + ε, (k+1) π - ε ⟩ dla naturalnego k, jest mniejsza od r. Zatem, w każdym takim przedziale znajduje się przynajmnej jedno r nk dla pewnego naturalnego nk. Jeżeli k jest parzyste, to sin(nk) ≥ sin(k π + ε) ≥ 0. Jeżeli natomiast k jest nieparzyste, to sin(nk) ≤ sin(k π + ε) ≤ 0. Stąd dla parzystych k podciąg ank ciągu an jest stale większy od pewnej liczby dodatniej, a dla k nieparzystych ank jest stale mniejsze od pewnej liczby ujemnej.
Na mocy powyższego twierdzenia an nie ma granicy (w przyszłości pokażemy sobie także, że dla dowolnej liczby wymiernej q ≠ 0 ciąg sin(q n) ma granicę górną równą 1 i dolną równą -1, czyli także nie może mieć granicy w klasycznym sensie).
2 vs. n wymiarów
Notka mówiąca o tym, dlaczego przypadek trójwymiarowy
(i ogólnie n-wymiarowy) przecinania się wysokości trójkąta
nie może być istotnie trudniejszy od przypadku dwuwymiarowego.
Uwaga! W notce mogą znajdować się drobne błędy - bezmyślne korzystanie będzie surowo karane.
Uwaga! W notce mogą znajdować się drobne błędy - bezmyślne korzystanie będzie surowo karane.
Podstawy geometrii
Zajęcia zaczynamy od podstawowych pojęć z algebry liniowej. Krótki skrypt z zadaniami można znaleźć tutaj.
Zadania gimnazjalne
Zadania na poziomie gimnazjalnym do samodzielnego rozwiązywania.
Termin i miejsce zajęć:
|