Michał R. Przybyłek

Nowe zadania będą na bieżąco uzupełniane i aktualizowane. Proszę zgłaszać ewentualne błędy i niejasności w sformułowaniu.

Na wykładzie Andrzej Tarlecki opowiadał o podstawach teorii instytucji. Na ćwiczeniach omówiłem i pokazałem na przykładach pojęcie wewnętrznej logiki kategorii (ćwiczenie: wewnętrzna logika Set^Cop jest biHeytingowska); opowiedziałem także o rozwłóknieniowej wersji lematu Yonedy.

Co było na wykładzie:

1. Kategorie wewnętrzne jako monady w bikategorii spanów nad kategorią z pullbackami
2. Kategorie dystrybutywne, kategorie ekstensywne
3. Koprodukty rozłączne, uniwersalne granice
4. Funktory jako uogólnione rozwłóknienia, konstrukcja Grothendiecka dla słabych funktorów B^op → Dist

Co było na ćwiczeniach:

1. Dwakategorie jako kategorie wewnętrzne względem Cat
2. Wprowadzenie do kategorii relatywnych względem monoidalnego rozwłóknienia nad kartezjańską bazą
3. Język wewnętrzny CCC
4. W kategoriach dystrybutywnych A x 0 = 0
5. W kategoriach dystrybutywnych obiekt początkowy jest ścisły (tj. istnienie morfizmu X → 0 implikuje X = 0)
6. Naiwne podejście do klasycznej logiki w kategoriach (dodanie naturalnego morfizmu not not A → A czyni kategorię zdegenerowaną)
7. CCC z koproduktami są dystryburywne
8. W LCCC wszystkie kogranice są uniwersalne
9. Quasiprodukt jako lewy sprzężony do nienaturalnego wykładnika w Cat (nienaturalny wykładnik B^^A to kategoria funktorów A → B i ich transformacji - niekoniecznie spełniających warunek naturalności; tj. mając funktory F, G : A → B transformację t : F → G definiujemy jako rodzinę morfizmów t_X : F(X) → G(X) dla każdego obiektu X kategorii A)

Co było na wykładzie:

1. Kategorie, funktory, naturalne transformacje wzbogacone strukturą monoidalną
2. Wprowadzenie do ważonych granic
3. Przykłady kategorii wzbogaconych: dowolna kategoria kartezjańsko domknięta wzbogacona nad samą sobą, kategorie wzbogacone przez {0 → 1}, kategorie wzbogacone kategorią Cat

Co było na ćwiczeniach:

1. Internalizacja naturalnych transformacji
2. Ważone granice
3. Przykłady ważonych granic (w Cat: kotensor, kategoria przecinkowa)

Co było na wykładzie i ćwiczeniach:

1. Monoidy, kategorie monoidalne, kategorie akcji monoidów
2. Monady jako monoidy
3. Kategorie rezolucji monad (dwa ekstremalne przykłady: kategoria Eilenberga-Moora jako kategoria akcji monadycznych i kategoria Kleislego jako kategoria algebr wolnych)
4. Przykłady monad: monada zbioru potęgowego, monada listy, monada przestrzeni wektorowej, monada wyjątku
5. Algebry nad endofunktorem i wolne generowanie monady
6. Dystrybutory

Co było na wykładzie:

1. Zmienne kategorie
2. Rozwłóknienia
3. Konstrukcja Grothendiecka

Co było na ćwiczeniach:

1. Przykłady rozwłóknień: fam(C), cod(C), sub(C), nat(C)
2. Produkty i koprodukty w rozwłóknieniach
3. (Ko)granice i rozszerzenia Kana jako przykłady (ko)produktów
4. Kwantyfikatory
5. Obiekty generyczne i rozwłóknienia małe

Prowadził Andrzej Tarlecki. Było o rachunkach lambda z prostym systemem typów i ich związkach z kategoriami kartezjańsko domkniętymi. Zeskanowane slajdy.

Kategoryjna literatura dostępna w internecie, którą można czytać w celu uzupełnienia informacji zdobytych na wykładzie:

1. Toposes, Triples and Theories
2. Category Theory Lecture Notes for ESSLLI
3. Abstract and Concrete Categories
4. Categories Types and Structures

Informacje nt. zalecanej literatury znajdują się na stronie przedmiotu.

Co było na wykładzie:

1. Uogólnione elementy, struktury obiektów i funkcyjność morfizmów
2. Set^Cop jest kogranicznie wolnym domknięciem C
3. Podobiekty generyczne
4. Toposy elementarne

Co było na ćwiczeniach:

1. Zachowywanie granic i kogranic (prawy sprzężony zachowuje granice, lewy kogranice)
2. Wolne domknięcia kategorii
3. Mono i regular mono są stabilne pod pullbackami
4. Podobiekty, funkcje przeciwobrazów, obrazów i obrazów dualnych
5. Kategoria z podobiektem generycznym jest zrównoważona
6. Logika intuicjonistyczna w kategoriach
7. Wprowadzenie do kategoryjnego pojęcia kolekcji

Co było na wykładzie:

1. Logiczna postać sprzężenia
2. Przestrzenie funkcyjne
3. Lemat Yonedy

Co było na ćwiczeniach:

1. Funktory wierne i pełne, wierne i pełne włożenia
2. Konstrukcje kategoryjne, naturalna transformacja jako funktor
3. Równoważność kategorii, 1/Set ~ Pfun, Set/2 ~ Set² ~ Set x Set
4. Przykłady granic i kogranic, granice i kogranice w Set, Alg(∑), Set^C
5. split mono → regular mono → mono, regular mono + epi = izo
6. Pullback lemmata
7. Monoidy w kategoriach ze skończonymi produktami
8. Wprowadzenie do monad; kategorie jako monady w bikategorii spanów nad kategorią z pullbackami

Co było na wykładzie:

1. Naturalne transformacje
2. Sprzężenia (definicja aproksymacyjna)
3. Granice i kogranice

Co było na ćwiczeniach:

1. Przykłady kategorii: Set, 1/Set, Set/2, N, R (R nie jst wolno generowane przez żaden graf), Mon, Alg(∑), Top, Cat, Graph, graf, monoid
2. mono, epi, split
3. Przykłady naturalnych transformacji: kanoniczne włożenie przestrzeni liniowej w drugą dualną, funkcje polimorficzne (flatten, length, ...), jedność i kojedność sprzężenia
4. Przykłady sprzężeń: kanoniczne włożenie N → R z podłogą i sufitem, dystrybuanta z prawdopodobieństwem (uogólniona odwrotność funkcji R → R), funktory zapominania z funktorami wolnymi (graf → Set, Mon → Set, Cat → Graph), funktor diagramu stałego z granicą i kogranicą

Notatki pojawią się w terminie późniejszym.

Slajdy z wykładu wprowadzającego.

Wstępny termin wykładu i ćwiczeń został ustalony na:

• Wtorki 18:00 (sala 5820)
• Czwartki 10:15 (sala 4790)

Zajęcia zaczynamy od 19-ego lutego.

W pierwszy poniedziałek zaraz po feriach (16-ego lutego) o godzinie 12:00 (bez kwadransa!) w pokoju 4580 odbędzie się krótkie spotkanie organizacyjne, na którym ustalimy dokładny termin wykładu i ćwiczeń z ,,Logiki kategoryjnej''. Wszystkich zainteresowanych prosimy o punktualne przybycie.

Są ludzie, którzy potrafią być szczęśliwi mieszkając w skromnym M1; innym do szczęścia potrzebne jest czteropokojowe mieszkanie w modnej dzielnicy; jeszcze inni muszą mieć własny domek; a niektórzy są w stanie dopiero poczuć się dobrze, kiedy przebywają w wielkiej willi z prywatnym basenem w ogrodzie. Nad tym wszystkim istnieje też pewna grupa osób, którzy obojętnie jak wiele przestrzeni mieszkalnej by dla siebie nie mieli, i tak zawsze będą obijać się o ściany. Wykład ,,Logika Kategoryjna'' powstał z myślą o tych ostatnich. Na wykładzie przedstawimy w czystej - logicznej - postaci podstawowe pojęcia i wyniki z teorii kategorii:

1. Systemy dedukcyjne, kategorie, funktory, naturalne transformacje.
2. Sprzężenia i logika zewnętrzna kategorii.
3. Domkniętość kategorii, logika intuicjonistyczna, izomorfizm Curryego-Howarda-Lambeka.
4. Monady, kategorie akcji monadycznych, logika klasyczna w kategoriach.
5. Kategorie monoidalne i logika liniowa.
6. Kolekcje w kategoriach, zmienne kategorie i koncepcja rozwłóknień.
7. Logika wewnętrzna kategorii.
8. Elementy, cięcia w rozwłóknieniach i uogólniony lemat Yonedy.

Do zrozumienia wykładu wymagane jest posiadanie odpowiedniej kultury matematycznej, otwartego umysłu i chęci łamania kolejnych intelektualnych barier.