English version

Numeryczne równania różniczkowe


semestr zimowy 2010-11

wykład 830-10 i ćwiczenia 1015-1145 sala 2100 Ip. lub w labie komputerowym 3044 IIp.(wydział MIMUW ul. Banacha 2 - wejście do ul. Pasteura)
Wykład sie odbywa w języku angielskim podczas obecności jednego studenta nie władającego polskim (zgodnie z zarządzeniem dziekańskim) - oczywiście pytania można zadawać po polsku w razie konieczności przetłumaczę.

W praktycznych obliczeniach naukowych np. przy modelowaniu zjawisk fizycznych występujących przy prognozowaniu pogody, praktycznie zawsze natkniemy sie na problem rozwiązywania równań różniczkowych, zwyczajnych czy cząstkowych przy czym praktycznie nigdy nie posiadamy wzorów analitycznych na rozwiązanie tychże równań, tak więc trzeba rozwiązywać te równania przy pomocy metod przybliżonych - numerycznych.

Jeśli chcesz się dowiedzieć o różnych przybliżonych metodach rozwiązywania równań różniczkowych - ich własnościach - zaletach i wadach - ten wykład jest dla ciebie.

Postaramy się w przystępny sposób opisać podstawowe metody i schematy rozwiązywania podstawowych typów równań różniczkowych a dokładnie zajmiemy się przybliżonymi metodami rozwiązywania:
  1. równań różniczkowych zwyczajnych
  2. równań różniczkowych eliptycznych
  3. równań różniczkowych ewolucyjnych (paraboliczne i hiperboliczne pierwszego rzędu)
przy czym przedstawimy następujące metody:
  1. schematy dla równań zwyczajnych jednokrokowe i wielokrokowe
  2. metodę różnic skończonych
  3. metodę elementu skończonego
Kilka ćwiczeń może uda się przeznaczyć na laboratorium komputerowe w którym zweryfikujemy eksperymentalnie wyniki teoretyczne.

Wykład będzie przeprowadzony elementarnie, wystarczy podstawowa wiedza z analizy matematycznej, algebry liniowej i podstaw równań różniczkowych zwyczajnych.

Wykład jest fakultatywny na wydziale MIM UW ale również studenci czy doktoranci innych wydziałów nie powinni mieć problemów ze jego zrozumieniem.

Może być to zaskakujące ale nie trzeba posiadać głębszej wiedzy z równań różniczkowych cząstkowych czyli nie jest konieczne zaliczenie wykładu z RRcz- wszystkie konieczne definicje, twierdzenia itp będę podawał na wykładzie czy ćwiczeniach.

Do wykładu przewidziany jest skryp w html - skrypt zawiera sporo więcej materiału niż zapewne uda się przedstawić na wykładzie.
Egzamin planuje w formie ustnej. Bedzie opcjonalna mozliwosc w ramach egzaminu napisanie sredniej wielkosci projektu komputerowego np. w octavie czy C, C++ itp

Skrypt

Leszek Marcinkowski, Numeryczne równania różniczkowe, 2010.
Opublikowane on-line: Strona skryptu w html (istnieje też link do wersji w pdf).
Uwaga Skrypt jest w wersji skończonej.
Plik pdf z najnowszą wersją skryptu.
Proszę o przysyłanie komentarzy czy uwag szczególnie w razie znalezienia jakichkolwiek błędów, literówek itp.

Literatura

  1. Maksymilian Dryja, Janina Jankowska, Michał Jankowski, Metody numeryczne, tom 2, Wydawnictwo Naukowo Techniczne (WNT), Warszawa, 1982.
  2. Janina Jankowska, Michał Jankowski, Metody numeryczne, tom 1, Wydawnictwo Naukowo Techniczne (WNT), Warszawa, 1981.
  3. Andrzej Krupowicz, Metody numeryczne zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych., Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), Warszawa, 1986.
  4. Krzysztof Moszyński, Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych na maszynach cyfrowych., Wydawnictwo Naukowo-Techniczne (WNT), Warszawa, 1971.
  5. Andrzej Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych., Wydawnictwo Naukowo-Techniczne (WNT), Warszawa, 1999.

W języku angielskim

Podstawowe podręczniki

  1. David F. Griffiths, Desmond J. Higham, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1st Edition, 2010.
  2. Claes Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
  3. Randall J. LeVeque, Finite difference methods for ordinary and partial differential equations, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2007, Steady-state and time-dependent problems. (schematy dla RRZ, metoda różnic skończonych (MRS) dla równań eliptycznych i parabolicznych)
  4. Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, and Fausto Saleri, Numerical mathematics, Texts in Applied Mathematics, vol. 37, Springer-Verlag, New York, 2000. (metody dla RRZ, teoria dla MRS dla RRCZ i elementy MESu)
  5. John C. Strikwerda, Finite difference schemes and partial differential equations, second ed., Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2004. (MRS dla RRCZ - wszystkie typy równań)

Monografie i bardziej zaawansowane podręczniki

  1. Dietrich Braess, Finite elements, third ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2007, Theory, fast solvers, and applications in elasticity theory, Translated from the German by Larry L. Schumaker. (zaawasowany podręcznik - godny polecenia)
  2. Susanne C. Brenner and L. Ridgway Scott, The mathematical theory of finite element methods, third ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 15, Springer, New York, 2008. (bardzo zaawansowany podręcznik - właściwie monografia)
  3. J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, second ed., John Wiley and Sons Ltd., Chichester, 2008.
  4. P. G. Ciarlet and J.-L. Lions (eds.), Handbook of numerical analysis. Vol. II, Handbook of Numerical Analysis, II, North-Holland, Amsterdam, 1991, Finite element methods. Part 1.
  5. Philippe G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, Classics in Applied Mathematics, vol. 40, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2002, Reprint of the 1978 original [North-Holland, Amsterdam].
  6. E. Hairer, S. P. Norsett, and G. Wanner, Solving ordinary differential equations. I, second ed., Springer Series in Computational Mathematics, vol. 8, Springer-Verlag, Berlin, 1993, Nonstiff problems.
  7. E. Hairer and G. Wanner, Solving ordinary differential equations. II, second ed., Springer Series in Computational Mathematics, vol. 14, Springer-Verlag, Berlin, 1996, Stiff and differential-algebraic problems.
  8. Alfio Quarteroni and Alberto Valli, Numerical approximation of partial differential equations, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 23, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

Lab

Tutaj link do stron Octave'a (skąd można ściągnąć kolejną dystrybucje - pod linuxa czy windows)
octave-forge - rozszerzenia octave'a

A tu manual do octave'a w htmlu

Skrypty m-pliki octave'a

nrrbasic.m -prosty skrypt octave'a z kilkoma podstawowymi operacjami
midpoint.m - implementacja schematu midpoint
testmidpoint.m - testy rzędu zbieżności schematu midpoint oraz brak stabilności dla dx/dt=-x z x(0)=1 na długim odcinku czasu (im mniejsze h tym później)
AdamsB2.m - implementacja otwartego schematu Adamsa-Bashfortha rzędu 2
testAB2start.m - testy przybliżenia startowego dla otwartego schematu Adamsa-Bashfortha rzędu 2
testshoot.m - metoda strzałów dla liniowego zadania brzegowego -y''+y=0; y(0)=1 y(b)=1 - (M. strzałów dla b=1 działa dobrze ale dla b=20 -metoda strzałów nie działa -dlaczego?)
FDsolver.m funkcja rozwiązująca -u''+cu=f z warunkami brzegowymi Dirichleta : u'(a)=alpha u(b)=beta (MRS - rząd schematu dwa)
FDmixlft.m funkcja rozwiązująca -u''+cu=f z mieszanymi warunkami brzegowymi : u'(a)=alpha u(b)=beta (MRS - rząd schematu jeden)
FDtest.m - testy Metody Różnic Skończonych
Lap2Dsq.m - funkcja tworząca macierz -Laplacianu met. różnic skończonych na siatce równomiernej na kwadracie (5 point stencil)
FDM2dtest.m - skrypt octave'a testujący rząd zbieżności dla -Laplacian u=f; u=g na brzegu na kwadracie jednostkowym na równomiernej siatce (5 point stencil) w dyskretnych normach max i L^2; dla u rozwiązania = sin(pi*x_1)*sin(pi*x_2), (wtedy f=2*(pi)^2*u; u=0 na brzegu kwadratu)
Metod różnic skończonych dla 1-wymiarowego równania prabolicznego tzn dyskretyzujemy po przestrzeni równanie u_t-u_{xx}=f przy pomocy MRS - i otrzymany dla danej siatki układ RRz rozwiązujemy solverem octave'a (lsode())
FD1dtest.m - skrypt octave'a z kodem testującym rząd zbieżności MRS dla u_t-u_{xx}=0 u(0)=u(pi)=0 u(0,x)=sin(x) - u(t,x)=exp(-t)sin(x) znane rozwiązanie
FDstep.m - skrypt octave'a z kodem testującym dyfuzje (rozmycie) w u_t-u_{xx}=0 u(0)=u(pi)=0 u(0,x)= funckja charakterystyczna [1,2.5] i testy dla tego samego u0 ale z f <>0 tzn. dla u_t-u_{xx}=f
Powrót do mojej strony domowej.
Ostatnia aktualizacja: 28 lutego 2011

Dziś jest