Program wykladu "Wstep do Matematyki"

   Zbior i relacja nalezenia, zbiory liczb naturalnych, calkowitych,
   wymiernych, rzeczywistych.  Sposoby definiowania zbiorow, zbior
   pusty. Zawieranie zbiorow. Suma i iloczyn (dwuargumentowe),
   wlasnosci.  Suma i iloczyn uogolnione.  Roznica, dopelnienie
   zbioru.  Prawa de Morgana skonczone i nieskonczone. Pary
   uporzadkowane, iloczyn kartezjanski (skonczenie wielu
   zbiorow). Zbior potegowy. (2 wyklady)

   Funkcja jako zbior par uporzadkowanych.  Dziedzina,
   przeciwdziedzina, wykres.  Funkcje roznowartosciowe, funkcje na.
   Permutacje.  Skladanie funkcji, funkcja odwrotna.  Grupy
   przeksztalcen. Obrazy i przeciwobrazy. Ciagi skonczone i
   nieskonczone. Indeksowane rodziny zbiorow, ich sumy i iloczyny.
   (2 wyklady)

   Rownolicznosc zbiorow.  Zbiory przeliczalne, co najwyzej
   przeliczalne, nieprzeliczalne.  Dowod istnienia zbiorow
   nieprzeliczalnych - przyklady rozumowan przekatniowych.
   Porownywanie mocy zbiorow, twierdzenie Cantora-Bernsteina (dowod).
   Wlasnosci zbiorow przeliczalnych (suma, iloczyn kartezjanski
   zbiorow co najwyzej przeliczalnych). Nieprzeliczalnosc zbioru liczb
   rzeczywistych. Zbiory mocy continuum, przyklady, wlasnosci (suma,
   iloczyn kartezjanski zbiorow mocy continuum).  Twierdzenie
   Cantora. Wzmianka o hipotezie continuum. (2-3 wyklady)


   Relacja jako zbior par uporzadkowanych, przyklady relacji
   dwuargumentowych.  Dziedzina, przeciwdziedzina, pole
   relacji. Relacje odwrotne. Funkcje jako relacje.  Wlasnosci
   relacji.  Relacja porzadku czesciowego i liniowego, diagramy
   relacji porzadku, elementy wyroznione.  Izomorfizm zbiorow
   uporzadkowanych, niezmienniki izomorfizmu.  Lemat
   Kuratowskiego-Zorna (bez dowodu), pewnik wyboru, twierdzenie o
   istnieniu bazy w dowolnej przestrzeni liniowej. (2 wyklady)


   Relacje rownowaznosci. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbior
   ilorazowy. Podzial zbioru, relacja rownowaznosci wyznaczona przez
   podzial, przyklady.  Wzajemna odpowiedniosc pomiedzy relacjami
   rownowaznosci a podzialami. (1 wyklad) 

   Elementy rachunku zdan: spojniki logiczne, formuly, wartosciowanie.
   Tautologie, zastosowanie do dowodow.  Kwantyfikatory.  Prawa de
   Morgana, negacja zdan. Zwiazek rachunku zdan i kwantyfikatorow z
   rachunkiem zbiorow. (1 wyklad, ew. cwiczenia)

   Liczby naturalne, aksjomaty Peano.  Twierdzenie o definiowaniu przez
   indukcje.  Informacja o definicjach dzialan i porzadku. Rozne
   rodzaje indukcji - definiowanie i dowodzenie, podwojna indukcja.
   Wzmianka o mozliwosci konstrukcji zbioru liczb naturalnych. (1
   wyklad)
   
   Liczby calkowite (np.  konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb
   naturalnych); dodawanie i mnozenie, porzadek. Liczby wymierne:
   konstrukcja ilorazowa nad zbiorem liczb calkowitych; dodawanie,
   mnozenie, dzielenie, porzadek. Liczby rzeczywiste: konstrukcja
   przez przekroje Dedekinda lub ciagi Cauchy'ego nad zbiorem liczb
   wymiernych; dzialania i porzadek. (1-2 wyklady)

   Literatura:
   W.Guzicki,  P.Zakrzewski,  Wyklady  ze  wstepu do matematyki. Wprowadzenie do teorii
   mnogosci. PWN, Warszawa 2005.
   W.Guzicki, P.Zakrzewski, Zbior zadan ze wstepu do matematyki. PWN, Warszawa 2005.
   H. Rasiowa, Wstep do matematyki. PWN, Warszawa 2004
   K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogosci. PWN, Warszawa 1978
   K. Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii. PWN, Warszawa 2004