Rozszerzona Analiza 2.1

Rachunek rozniczkowy wielu zmiennych

1. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R^n. 
Odwzorowania liniowe w R^n i ich wlasnosci: roznowartosciowosc, 
otwartosc zbioru odwzorowan odwracalnych. (1w) 
2. Odwzorowania R^n w R^n, ciaglosc, rozniczkowalnosc odwzorowan, 
pochodna odwzorowania, pochodne kierunkowe i czastkowe. 
Zwiazek poczodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna superpozycji
odwzorowan. Tw. o wartosci sredniej dla funkcji wielu zmiennych
i odwzorowan. (4w)
3. Pochodne wyzszych rzedow. Tw. Schwarza o rownosci 
pochodnych mieszanych. Wzor Taylora. Zastosowania:
ekstrema funkcji wielu zmiennych. (2w)
4. Tw. o funkcji odwrotnej. Tw. o funkcji uwiklanej. Przyklady. (3w)
5. Ekstrema warunkowe (zwiazane), metoda mnoznikow Lagrange'a.
Przyklady. (2w)

Teoria miary i calki

1. Sigma- ciala: definicja, wlasnosci. Sigma-cialo zbiorow borelowskich. 
Definicja miary, przestrzen z miara, wlasnosci miary. 
Miara zewnetrzna, tw. Caratheodory'ego. (2w) 
2. Konstrukcja miary Lebesque'a na R^n,  wlasnosci.
Funkcje mierzalne:definicja, wlasnosci, funkcje proste. Funkcja mierzalna 
jako granica niemalejacego ciagu funkcji prostych. (2w)
3. Konstrukcja calki Lebesque'a, wlasnosci: tw. Lebesgue'a o 
monotonicznym przejsciu do granicy, calka sumy funkcji, lemat Fatou,
tw. Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejsciu do granicy. Aproksymacja
calki Lebesgue'a sumami Riemanna. (3w)
4. Funkcje o wahaniu skonczonym. Calka Stieltjesa. (1w)
5. Produktowanie miar. Sigma-ciala produktowe, skonczony produkt
miar.  Tw. Fubiniego. Przyklady zastosowan.  Tw. o calkowaniu
przez podstawienie. (4w) 
6. Miary absolutnie ciagle i osobliwe. Twierdzenie Radona-Nikodyma. (2w)