Analiza 2.1 (z calka Riemanna)

Rachunek rozniczkowy wielu zmiennych

1. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R^n. 
Odwzorowania liniowe w R^n i ich wlasnosci: roznowartosciowosc, 
otwartosc zbioru odwzorowan odwracalnych. (1w) 
2. Odwzorowania R^n w R^n, ciaglosc, rozniczkowalnosc odwzorowan, 
pochodna odwzorowania, pochodne kierunkowe i czastkowe. 
Zwiazek poczodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna superpozycji
odwzorowan. Tw. o wartosci sredniej dla funkcji wielu zmiennych
i odwzorowan. (4w)
3. Pochodne wyzszych rzedow (do 2 rzedu). Tw. Schwarza o rownosci 
pochodnych mieszanych. Wzor taylora drugiego rzedu. zastosowania:
ekstrema funkcji wielu zmiennych. (2w)
4. Tw. o funkcji odwrotnej. Tw. o funkcji uwiklanej. Przyklady. (3w)
5. Rozmaitosci zanurzone w R^n, lokalne uklady wspolrzednych i
lokalne parametryzacje. Przestrzen wektorow stycznych i normalnych.
Rozmaitosci zadane przez uklad rownan. Teoria krzywych i powierzchni 
w R^3 (krzywizna, torsja). (3w) 
6. Ekstrema warunkowe (zwiazane), metoda mnoznikow Lagrange'a.
Przyklady. (2w) 


Calkowanie

1. Definicja calki Riemanna na wielowymiarowym przedziale.
Zbiory miary zero i ich wlasnosci. Zbiory objetosci zero. (2 w)
2. Funkcje calkowalne na przedziale. Zbiory mierzalne w sensie
Jordana i objetosci tych zbiorow. Charakteryzacja funkcji
R-calkowalnych. (1 w) 
3. Twierdzenie Fubiniego i przyklady zastosowan. (2 w)
4. Rozklad jednosci. Calkowalnosc w szerszym sensie. Twierdzenie
o calkowaniu przez podstawienie. (3 w) 
5. Calki z parametrem, ciaglosc i rozniczkowalnosc. (1 w)