ALGEBRA 2

Krotki opis przedmiotu. Wyklad stanowi uzupelnienie przedmiotu Algebra
I. Po krotkim wprowadzeniu do podstawowych pojec teorii kategorii i
przedstawieniu zagadnienia rozwiazalnosci grup nastepuja czesc
glowna wykladu dotyczaca rozszerzen cial. W tej czesci dowodzi sie
twierdzenie o istnieniu algebraicznego domkniecia, twierdzenie Galois
oraz, jako zastosowanie, zasadnicze twierdzenie algebry. Koncowe
wyklady poswiecone sa teorii modulow nad pierscieniami przemiennymi,
jako zastosowanie dowodzi sie twierdzenie Jordana z algebry liniowej.


Przykladowy plan wykladu.

1. Kategorie i funktory, izomorfizmy. Przyklady: Vect, Top, Gr, Ab,
   jednoobiektowa, snopy itd Produkt i suma prosta w kategorii,
   produkt i suma prosta w kategorii grup i grup abelowych. [1-2 wykl]

2. Komutator elementow, komutant grupy, abelianizacja G -> G/[G,G].
   Grupy rozwiazalne, grupy proste, rozwiazalnosc S_n, n < 5, prostota
   A_n, n > 4. Produkt polprosty. Ciag dokladny, rozszczepialnosc. 
   Przyklady. [2-3 wykl]

3. Rozszerzenia cial, grupa automorfizmow rozszerzenia. Rozszerzenia
   algebraiczne, rozszerzenie o pierwiastek wielomianu, cialo rozkladu
   wielomianu, rozszerzenia normalne, wlasnosc uniwersalna
   rozszerzenia normalnego. Algebraiczne domkniecie ciala -
   konstrukcja i jednoznacznosc. [2 wykl]

3a. Pierwiastki z jednosci. Istnienie i jednoznacznosc ciala o p^n
    elementach.

4. Teoria Galois w przypadku char = 0 i rozszerzen skonczonych.
   Wielomian nierozkladalny w charakterystyce 0 nie ma pierwiastkow
   wielokrotnych. Twierdzenie Abela. Automorfizmy rozszerzen,
   rozszerzenia Galois. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois. [2-3 wykl]

5. Zastosowania teorii Galois: zasadnicze twierdzenie algebry,
   rozszerzenia rozwiazalne, rozwiazywanie rownan przez pierwiastniki,
   [1-2 wykl].

5a. Zastosowanie teorii Galois: konstrukcje geometryczne.

6. Moduly, elementy torsyjne, suma prosta, moduly skonczenie
   generowane, moduly wolne. Homomorfizmy modulow, jadro, modul
   ilorazowy, ciag dokladny modulow, rozszczepialnosc. Klasyfikacja
   skonczenie generowanych modulow nad DIGami, wnioski: klasyfikacja
   skonczenie generowanych grup abelowych oraz tw. Jordana z algebry
   liniowej o postaci kanonicznej macierzy. [2-3 wykl]

6a. Iloczyny tensorowe modulow, potega zewnetrzna modulu, algebra
    zewnetrzna. 


Uwagi: Tematy 3a, 5a i 6a moga byc realizowane fakultatywnie lub
wylacznie na cwiczeniach. Dla dowodu zasadniczego twierdzenia algebry
jako wniosku z twierdzenia Galois potrzebne jest twierdzenie Sylova,
ktore jest dowodzone w Algebrze 1 rozszerzonej a nie ma go w wersji
podstawowej.

Ksiazki:

[ABB] Bialynicki-Birula, Zarys algebry. 
[B] Browkin, Teoria cial.
[K] Kostrykin, Algebra, PWN
[K+] Kostykin, Zadania z Algebry
[BJ] Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry