ALGEBRA I - program rozszerzony

Krotki opis przedmiotu. Algebra I w wersji rozszerzonej zawiera oprocz
materialu z wersji podstawowej dodatkowe przyklady i zastosowania.
Ponadto w czesci dotyczacej pierscieni mowi sie o tw. Gaussa
a w czesci dotyczacej grup dowodzi sie tw. Sylowa.

Czesc materialu moze byc przerobiona na cwiczeniach po rozbiciu
dowodow twierdzen na zadania.


Przykladowy plan wykladu.

1. Pierscien liczb calkowitych Z i pierscien reszt z dzielenia przez
   m, Z_m.  Definicja pierscienia przemiennego z 1. Podpierscien.
   Elementy odwracalne, dzielniki zera, elementy nilpotentne,
   dziedzina calkowitosci.  Podzielnosc, elementy nierozkladalne.
   Algorytm Euklidesa w Z, najwiekszy wspolny dzielnik. Zastosowanie
   (cwiczenia): klucz publiczny RSA, krotkie wprowadzenie [1 wykl]

2. Pierscien wielomianow jednej zmiennej o wspolczynnikach w ciele i w
   pierscieniu, pierscien wielomianow wielu zmiennych.  Pierscien
   szeregow formalnych. Pierscien liczb Gaussa Z[i] i ogolniej
   Z[\sqrt{a}]. Podzielnosc i algorytm Euklidesa w k[x]. Dziedziny
   Euklidesa (DE), pierscienie z jednoznacznoscia rozkladu (DJR),
   twierdzenie: DE implikuje DJR.  Wielomiany jednej zmiennej:
   funkcje wielomianowe, pierwiastki wielomianu, pierwiastki a
   podzielnosc przez czynniki liniowe (tw. Bezout).  Nierozkladalnosc
   wielomianow, kryterium Eisensteina i redukcja wspolczynnikow.  [2
   wykl]

3. Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Z -> Z_m oraz
   ewaluacja wielomianow: A[x] -> A, f -> f(a). Jadro homomorfizmu,
   ideal, ideal generowany przez skonczony podzbior, idealy glowne.
   Suma, przeciecie i iloczyn idealow.  Dziedziny idealow glownych
   (DIG), twierdzenia: DE jest DIG, DIG jest DJR.  Pierscien ilorazowy
   R/I, konstrukcja i wlasnosc uniwersalna.  Idealy pierwsze i idealy
   maksymalne. Twierdzenie: kazdy ideal wlasciwy jest zawarty w pewnym
   ideale maksymalnym. Twierdzenie: ideal I w A jest pierwszy
   (odp. maksymalny) <=> A/I jest dziedzina (cialem). Dodatkowo (np na
   cwiczenia): twierdzenie Gaussa: A DJR => A[x] DJR. Ideal elementow
   nilpotentnych (nilradykal) jako przeciecie wszystkich idealow
   pierwszych. Radykal idealu. [2-3 wykl]

4. Ciala maja wylacznie trywialne idealy, kazdy homomorfizm cial jest
   wlozeniem. Ciala proste, charakterystyka ciala. Twierdzenie: f w
   k[x] jest nierozkladalny <=> k[x]/(f) jest cialem. Wniosek:
   pierscien ilorazowy k[x]/(f) jest cialem zawierajacym k w ktorym f
   ma pierwiastek. Definicja algebraicznego domkniecia ciala (bez
   dowodu istnienia i jednoznacznosci). Cialo ulamkow dziedziny
   calkowitosci: ogolna konstrukcja, przyklady: z Z do Q, z k[x] do
   k(x), z szeregow formalnych do szeregow Laurenta. Uogolnienia (na
   cwiczenia): lokalizacja pierscienia wzgledem systemu
   multiplikatywnego, pierscienie lokalne. [2 wykl]

5. Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Przyklady: grupy permutacji, grupy
   liniowe, grupy przeksztalcen. Grupa cykliczna, rzad elementu, rzad
   grupy. Warstwy grupy wzgledem podgrupy, indeks podgrupy,
   twierdzenie Lagrange'a i zastosowania (cwiczenia): kazda grupa
   rzedu pierwszego jest cykliczna, male tw Fermata. Homomorfizm grup,
   jadro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa. [1 wykl]

6. Produkt dwoch grup, charakteryzacja wewnetrzna produktu. Rozklad
   skonczonej grupy cyklicznej na produkt grup cyklicznych o rzedach
   wzglednie pierwszych. Grupy abelowe: podgrupa elementow torsyjnych
   grupy, kraty (skonczenie generowane grupy abelowe bez elementow 
   torsyjnych), twierdzenie strukturalne dla skonczenie generowanych grup 
   abelowych. [1 wykl]

7. Dzialanie grupy na zbiorze, dzialanie grupy na sobie (z lewej, z
   prawej) twierdzenie Cayleya. Orbita dzialania, stabilizator
   elementu, punkty stale dzialania, dzialanie wolne, dzialanie
   efektywne. Moc orbity = indeks stabilizatora. Przyklady: dzialanie
   grupy permutacji i grup liniowych, dzialanie grupy permutacji S_n
   przez zero-jedynkowe macierze z GL_n (reprezentacja standardowa),
   Zastosowanie: znak permutacji jako wyznacznik. Rozklad zbioru na
   orbity, zastosowanie: rozklad permutacji z S_n na cykle rozlaczne
   jako rozklad zbioru {1..n} na rozlaczne orbity dzialania podgrupy
   cyklicznej generowanej przez te permutacje. Automorfizmy
   grupy. Dzialanie grupy na sobie przez automorfizmy wewnetrzne,
   orbity = klasy sprzezonosci elementow, centrum grupy jako jadro
   odwzorowania G -> Aut(G). Zastosowania (cwiczenia): (1) twierdzenie
   Cauchy'ego o istnieniu elementu rzedu p, (2) twierdzenie o
   nietrywialnosci centrum p-grupy, (3) twierdzenie Sylowa [3 wykl]

Ksiazki:

[ABB] Bialynicki-Birula: Algebra, rozdz V-IX i XI
[H] Hungerford, Algebra, 
[K] Kostrykin, Algebra, PWN
[K+] Kostykin, Zadania z Algebry
[BJ] Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry