Grupy holonomii - od geometrii rozniczkowej do algebraicznej.

Seminarium w roku akademickim 2000/2001

Jaroslaw Wisniewski

Zajecia dotycza grup holonomii, ktore sa definiowane dla jednospojnych zwartych rozmaitosci Riemanna jako podgrupy izometrii przestrzeni stycznej dowolnego punktu generowane przez przesuniecia rownolegle wzdluz petli zaczepionych w tym punkcie. Okazuje sie (jest to tw. Bergera), ze mozliwych grup holonomii jest niewiele i - poza generycznym przypadkiem - prowadza one zwykle do ciekawych obiektow w geometrii zespolonej, ktore z kolei sa zwiazane z klasycznymi obiektami w geometrii algebraicznej. Celem zajec jest poznanie tych zaleznosci; tekstem wprowadzajacym do seminarium sa notatki wykladow Beauville'a Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry.

Program:

  1. Co to sa grupy holonomii. Zasada holonomii.
  2. Twierdzenia de Rhama i Bergera.
  3. Calkowalnosc struktur prawie zespolonych zwiazanych z klasycznymi nieogolnymi grupami holonomii.
  4. Rozmaitosci Kaehlerowskie. Twierdzenie Hodge'a.
  5. Twierdzenia Lefschetza. Klasy kohomologii spelniajace warunek Lefschetza.
  6. Powierzchnie K3. Podstawowe wlasnosci. Przyklady rzutowe.
  7. Rozmaitosci Hyperkaehlerowskie, holomorficzne rozmaitosci symplektyczne.
  8. Odwzorowania rozmaitosci symplektycznych.
  9. Rozmaitosci Calabi-Yau.
Wybrana literatura:
[dolaczenia podane na tej stronie dotycza recenzji prac w Math Reviews lub zrodel z ktorych mozna sciagnac prace w wersji postscript albo pdf]
  • Berger, Marcel: Sur les groupes d'holonomie homogene des variétés a connexion affine et des variétés riemanniennes. Bull. Soc. Math. France 83 (1955), 279--330; recenzja w MR
  • Beauville Arnaud: Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry
  • LeBrun, Claude: Fano Manifolds, Contact Structure, and Quaternionic Geometry Internat. J. Math. 6 (1995), no. 3, 419--437; recenzja w MR