Algebra II, kurs semestralny

Jaroslaw Wisniewski

Tematy do egzaminu; tematy w nawiasach z gwiazdka sa fakultatywne:

  • Pierscienie. Dziedziny idealow glownych. Dziedziny euklidesowe, algorytm Eukliseda. Elementy nierozkladalne, dziedziny z jednoznacznoscia rozkladu (DJR), tw. Gaussa (A DJR => A[x] DJR). (*Waluacje.*) Rozkladalnosc w pierscieniu wielomianow, kryterium Eisensteina, redukcja wspolczynnikow. Pierscienie noetherowskie, tw. Hilberta o bazie (A noeth. => A[x] noeth.). (*Pierscienie lokalne, lokalizacja pierscienia (dziedziny) wzgledem systemu multiplikatywnego, lokalizacja wzgledem idealu pierwszego.*) Moduly nad pierscieniami, homomorfizmy, jadro i obraz, moduly wolne. (*Moduly nad dziedzinami idealow glownych: kazdy podmodul modulu wolnego jest wolny.*)
  • Ciala. Ciala proste, charakterystyka ciala. Rozszerzenia cial, stopien rozszerzenia, elementy algebraiczne i przestepne. Rozszerzenia algebraiczne i skonczone. "Skladanie" rozszerzen i wymnazanie ich stopni. Cialo rozkladu wielomianu: istnienie i jednoznacznosc. Ciala algebraicznie domkniete, domkniecie algebraiczne ciala: istnienie, wlasnosc uniwersalna. Rozszerzenia normalne, jednoznacznosc wlozenia w algebraiczne domkniecie, charakteryzacja skonczonych rozszerzen normalnych jako cial rozkladu pewnego wielomianu. Automorfizmy rozszerzen, grupa Galois. Rozszerzenia Galois. Jesli char=0 to rozszerzenia Galois sa tym samym co rozszerzenia normalne. Jesli char=0 to wielomian nierozkladalny f ma degf roznych pierwiastkow. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois (dla rozszerzen Galois, char=0): relacja pomiedzy podgrupami grupy Galois a cialami posrednimi rozszerzenia; relacja pomiedzy podgrupami normalnymi a rozszerzeniami normalnymi. Zastosowania teorii Galois: zasadnicze twierdzenie algebry, rozwiazywanie rownan wielomianowych przez pierwiastniki, (*konstrukcje geometryczne*).
    Zadania (rok 2002):
  • pierwsza seria,
  • druga seria
  • trzecia seria
  • zadania na powtorzenie z pierscieni
  • czwarta seria
  • piata seria
  • pierwsze kolokwium
  • drugie kolokwium
  • pierwszy egzamin
    Zadania (rok 2003):
  • pierwsza seria,
  • druga seria
  • trzecia seria
  • czwarta seria
  • piata seria
  • szosta seria
    Ksiazki:
  • Bialynicki-Birula: Algebra, PWN.
  • Bialynicki-Birula: Zarys algebry, PWN.
  • Lang: Algebra, PWN.
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley lub tlum. ros. Mir.
  • Browkin: Teoria cial, PWN.