Algebra I, program rozszerzony, semestr jesienny 2009

Wyklad i cwiczenia

Jaroslaw Wisniewski

Tematy z wykladu, zakres egzaminu

• Struktury algebraiczne: grupa, pierscien, monoid, algebra; podstruktury: podgrupy itd. Homomorfizmy. Kategorie: obiekty i morfizmy. Wlasnosci uniwersalne. Funktory. Przyklady.
• Grupy i pierscienie: podobienstwa i roznice. Dzielniki zera, elementy nilpotentne i odwracalne. Produkty pierscieni i grup. Homomorfizmy grup i pierscieni, i ich jadra. Dzielnik normalny w grupie i ideal w pierscieniu. Warstwa podgrupy w grupie. Twierdzenie Lagrange'a. Grupy i pierscienie ilorazowe. Wlasnosc uniwersalna ilorazu. Idealy pierwsze i maksymalne, charakteryzacja ilorazu. Automorfizmy.
• Grupy, automorfizmy, dzialania. Podgrupy charakterystyczne. Automorfizmy wewnetrzne, sprzezenia. Komutant, abelianizacja. Dzialania grup. Orbity, stabilizatory i ich relacje. Wnioski dla grup skonczonych: tw. Cauchy, tw. Sylowa. Wnioski z twierdzenia Sylowa.
• Klasyfikacja grup skonczonych. Grupy proste. Prostota grup permutacji parzystych, klasy sprzezonosci w grupach permutacji. Tw. Jordana-Holdera. Grupy rozwiazalne. Produkt prosty i produkt polprosty, charakteryzacja wewnetrzna i zewnetrzna. Rozszerzenia i rozszczepianie rozszerzen. Ciagi dokladne.
• Grupy abelowe: Klasyfikacja skonczonych grup abelowych. Wolne grupy abelowe. Grupy abelowe skonczenie generowane, podgrupy torsyjne, klasyfikacja. Grupy abelowe a moduly nad pierscieniami.
• Moduly: Wlasnosci modulow, podmoduly, ilorazy, sumy proste, ciagi dokladne i rozszczepianie. Elementy torsyjne. Dziedziny, dziedziny idealow glownych (DIG). Dziedziny Euklidesa. Klasyfikacja skonczenie generowanych modulow nad dziedzinami idealow glownych. Zastosowanie: twierdzenie Jordana o rozkladzie endomorfizmu skonczenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad cialem algebraicznie domknietym.
• Pierscienie noetherowskie, wlasnosci, wstepujacy ciag idealow, twierdzenie Hilberta o bazie. Pierscienie artinowskie.
• Idealy w pierscieniach wielomianow, porzadki na jednomianach. Algorytm dzielenia przez zbior wielomianow w pierscieniu wielomianow wielu zmiennych z reszta niezawierajaca wiodacych wspolczynnikow tych wielomianow. Idealy jednomianowe i ich skonczona generowalnosc. Idealy wiodacych wspolczynnikow i bazy Groebnera, zastosowania.
• Dzialania grupy na pierscieniu, pierscien niezmiennikow. Wielomiany symetryczne, elementarne wielomiany symetryczne. Dzialanie grupy skonczonej na pierscieniu wielomianow, operatory Reynoldsa, tw. o skonczonej generowalnosci pierscienia niezmiennikow.
• Lokalizacja pierscieni i modulow: zachowanie idealow przy lokalizacji, obcinanie i rozszerzanie idealow, zmiana wspolczynnikow modulow, przyklady. Lemat Nakayamy.

• cwiczenia 7, 13 i 14 pazdziernika: przyklady grup, pierscieni i innych prostych struktur algebraicznych (monoidy, polgrupy), lacznosc i przemiennosc; zadania .
• 21 pazdziernika: homomorfizmy grup i pierscieni, podgrupy normalne i idealy, zadania
• 27 i 28 pazdziernika: dzialania grup, zadania do zrobienia.
• 10 listopada: grupy proste, grupy rozwiazalne, prosze zrobic zadania
• 18 listopada: grupy rozwiazalne i nilpotentne, prosze zrobic zadania
• 24 listopada: KOLOKWIUM (struktura algebraiczne i grupy, wyklady od 1 do 5)
• 25 listopada: grupy abelowe, prosze zrobic zadania
• 2 grudnia: idealy, radykaly i nilpotenty, wielomiany i szeregi formalne o wspolczynnikach z pierscienia, prosze zrobic zadania
• 8 grudnia: 20 min test; zadania na 8 i 9 grudnia; DIG, DJR i inne, rozklady modulow nad DIG.
• cwiczenia 16 grudnia wyjatkowo o 10:15 zamiast wykladu (wyklad we wtorek zamiast cwiczen): zadania
• 5 stycznia: KOLOKWIUM (pierscienie, idealy, moduly; wyklady 6 - 9)
• cwiczenia 6 stycznia: zadania.
• cwiczenia 13 stycznia: zadania

Ksiazki i skrypty

• Aluffi, Algebra, Chapter 0 wersja wstepna ewaluacyjna, nie do rozpowszechniania.
• Bojanowska, Traczyk, Algebra, skrypt
• Bialynicki-Birula, Algebra, PWN
• Bialynicki-Birula, Zarys algebry, PWN
• Brynski, Jurkiewicz, Zbior zadan z algebry
• Atiyah, Macdonald, Introduction to commutative algebra.
• Adamek, Herrlich, Stecker, Abstract and concrete categories. The joy of CATs
• Reid, Undergraduate Commutative Algebra, LMS Students texts 29
• Lang, Algebra, PWN
• Odnosniki w Wikipedii:
  • Lemat Burnside'a
  • Grupy proste, klasyfikacja
  • Monster
  • grupy izometrii (zachowujacych orientacje) bryl platonskich
    • czworoscianu
    • szescianu/osmioscianu
    • dwunastoscianu/dwudziestoscianu

Programy i pakiety:

• SAGE, SAGE notebook login,
• MAGMA i kalkulator magmowy
• GAP
• Macaulay2
• CoCoA
• Inne z EGEARa