Wyklad 1 Przypomnienie lematu Fermata i twierdzenia Cauchy'ego o o wartosci sredniej. Potem tw. Darboux, przyklad ze pochodna moze byc nieciagla i dowod analogicznego faktu dla ciaglych nie przechodzi. Potem tw. de l'Hospitala (2 wersje 0/0 i cos /+infty z dowolnymi przedzialami byc moze nieskonczonymi). Analogia z tw. Stolza i sugestia ze moze Stolz jednak wynika z powyzszego przez wygladzenie funkcji powstalych przez laczenie punktow (n, x_n) i (n, y_n) odcinkami. Potem definicja wyzszych pochodnych i wzor Leibniza na pochodne iloczynu. Potem wzor Taylora z reszta Peano (najpierw wielomian, potem ogolnie). Oczywiscie wszystko z dowodami. Wyklad 2 Przypomnienie wzoru Taylora z reszta w postaci Peano. Potem wzor Taylora z reszta Lagrange'a z dowodem i z reszta Schlomilcha-Roche'a z innym dowodem (tak dla sportu). Potem bylo badanie funkcji przy pomocy pochodnej: przypomnialem jak to jest z rosnacymi i malejacymi funkcjami i podalem warunki na istnienie ekstremow (badanie pochodnych do momentu az beda niezerowe; jak sie uda). Potem wypuklosc jako niemalenie pochodnej i kryterium w terminach 2 pochodnej. Wyklad 3 Punkty przegiecia, interpolacja Lagrange'a i szacowania jak dobre daja przyblizenie, przestrzenie metryczne i odleglosc na przestrzeni ograniczonych funkcji ciaglych, wielomiany Czebyszewa. Wyklad 4 wielomiany Czebyszewa: przypomnialem i pokazalem ze maja najmniejsza norme sup na [-1,1] wsrod wszystkich wielomianow unormowanych. Potem byla zbieznosc jednostajna i punktowa ciagow funkcji (w przestrzeniach metrycznych), troche roznych przykladow, dowod ze granica jednostajnie zbieznego ciagu ciaglych jest ciagla, jednostajne kryterium Cauchy'ego i kryterium Weierstrassa dla szeregow. Wyklad 5 Tw. Weierstrassa o przyblizaniu funkcji ciaglych wielomianami dowod metoda Lebesgue'a przez sprowadzenie do przyblizania modulu ale sam modul przyblizalem szeregiem dwumianowym Newtona na razie bez dowodu. Potem twierdzenie Diniego o jednostajnej zbieznosci malejacego ciagu funkcji ciaglych zbieznego do funkcji ciaglej Potem drugie tw. Diniego o jednostajnej zbieznosci ciagu niemalejacych funkcji dazacych do funkcji ciaglej. Przyklady: zwartosc w tw. Diniego jest potrzebna, ciag pochodnych ciagu jednostajnie zbieznego nie musi byc zbiezny. Twierdzenie o obliczaniu pochodnej ciagu funkcyjnego z polowa dowodu. Wyklad 6: Twierdzenie o zamianie kolejnosci brania granic dla ciagow jednostajnie zbieznych. Dokonczenie dowodu tw. z poprzedniego wykladu przy uzyciu tego twierdzenia. Wniosek: rozniczkowanie szeregu wyraz za wyrazem. Przyklad funkcji ciaglej nigdzie nierozniczkowalnej. Szereg dwumienny Newtona: z wzoru Taylora, jako rozwiazanie rownania rozniczkowego otrzymanego przez rozniczkowanie szeregu wyraz za wyrazem, zbieznosc bezwgledna (1+x)^a dla a>0 i |x|<=1 (z kryterium Raabego). Wyklad 7: Istnienie funkcji pierwotnej dla funkcji ciaglej. Definicje i przyklady: rodzina funkcji punktowo ograniczona, jednostajnie ograniczona, jednakowo ciagla. Metoda przekatniowa: dla przeliczalnego zbioru E i ciagu funkcji punktowo ograniczonych istnieje podciag zbiezny w kazdym punkcie E. Jednostajnie zbiezny ciag funkcji ciaglych na zwartej przestrzeni metrycznej tworzy rodzine jednakowo ciagla. Z punktowej ograniczonosci rodziny jednakowo ciaglej na zwartym zbiorze wynika jednostajna ograniczonosc. Wyklad 8: Sieci i calkowita ograniczonosc gestych podzbiorow zwartej przestrzeni metrycznej. Rodzina domknieta, zwarta. Twierdzenie Ascoliego-Arzeli: charakteryzacja zwartych podzbiorow w przestrzeni funkcji ciaglych na zwartej przestrzeni metrycznej. Wersja II: z kazdego punktowo ograniczonego ciagu funkcji jednakowo ciaglych na zwartej przestrzeni zwartej mozna wybrac podciag jednostajnie zbiezny. Jako wniosek: ciag funkcji rozniczkowalnych na domknietym przedziale, ktory jest wspolnie ograniczony i ma wspolnie ograniczone pochodne zawiera podciag jednostajnie zbiezny. Wyklad 9: Szeregi potegowe, wzor na promien zbieznosci, rozniczkowalnosc w kole zbieznosci. Twierdzenie Abela: przypadek rzeczywisty. Twierdzenie Abela o granicy katowej: powtorka dowodu z drobnymi zmianami. Zastosowania np. do szeregow dwumiennych i iloczynu Cauchy'ego szeregow. Wyklad 10: Sumowanie szeregow rozbieznych: w sensie Abela i w sensie Cesaro. Twierdzenie Frobeniusa (z dowodem analogicznym do dowodu tw. Abela). Szeregi podwojne, twierdzenie Cauchy'ego o szeregach podwojnych z dwoma dowodami. Twierdzenie Taylora o rozwijaniu funkcji w szereg. Skladanie szeregow potegowych z przykladami zastosowan. Wyklad 11: Calka Riemanna i calka Riemanna-Stieltjesa. Kryteria na calkowalnosc (dowolnie mala roznica miedzy gornymi i dolnymi sumami). Calkowalnosc funkcji ciaglych. Calkowalnosc funkcji monotonicznej wzgledem funkcji ciaglej. Wlasnosci calki Riemanna-Stieltjesa. Podstawowe twierdzenie rachunku calkowego. Wyklad 12: Calkowalnosc funkcji ze skonczona liczba punktow nieciaglosci wzgledem funkcji ciaglej w tych punktach. Calkowalnosc zlozenia funkcji ciaglej i calkowalnej. Calkowalnosc iloczynu funkcji i calkowanie przez czesci. Funkcje schodkowe i calkowalnosc funkcji ciaglej wzgledem zbieznego szeregu funkcji schodkowych. Calkowalnosc w sensie Stieltjesa wzgledem funkcji rozniczkowalnej jest rownowazna z calkowalnoscia w sensie Riemanna iloczynu z pochodna funkcji wzgledem ktorej calkowalismy w sensie Stieltjesa. Wyklad 13: Zamiana zmiennych w calce. Calkowanie przez czesci. Calkowanie jednostajnie zbieznego ciagu funkcji. Twierdzenie o wartosci sredniej dla calek. Wzor Taylora z reszta w postaci calkowej. Wyklad 14: Przyklad na wzor Taylora z reszta w postaci calkowej. Geometryczne zastosowania calki: krzywe prostowalne, wzor na dlugosc krzywej w R^n. Platek sniegu Kocha jako przyklad ograniczonej krzywej nieprostowalnej. Calki niewlasciwe: definicje i przechodzenie do granicy dla ciagu funkcji monotonicznych. Wyklad 15: Algebry funkcji, jednostajne domkniecie zbioru, rozdzielanie punktow. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa. Wyklad 16: Funkcje klasy L^p. Ciagle (i dyskretne) wersje nierownosci Holdera, Minkowskiego i Jensena. Transformata Laplace'a i calkowy analog twierdzenia Abela. Wyklad 17: Calki niewlasciwe: warunek Cauchy'ego, porownanie z szeregami. Twierdzenie o wartosci sredniej dla calek (nastepna wersja). Kryterium Abela-Dirichleta dla calek. Przyklady. Wyklad 18: Metody calkowania: calkowanie funkcji wymiernych, calkowanie przy pomocy parametryzacji stozkowych (podstawienia Eulera). Wyklad 19: Wzor Wallisa, wzor Stirlinga, sumy Eulera, liczby Bernoulliego, obliczanie sum poteg kolejnych liczb przy pomocy liczb Bernoulliego Wyklad 20: Szeregi Fouriera, uklady ortonormalne, rzutowanie na podprzestrzenie w przestrzeniach funkcji, nierownosc Bessela, tw. aproksymacyjne Weierstrassa, twierdzenie Parsevala. Wyklad 21: Jadro Dirichleta, twierdzenie Lipschitza o zbieznosci (2 wersje), zasada lokalizacji Riemanna. Przyklady rozwiniec funkcji w szereg Fouriera: 1) modul z zastosowaniem do liczenia dzeta(2) 2) cos cx z zastosowaniem do rozwiniecia w szereg ctg x Jako wniosek obliczenie dzeta (2k) przy pomocy liczb Bernoulliego. Wyklad 22: Zjawisko Gibbsa. Jadro Fej'era i twierdzenie Fej'era. Przyklad funkcji ciaglej z rozbieznym szeregiem Fouriera. Wyklad 23: Przejscie do granicy i rozniczkowanie pod znakiem calki. Rownosc calek iterowanych. Transformata Fouriera. Wyklad 24: Podstawowe wlasnosci transformaty Fouriera. Splot funkcji. Ciagly analog srednich Cesaro. Wyklad 25: Twierdzenie o odwracaniu dla transformaty Fouriera. Twierdzenie Parsevala dla transformaty Fouriera. Funkcja Gamma i jej wlasnosci. Charakteryzacja Bohra funkcji Gamma. Wyklad 26: Zwiazek funkcji gamma z transformata Laplace'a. Wlasnosci transformaty Laplace'a. Funkcja beta i zwiazek z funkcja gamma. Wzor iloczynowy Gaussa. Nieskonczone iloczyny i ich zbieznosc. Wzor iloczynowy Weierstrassa. Wzor na podwojenie Eulera. Wyklad 27: Wzor Eulera na odbicie. Nowy dowod wzoru iloczynowego Gaussa. Wzor na zwielokrotnienie Gaussa. Funkcja dzeta Riemanna.Wzor iloczynowy Eulera. Zwiazki z gamma i przedluzenie dzety Riemanna. Wyklad 28: Wzor Stirlinga dla funkcji gamma. Ciagi rownorozlozone (modulo 1). Tw. Kroneckera. Tw. Weyla. Dyskretna wersja tw. Fejera. Tw. Fejera o rownomiernej rozlozonosci modulo 1 dla pewnych funkcji ciaglych. Rownomierna rozlozonocs dla krotnosci liczby niewymiernej i dla wartosci wielomianu o najwyzszym wspolczynniku niewymiernym.