Podstawowe pojęcia, oznaczenia i konstrukcje potrzebne do zrozumienia May’a teorii przestrzeni pętli

Marcin Chałupnik

Seminarium TA, grudzień 1997 — styczeń 1998

1 Operady

Niech T oznacza kategorię zwarto generowanych przestrzeni topologicznych z niezdegenerowanym punktem wyróżnionym. Definicja 1.1 Operad C w kategorii T składa się z ciągu {C(j)}_{j=0}^{∞} obiektów T takiego, że C(0) = ∗, działania grup Σ_{j} na przestrzeniach C(j), oraz rodziny strzałek

γ : C(k) × C(j_{1}) × … × C(j_{k}) ⟶ C(j)

dla j = ∑ j_{s}, które spełniają:

1. Dla c ∈ C(k), d_{s} ∈ C(j_{s}), e_{t} ∈ C(i_{t}) zachodzi:

γ(γ(c; d_{1}, …, d_{k}); e_{1}, …, e_{j}) = γ(c; f_{1}, …, f_{k}),

gdzie f_{s} = γ(d_{s}; e_{j_{1}+...+j_{s−1}+1}, …, e_{j_{1}+...+j_{s}}), oraz f_{s} = ∗ jeśli j_{s} = 0.

2. Istnieje element neutralny 1 ∈ C(1) taki, że γ(1; d) = d dla d ∈ C(j), oraz γ(c; 1^{k}) = c dla c ∈ C(k).

3. Dla c ∈ C(k), d_{s} ∈ C(j_{s}), σ ∈ Σ_{k}, τ ∈ Σ_{j_{s}} zachodzi:

γ(cσ; d_{1}, …, d_{k}) = γ(c; d_{σ^{−1}(1)}, …, d_{σ^{−1}(k)})σ(j_{1}, …, j_{k}),

oraz

γ(c; d_{1}τ_{1}, …, d_{k}τ_{k}) = γ(c; d_{1}, …, d_{k})(τ_{1} ⊕ … ⊕ τ_{k}),

gdzie σ(j_{1}, …, j_{k}) oznacza permutację j elementów, która permutuje poprzez σ k bloków powstałych z podziału j na (j_{1}, …, j_{k}); zaś τ_{1} ⊕ … ⊕ τ_{k} oznacza obraz (τ_{1} × … × τ_{k}) przy standardowym włożeniu Σ_{j_{1}} × … × Σ_{j_{k}} w Σ_{j}.

Przykład 1.1 Dla X ∈ T określamy operad endomorfizmów E_{X} jako: E_{X}(j) = Map(X^{j}, X), Σ_{j} działa permutując argumenty, zaś γ(f; g_{1}, …, g_{k}) = f(g_{1} × … × g_{k}) dla f ∈ E_{X}(k), g_{s} ∈ E_{X}(j_{s}).

Przykład 1.2 Ustalmy w przestrzeni C^{∞} iloczyn hermitowski. Operad izometrii L określamy w sposób następujący: L(j) = Iso((C^{∞})^{j}, C^{∞}) gdzie Iso oznacza zbiór funkcji (nieoniecznie ”na“) zachowujących iloczyn skalarny. Działanie grup symetrycznych, oraz operacja γ jest dziedziczona z Przykładu 1.1.

Przykład 1.3 Niech M(j) = Σ_{j} z topologią dyskretną, oraz działaniem Σ_{j} przez prawe przesunięcia. Wówczas γ jest jednoznacznie wyznaczone przez warunek γ(e_{k}; e_{j_{1}}, …, e_{j_{k}}) = e_{j}.

Przykład 1.4 Niech N (j) = ∗ wraz z jednoznacznie wyznaczonym działaniem i operacją γ.

Przykład 1.5 Małą n-kostką nazywamy liniowe włożenie Int(I^{n}) w siebie zachowujące osie współrzędnych tzn. będące produktem n egzemplarzy włożeń Int(I) w siebie. Określamy operad małych n-kostek C_{n} :

C_{n}(j) = {(c_{1}, …, c_{j}) : c_{k} – małe kostki mające parami rozłączne obrazy}

z topologią podzbioru Map(∐_{k=1}^{j}Int(I^{n}), Int(I^{n})). Grupa Σ działa na C_{n}(j) przez

permutacje c_{k}. Operacja γ jest zdefiniowana formułą γ(c; d_{1}, …, d_{k}) = c(d_{1} + … + d_{k}) (+ oznacza tu sumę rozłączną przekształceń). Istnieją oczywiste morfizmy operadów σ_{n} : C_{n} ⟶ C_{n+1} polegające na domnażaniu kartezjańskim małych kostek przez włożenie identycznościowe. Możemy więc określić graniczny operad C_{∞}.

2 Przestrzenie nad operadami

Definicja 2.1 Morfizmem Θ operadu C w operad D nazywamy rodzinę Σ_{j}- ekwiwariantnych przekształceń Θ_{j} : C(j) ⟶ D(j) przemiennych z γ. Przestrzeń X nazywamy C-przestrzenią dla pewnego operadu C gdy mamy dany morfizm Θ : C ⟶ E_{X}. Na mocy dołączenia strukturę C-przestrzeni na X można również zadać poprzez rodzinę przekształceń Θ_{j} : C_{j} ×_{Σ_{j}} X^{j} ⟶ X przemiennych z γ. Kategorię C-przestrzeni będziemy oznaczać przez T [C].

Definicja 2.2 Niech I będzie kategorią której obiektami są skończenie wymiarowe przestrzenie zespolone z iloczynem hermitowskim, zaś Mor(V, W) = Iso(V, W). I-funktorem nazywamy parę (T, ω) gdzie T : I ⟶ T jest ciągłym funktorem, oraz ω : T × T ⟶ T ∘ ⊕ ciągłą, łączną i przemienną transformacją, które spełniają dodatkowo:

1. Dla x ∈ T V, ∗ ∈ T {0} zachodzi ω(x, ∗) = x.

2. Jeśli i : V′ ⟶ V′ ⊕ V′′ – standardowa inkluzja to T i jest homeomorfizmem na podzbiór domknięty.

W takiej sytuacji możemy też rozszerzyć T również na przestrzenie przeliczalnie wymiarowe kładąc:

T (C^{∞}) = lim_{V^{sk}⊂C^{∞}} T (V).

Przykład 2.1 Jeśli T jest I-funktorem to T (C^{∞}) jest L-przestrzenią. Istotnie, kładziemy Θ_{j}(f, (x_{1}, …, x_{j})) = T f(ω(x_{1}, …, x_{d}ȷ).

Przykład 2.2 Kategoria T [M] jest izomorficzna z kategorią topologicznych monoidów z jedynką – punktem wyróżnionym (iterowane działanie w monoidzie wyznacza strzałkę Θ_{j} : Σ_{j} ×_{Σ_{j}} X^{j} = X^{j} ⟶ X.

Przykład 2.3 Kategoria T [N] jest izomorficzna z kategorią przemiennych topologicznych monoidów z jedynką – punktem wyróżnionym.

Przykład 2.4 Dla dowolnej przestrzeni X przestrzeń Ω^{n}X jest C_{n}-przestrzenią. Przekształcenie Θ : C_{n}(j) × (Ω^{n}X)^{j} ⟶ Ω^{n}X określamy w sposób następujący: Θ((c_{1}, …, c_{j}), (y_{1}, …, y_{j})) na obrazie c_{r} jest równe y_{r} ∘c_{r}^{−1} (elementy y_{r} ∈ Ω^{n}X traktujemy jako odwzorowania y_{r} : (I^{n}, ∂I^{n}) ⟶ X), oraz punktowi wyróżnionemu poza sumą obrazów c_{r}.

Definicja 2.3 Operad C nazywamy Σ-wolnym jeśli dla każdego j, C(j) jest wolną Σ_{j}-przestrzenią. Przeskształcenie operadów Θ : C ⟶ D nazywamy lokalną równoważnością (lokalną Σ-równoważnością) gdy dla każdego j, Θ_{j} : C(j) ⟶ D(j) jest homotopijną równoważnością (dodatkowo istnieje homotopia Σ-ekwiwariantna).

Definicja 2.4 Operad C nazywamy A_{∞}-operadem gdy C jest Σ-wolny, oraz istnieje lokalna Σ-równoważność ϵ : C ⟶ M. Przestrzeń X nazywamy A_{∞}- przestrzenią gdy jest C-przestrzenią dla pewnego A_{∞}-operadu C. Operad C nazywamy E_{∞}-operadem gdy C jest Σ-wolny, oraz istnieje lokalna równoważność ϵ : C ⟶ N. Inaczej mówiąc: wtedy i tylko wtedy gdy C(j) jest ściągalną, wolną Σ_{j}-przestrzenią dla każdego j. Przestrzeń X nazywamy E_{∞}- przestrzenią gdy jest C-przestrzenią nad pewnym E_{∞}-operadem C.

Przykład 2.5 Ponieważ Iso((C^{∞})^{j}, C^{∞}) jest ściągalny więc L jest E_{∞}- operadem. Również operad C_{∞} jest E_{∞}-operadem, lecz ściągalność przestrzeni C_{∞}(j) jest już faktem nieco głębszym.

Definicja 2.3 Niech C będzie E_{∞}-operadem. Rozważmy operad produktowy (naiwny produkt jest produktem w kategorii operadów) D_{n} = C ×C_{n} wraz z rzutami ψ_{n} : D_{n} ⟶ C, π_{n} : D_{n} ⟶ C_{n}. Wówczas D_{∞} również jest E_{∞}-operadem, oraz jeśli (X, Θ) jest C-przestrzenią to (X, Θψ_{∞}) jest D_{∞}-przestrzenią.

3 Monady

Definicja 3.1 Monada w kategorii T jest to trójka (C, μ, η) gdzie C : T ⟶ T jest funktorem kowariantnym, zaś μ : C^{2} ⟶ C, η : Id ⟶ C transformacjami naturalnymi (C^{2} oznacza złożenie funktora z samym sobą) dającymi dla każdego X ∈ T diagramy przemienne:

[figure: CX; C^{2}X; CX; CX; C^{3}X; C^{2}X; C^{2}X; CX; Cη(X); η(CX); μ(X); μ(CX); μ(X); Cμ(X); μ(X); Id; Id]

Morfizm monad ψ : (C, μ, η) ⟶ (C′, μ′, η′) jest to transformacja ψ : C ⟶ C′ taka, że następujące diagramy są przemienne:

[figure: CX; X; C′X; CX; C^{2}X; C′X; (C′)^{2}X; η; η′; μ; μ′; ψ^{2}; ψ; ψ]

Przykład 3.1 Jeśli mamy parę funktorów dołączonych L : A ⟶ B, R : B ⟶ A to trójka (RL, μ, η) gdzie μ : RLRL ⟶ RL, η : Id ⟶ RL dołączone do identyczności jest monadą w A.

Definicja 3.2 Algebra nad monadą (C, μ, η) jest to para (X, ξ) gdzie X ∈ T , oraz ξ : CX ⟶ X – przeształcenie, dająca diagramy przemienne:

[figure: X; CX; X; CX; X; C^{2}X; CX; Id; η; ξ; Cξ; ξ; ξ; μ]

Morfizm algebr f : (X, ξ) ⟶ (X′, ξ′) jest to przekształcenie f : X ⟶ X′ takie, że diagram:

[figure: X; CX; X′; CX′; ξ; ξ′; f; Cf]

jest przemienny.

Kategorię algebr nad monadą C oznaczamy T [C].

Przykład 3.2 Dla dowolnej monady (C, μ, η), oraz obiektu X, para (CX, μ) jest algebrą nad monadą C. Funktor X ⟶ CX jest dołączony z lewej strony do funktora zapominania z kategorii T [C] do T .

4 Kategorie T [C] i T [C]

Niech C będzie operadem. Przyporządkujemy mu w naturalny sposób pewną monadę C. W tym celu określmy najpierw strzałki σ_{i} : C(j) ⟶ C(j − 1) dla 0 ≤ i < j formułą σ(c) = γ(c; s_{i}) dla c ∈ C(j), gdzie s_{i} = 1^{i} × ∗ × 1^{j−1−i} ∈ C(1)^{i} × C(0) × C(1)^{j−i−1}. Na przykład dla operadu E_{X} mamy s_{i} : X^{j−1} ⟶ X^{j} dane wzorem: s_{i}(x_{1}, …, x_{j−1}) = (x_{1}, …, x_{i}, ∗, x_{i+1}, …, x_{j−1}).

Konstrukcja 4.1 Bierzemy

CX = (∐_{j≥0} C(j) × X^{j})/ ∼

gdzie w relacji są następujące pary:

(σ_{i}c, y) ∼ (c, s_{i}y) dla c ∈ C(j), 0 ≤ i < j, y ∈ X^{j−1}
(cσ, y) ∼ (c, σy) dla c ∈ C(j), σ ∈ Σ_{j}, y ∈ X^{j}.

Strzałki μ : C^{2}X ⟶ CX, oraz η : X ⟶ CX określamy formułami:

μ(c, (d_{1}, y_{1}), …, (d_{k}, y_{k})) = (γ(c; d_{1}, …, d_{k}), y_{1}, …, y_{k}),
η(x) = (1, x).

Fakt 4.1 Kategorie T [C] i T [C] są izomorficzne. Idea dowodu Niech (X, ξ) będzie C-algebrą. Określamy na X strukturę Cprzestrzeni definiując Θ_{j} : C(j) × X^{j} ⟶ X jako złożenie ξ ∘ π gdzie π : C(j) × X^{j} ⟶ CX – oczywiste przekształcenie występujące w konstrukcji CX.

5 Bar konstrukcja

Definicja 5.1 Niech (C, μ, η) będzie monadą w T . C-funktorem w kategorii V nazywamy parę (F, λ) gdzie F : T ⟶ V – funktor, zaś λ : F C ⟶ C – naturalna transformacja, jeśli następujące diagramy są przemienne:

[figure: F; F C; F; F C; F; F C^{2}; F C; Id; F η; λ; λ; λ; λ; F μ]

Mając trójkę: ((C, μ, η), (X, ξ), (F, λ)) gdzie X jest algebrą nad monadą C, zaś F jest C-funktorem (w pewnej kategorii V) możemy zbudować pewien obiekt symplicjalny B(C, X, F) w kategorii V pełniący rolę �rezolwenty symplicjalnej“ obiektu X. Określamy zbiór q-wymiarowych symplesów:

B_{q}(C, X, F) = F C^{q}X,

oraz brzegi i degeneracje:

\begin{matrix}∂_{0} = λ, & λ : F C^{q}X ⟶ F C^{q−1}X \\ ∂_{i} = F C^{i−1}μ, & μ : C^{q−i+1}X ⟶ C^{q−i}X, 0 < i < q \\ ∂_{q} = F C^{q−1}ξ, & ξ : CX ⟶ X \\ s_{i} = F C^{i}η, & η : C^{q−1}X ⟶ C^{q−i+1}, 0 ≤ i ≤ q. \end{matrix}

Bibliografia

[1] J.P. May: The Geometry of Iterated Loop Spaces, Lect. Notes in Math. 271, Springer, Berlin 1972.