% The next lines tell TeXShop to typeset with xelatex, and to open and save the source with Unicode encoding.

%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode



\documentclass[11pt,a4paper]{article}%{mwrep}
\usepackage[OT4]{polski}
\usepackage[centertags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
%\usepackage{newlfont}
\usepackage{mathtools} %pakiet potrzebny do \eqref
\usepackage{amssymb} %pakiet potrzebny do \blacksquare i \mathbb
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{jurabib}
\usepackage{color}
\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks=true,%
pdfview=FitH,pdfstartview=FitH,%
urlcolor=blue,pdftitle={},%
pdfauthor={Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski},%
pdfsubject={},%
pdfcreator={LaTeX + pdfLaTeX},%
%pdfencoding=auto,%
pdfkeywords={}%,
]{hyperref}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{fontspec,xltxtra,xunicode}
\newtheorem{zad}{ \bf}[section]
%\usepackage{amscd}
\usepackage{xypic}
%\usepackage[top=25pt, bottom=30pt, left= 20pt, right=25pt]{geometry}
\def\z{\end{zad}\medskip\begin{zad}\rm}
\def\t{\end{zad}\medskip\begin{zad}\rm}
\def\n{\end{zad}\medskip\begin{zad}\rm}
%\def\zb{\end{zad}\medskip\begin{zadrm\llap{$\bullet$}}}
\def\R{\mathbb R}
\def\C{\mathbb C}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\N{\mathbb N}
\def\nor{\trianglelefteq}
\def\ker{\operatorname {ker}}
\def\gengru#1{\langle\,#1 \,\rangle}
\def\ch{\blacktriangleleft}
\def\ti{\tilde}
\def\arr{\longrightarrow}
\def\Abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\def\rk{\operatorname {rank}}
\def\lin{\operatorname {lin}}
\def\af{\operatorname {af}}
\def\dim{\operatorname {dim}}
\def\ker{\operatorname {ker}}
\def\im{\operatorname {im}}
\def\tr{\operatorname {tr}}
\def\rel{\operatorname {rel}}
\def\Hom {\operatorname {Hom}}
\def\Rep {\operatorname {Rep}}
\def\Cov {\operatorname {Cov}}
\def\Inn {\operatorname {Inn}}
\def\gg #1{\langle\,#1\,\rangle}
\pagestyle{empty}
\newtheorem*{df}{Definicja}
\newtheorem {lem}{Lemat}
\newtheorem {wn}{Wniosek}
\newtheorem {stw}{Stwierdzenie}
\newtheorem {tw}{Twierdzenie}
\newtheorem {prz}{Przykład}
\newtheorem {uw}{Uwaga}


\begin{document}
\section{seria -- do oddania 6 marca}

\begin{zad}\rm Niech $A\subseteq X$ będzie podzbiorem ściągalnym, oraz
$a_0\in A$. Czy włożenie $X\setminus A\rightarrow
X\setminus\{a_0\}$ jest homotopijną rów\-no\-waż\-nością?\vskip 5cm

\z Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami łukowo spójnymi. Niech
\hbox{$x_0\in X$} będzie punktem wyróżnionym takim, że
$\{x_0\}\subset X$ jest parą Borsuka. Niech $y_0\in Y$
będzie punktem wyróżnionym. Pokazać, że dla każdego
przekształcenia $f:X\to     Y$ istnieje homotopijne z nim
przekształcenie $g:X\to     Y$, dla którego $g(x_0)=y_0$.\vskip 5cm

\z (Hatcher) Pokazać, że jeżeli punkt $x\in X$ jest silnym retraktem deformacyjnym przestrzeni $X$ ( więc w szczególności przestrzeń $X$ jest ściągalna), to dla każdego otwartego otoczenia $U$ punktu $x$ istnieje otoczenie otwarte $x\in V\subset U$, takie że włożenie $V \hookrightarrow U$ jest homotopijne z odwzorowaniem stałym.\eject

\z Niech  $A\subset X$ i niech $i:A\to X$ będzie włożeniem. Niech $r:X\to A$ i $r':X\to A$ będą silnymi retrakcjami deformacyjnymi i niech $H_0, H_1:X\times I\to X$ będą odpowiadającymi im homotopiami. Pokazać, że istnieje $F:X\times I\times I\to X$ takie, że $F_{|_{X\times I\times \{0\}}}=H_0$, $F_{|_{X\times I\times \{1\}}}=H_1$ oraz dla każdego $s\in I$, $F_{|_{X\times I\times \{s\}}}:X\times I\to X$ jest homotopią odpowiadającą retrakcji deformacyjnej $F_{|_{X\times \{0\}\times \{s\}}}:X\to X\times \{0\}\times \{s\}(X)=A$. (Innymi słowy dowolne dwie silne retrakcje deformacyjne są homotopijne poprzez silne retrakcje deformacyjne.)
\end{zad}\eject
\section{seria -- do oddania 13 marca}
{\it Proszę wydrukować, wypełnić i oddać na ćwiczeniach}

\noindent Symbol $X\thickapprox Y$ oznacza, że przestrzenie $X$ i $Y$  są homotopijnie równoważne. 
\begin{zad}\rm Pokazać, że $S^1\times S^1/S^1\times\{s_0\}\thickapprox
S^2\vee S^1$.   \vskip 5cm

\z Pokazać, że $S^1\times D^2/S^1\times S^1\thickapprox
S^3\vee S^2$. \vskip 5cm
\z Wykazać, że $S^n/S^k\thickapprox S^n\vee S^{k+1}$.\vskip 5cm\eject

\z Niech $f: X\to Y$, $f(x_0) =y_0$ będzie homotopijną równoważnością. Niech $\{x_0\}\subset X$ będzie parą Borsuka. Czy wynika z tego, że $\{y_0\}\subset Y$ jest parą Borsuka?\vskip 5cm



\z * Podaj przykład przestrzeni $X$ takiej, że nie istnieje punkt $x\in X$ dla którego $\{x\}\hookrightarrow X$ jest parą Borsuka. \vskip 5cm\end{zad}
\eject
\section{seria -- do oddania 20 marca}
{\it Proszę wypełnić i odesłać. W razie kłopotów z latexem proszę wydrukować, CZYTELNIE wypełnić i odesłać zdjęcie.}

\begin{zad}\rm Niech $A\subset X$ będzie parą Borsuka i niech przekształcenie $f:A\to B$ będzie  homotopijną równoważnością. Czy wynika z tego, że przekształcenie $X\to X\cup_f B$ jest homotopijną równoważnością?\vskip 5cm
\z Pokazać, że dowolna droga leżąca w $\R^n\setminus 0$ o końcach
leżących na sferze $S^{n-1}\subset \R^n\setminus 0$ jest
homotopijna z drogą leżącą na sferze.\vskip 4cm
\z Niech drogi $\omega\,,\,\omega'$ łączą punkty $x_0$ i $x_1
$. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}[1)]
\item $\omega\thicksim\omega'\,\,$;
\item  $\omega^{-1}\star\omega'\thicksim\omega_{x_1}\,\,$; 
\item $\omega\star(\omega')^{-1}\thicksim \omega_{x_0} $.
 \end{enumerate} \vskip 7cm

\z Pokazać, że przyporządkowanie $([\alpha],
[\beta])\to    ([\alpha\times\beta])$ definiuje naturalny
homorfizm grup: $\pi_1(X,x)\times\pi_1(Y,y) \to    
\pi_1(X\times Y,(x,y)) $. Pokazać, że jest on izomorfizmem
wskazując homomorfizm odwrotny.\vskip 5cm

\z Niech $X$ będzie przestrzenią łukowo spójną. Pokazać, że $\pi_1(X,x)$ jest grupą przemienną wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $y\in X$ i dowolnych $[\eta],[\tau]\in \Pi(X, x,y)$, $h_{[\eta],[\eta]}=h_{[\tau],[\tau]}:\pi_1(X,y)\to \pi_1(X,x)$.



\end{zad}
\end{document}
