<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% The next lines tell TeXShop to typeset with xelatex, and to open and save the source with Unicode encoding.

%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode



\documentclass[11pt,a4paper]{article}%{mwrep}
\usepackage[OT4]{polski}
\usepackage[centertags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
%\usepackage{newlfont}
\usepackage{mathtools} %pakiet potrzebny do \eqref
\usepackage{amssymb} %pakiet potrzebny do \blacksquare i \mathbb
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{jurabib}
\usepackage{color}
\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks=true,%
pdfview=FitH,pdfstartview=FitH,%
urlcolor=blue,pdftitle={},%
pdfauthor={Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski},%
pdfsubject={},%
pdfcreator={LaTeX + pdfLaTeX},%
%pdfencoding=auto,%
pdfkeywords={}%,
]{hyperref}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{fontspec,xltxtra,xunicode}
\newtheorem{zad}{ \bf}[section]
%\usepackage{amscd}
\usepackage{xypic}
%\usepackage[top=25pt, bottom=30pt, left= 20pt, right=25pt]{geometry}
\def\z{\end{zad}\medskip\begin{zad}\rm}
\def\t{\end{zad}\medskip\begin{zad}\rm}
\def\n{\end{zad}\medskip\begin{zad}\rm}
%\def\zb{\end{zad}\medskip\begin{zadrm\llap{$\bullet$}}}
\def\R{\mathbb R}
\def\C{\mathbb C}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\N{\mathbb N}
\def\nor{\trianglelefteq}
\def\ker{\operatorname {ker}}
\def\gengru#1{\langle\,#1 \,\rangle}
\def\ch{\blacktriangleleft}
\def\ti{\tilde}
\def\arr{\longrightarrow}
\def\Abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\def\rk{\operatorname {rank}}
\def\lin{\operatorname {lin}}
\def\af{\operatorname {af}}
\def\dim{\operatorname {dim}}
\def\ker{\operatorname {ker}}
\def\im{\operatorname {im}}
\def\tr{\operatorname {tr}}
\def\rel{\operatorname {rel}}
\def\Hom {\operatorname {Hom}}
\def\Rep {\operatorname {Rep}}
\def\Cov {\operatorname {Cov}}
\def\Inn {\operatorname {Inn}}
\def\gg #1{\langle\,#1\,\rangle}
\pagestyle{empty}
\newtheorem*{df}{Definicja}
\newtheorem {lem}{Lemat}
\newtheorem {wn}{Wniosek}
\newtheorem {stw}{Stwierdzenie}
\newtheorem {tw}{Twierdzenie}
\newtheorem {prz}{PrzykĹad}
\newtheorem {uw}{Uwaga}


\begin{document}
\section{seria -- do oddania 6 marca}

\begin{zad}\rm Niech $A\subseteq X$ bÄdzie podzbiorem ĹciÄgalnym, oraz
$a_0\in A$. Czy wĹoĹźenie $X\setminus A\rightarrow
X\setminus\{a_0\}$ jest homotopijnÄ rĂłw\-no\-waĹź\-noĹciÄ?\vskip 5cm

\z Niech $X$ i $Y$ bÄdÄ przestrzeniami Ĺukowo spĂłjnymi. Niech
\hbox{$x_0\in X$} bÄdzie punktem wyrĂłĹźnionym takim, Ĺźe
$\{x_0\}\subset X$ jest parÄ Borsuka. Niech $y_0\in Y$
bÄdzie punktem wyrĂłĹźnionym. PokazaÄ, Ĺźe dla kaĹźdego
przeksztaĹcenia $f:X\to     Y$ istnieje homotopijne z nim
przeksztaĹcenie $g:X\to     Y$, dla ktĂłrego $g(x_0)=y_0$.\vskip 5cm

\z (Hatcher) PokazaÄ, Ĺźe jeĹźeli punkt $x\in X$ jest silnym retraktem deformacyjnym przestrzeni $X$ ( wiÄc w szczegĂłlnoĹci przestrzeĹ $X$ jest ĹciÄgalna), to dla kaĹźdego otwartego otoczenia $U$ punktu $x$ istnieje otoczenie otwarte $x\in V\subset U$, takie Ĺźe wĹoĹźenie $V \hookrightarrow U$ jest homotopijne z odwzorowaniem staĹym.\eject

\z Niech  $A\subset X$ i niech $i:A\to X$ bÄdzie wĹoĹźeniem. Niech $r:X\to A$ i $r':X\to A$ bÄdÄ silnymi retrakcjami deformacyjnymi i niech $H_0, H_1:X\times I\to X$ bÄdÄ odpowiadajÄcymi im homotopiami. PokazaÄ, Ĺźe istnieje $F:X\times I\times I\to X$ takie, Ĺźe $F_{|_{X\times I\times \{0\}}}=H_0$, $F_{|_{X\times I\times \{1\}}}=H_1$ oraz dla kaĹźdego $s\in I$, $F_{|_{X\times I\times \{s\}}}:X\times I\to X$ jest homotopiÄ odpowiadajÄcÄ retrakcji deformacyjnej $F_{|_{X\times \{0\}\times \{s\}}}:X\to X\times \{0\}\times \{s\}(X)=A$. (Innymi sĹowy dowolne dwie silne retrakcje deformacyjne sÄ homotopijne poprzez silne retrakcje deformacyjne.)
\end{zad}\eject
\section{seria -- do oddania 13 marca}
{\it ProszÄ wydrukowaÄ, wypeĹniÄ i oddaÄ na Äwiczeniach}

\noindent Symbol $X\thickapprox Y$ oznacza, Ĺźe przestrzenie $X$ i $Y$  sÄ homotopijnie rĂłwnowaĹźne. 
\begin{zad}\rm PokazaÄ, Ĺźe $S^1\times S^1/S^1\times\{s_0\}\thickapprox
S^2\vee S^1$.   \vskip 5cm

\z PokazaÄ, Ĺźe $S^1\times D^2/S^1\times S^1\thickapprox
S^3\vee S^2$. \vskip 5cm
\z WykazaÄ, Ĺźe $S^n/S^k\thickapprox S^n\vee S^{k+1}$.\vskip 5cm\eject

\z Niech $f: X\to Y$, $f(x_0) =y_0$ bÄdzie homotopijnÄ rĂłwnowaĹźnoĹciÄ. Niech $\{x_0\}\subset X$ bÄdzie parÄ Borsuka. Czy wynika z tego, Ĺźe $\{y_0\}\subset Y$ jest parÄ Borsuka?\vskip 5cm



\z * Podaj przykĹad przestrzeni $X$ takiej, Ĺźe nie istnieje punkt $x\in X$ dla ktĂłrego $\{x\}\hookrightarrow X$ jest parÄ Borsuka. \vskip 5cm\end{zad}
\eject
\section{seria -- do oddania 20 marca}
{\it ProszÄ wypeĹniÄ i odesĹaÄ. W razie kĹopotĂłw z latexem proszÄ wydrukowaÄ, CZYTELNIE wypeĹniÄ i odesĹaÄ zdjÄcie.}

\begin{zad}\rm Niech $A\subset X$ bÄdzie parÄ Borsuka i niech przeksztaĹcenie $f:A\to B$ bÄdzie  homotopijnÄ rĂłwnowaĹźnoĹciÄ. Czy wynika z tego, Ĺźe przeksztaĹcenie $X\to X\cup_f B$ jest homotopijnÄ rĂłwnowaĹźnoĹciÄ?\vskip 5cm
\z PokazaÄ, Ĺźe dowolna droga leĹźÄca w $\R^n\setminus 0$ o koĹcach
leĹźÄcych na sferze $S^{n-1}\subset \R^n\setminus 0$ jest
homotopijna z drogÄ leĹźÄcÄ na sferze.\vskip 4cm
\z Niech drogi $\omega\,,\,\omega'$ ĹÄczÄ punkty $x_0$ i $x_1
$. UdowodniÄ, Ĺźe nastÄpujÄce warunki sÄ rĂłwnowaĹźne:
\begin{enumerate}[1)]
\item $\omega\thicksim\omega'\,\,$;
\item  $\omega^{-1}\star\omega'\thicksim\omega_{x_1}\,\,$; 
\item $\omega\star(\omega')^{-1}\thicksim \omega_{x_0} $.
 \end{enumerate} \vskip 7cm

\z PokazaÄ, Ĺźe przyporzÄdkowanie $([\alpha],
[\beta])\to    ([\alpha\times\beta])$ definiuje naturalny
homorfizm grup: $\pi_1(X,x)\times\pi_1(Y,y) \to    
\pi_1(X\times Y,(x,y)) $. PokazaÄ, Ĺźe jest on izomorfizmem
wskazujÄc homomorfizm odwrotny.\vskip 5cm

\z Niech $X$ bÄdzie przestrzeniÄ Ĺukowo spĂłjnÄ. PokazaÄ, Ĺźe $\pi_1(X,x)$ jest grupÄ przemiennÄ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $y\in X$ i dowolnych $[\eta],[\tau]\in \Pi(X, x,y)$, $h_{[\eta],[\eta]}=h_{[\tau],[\tau]}:\pi_1(X,y)\to \pi_1(X,x)$.



\end{zad}
\end{document}
</pre></body></html>