Seminarium Teoria Mnogości

Granica rodziny filtrów jest pewnego rodzaju uogolnieniem sumy Fubiniego rodziny filtrów, natomiast ranga filtru analitycznego to minimalne \xi takie ze filtr jest oddzielony od swojego ideału dualnego zbiorem \Sigma^0_1+\xi. Podczas seminarium oszacujemy rangę takich granic znając rangi filtrów z rodziny. Poprawimy tym samym niektóre szacowania G. Debsa i J. Saint Raymonda z pracy "Filter descriptive classes of Borel functions".

Pokażę, że własności oddzielania nie zachodzi dla klas Sigma_n (n>=2) w
hierarchii automatów alternujących na drzewach.  Dowód polega na
skonstruowaniu dwóch automatów, które zaświadczają o braku własności
oddzielania. Dla n=2 klasa Sigma_2 składa się ze zbiorów
koanalitycznychi  i powyższy wynik został wykazany we wcześniej pracy.
Dla n>2 klasy Sigma_n składają się ze zbiorów Delta^1_2.

Na potrzeby konstrukcji dla drzew zaanalizuję problem oddzielania dla
języków słów nieskończonych. W szczególności wskażę, które klasy
języków słów mają własność oddzielania. W przypadku drzew wiadome jest,
że oddzielanie zachodzi w klasie Pi_2 dualnej do Sigma_2 (tw. M.
Rabina), natomiast dla n>2 problem pozostaje otwarty.

Inspiracją dla przedstawionych wyników jest rezultat Gitika-Shelaha stanowiący, że dowolną przeliczalną rodzinę A_n podzbiorów prostej rzeczywistej można odchudzić (tzn. znalęźć zbiory B_n\subseteq A_n)  tak, aby zbiory B_n były parami rozłączne oraz miara zewnętrzna  B_n była równa mierze zewnętrzej A_n. Pokazujemy analogiczny wynik dla kategorii, a dokładniej dowodzimy twierdzenia: Załóżmy, że A jest dowolną partycją prostej na zbiory pierwszej kategorii. Niech A_n\subseteq A dla n\in\omega. Wtedy istnieje rodzina {B_n : n\in\omega}parami rozłącznych zbiorów czyniąca zadość warunkom:* B_n\subseteq A_n,   * [\bigcup B_n]_K=[\bigcup A_n]_K.[X]_K oznacza tu borelowską otoczkę zbioru X względem ideału zbiorów pierwszej kategorii K. Podobne hipotezę mozna wysłowić zatem dla ideałów z własnością otoczki. W sazczególności, ideały z własnością Suslina mają własność otoczki. Uzyskaliśmy następujący rezultat dotyczący ideałów I z własnością c.c.c (i bazą borelowską): Załóżmy, że nie istnieje liczba quasi-mierzalna mniejsza niż continuum. Niech A będzie punktowo skończonym ppokryciem prostej  zbiorami z ideału I.Ustalmy A_n\subseteq A dla n\in\omega. Wtedy istnieje rodzina parami rozłącznych zbiorów {B_n : n\in\omega} o własnosciach:* B_n\subseteq A_n,* [\bigcup B_n]_I=[\bigcup A_n]_I.Wynik ten bazuje na uzyskanym wcześniej, wspólnie z R. Rałowskim, twierdzeniu o znajdowaniu podrodzin o całkowicie I-niemierzalnej sumie.

Przestrzenie Banacha dziedzicznie nierozkładalne nie moga mieć gęstości wiekszej niż kontinuum. Natomiast niewiadomo czy nierozkładalne przestrzenie Banacha moga miec dowolnie duże gestości czy też są one ograniczone przez jakąś liczbe kardynalną (następnik kontinuum, liczbe mierzalną). Referat bedzie dotyczył powyższego problemu i pewnego podejścia do  niego w kierunku forsowania nierozkładalnej przestrzeni Banacha postaci C(K) o gestości większej niz kontinuum. 

Mówimy, że \sigma-ideał I na przestrzeni X ma własność "1-1 lub stała", jeśli każdą funkcję borelowską 

określoną na I-pozytywnym zbiorze borelowskim można obciąć do I-pozytywnego podzbioru, na którym 

funkcja staje się 1-1 lub stała. W języku forcingowym odpowiada to zjawisku dodawania jednego stopnia 

rzeczywistego przez forcing P_I. Klasyczne znane przykłady \sigma-ideałów o własności "1-1 lub stała" 

obejmują: \sigma-ideał zbiorów przeliczalnych na $2^\omega$ (forcing Sacksa) i \sigma-ideał zbiorów 

\sigma-zwartych na przestrzeni Baire'a (forcing Millera). Z drugiej strony, przykładem, dla którego ta 

własność drastycznie nie zachodzi jest \sigma-ideał zbiorów pierwszej kategorii (forcing Cohena) lub 

dowolny \sigma-ideał I, dla którego P_I dodaje liczbę Cohena. W trakcie referatu udowodnię, ze zachodzi 

następująca dychotomia: Twierdzenie. Niech I będzie \sigma-ideałem generowanym przez zbiory domknięte 

na przestrzeni polskiej X. Wtedy  (i) albo I ma własność "1-1 lub stała",  (ii) albo P_I dodaje liczbę Cohena. 

Warto wspomnieć, że stwierdzenie, że P_I dodaje liczbę Cohena ma również czysto topologiczne 

sformułowanie: istnieje borelowski I-pozytywny zbiór B i borelowska funkcja f:B-->2^\omega taka, że 

przeciwobrazy przez f zbiorów pierwszej kategorii należą do I. Zaprezentowane wyniki są wspólne z 

J. Zapletalem.  

We present a forcing axiom which can be used to get consistency results at the successor of a singular cardinal and explain why getting such an axiom is very different than getting forcing axioms at aleph_1. In particular, the consistency necessarily involves large cardinals, as the singular cardinal hypothesis is violated.

Streszczenie:

W referacie przedstawi charakteryzacje grup polskich zwanych CLI, tj. grup, dla kt�rych istnieje zupelna metryka lewo-niezmiennicza kompatybilna z topologia grupowa. Nast pnie podam dwa zastosowania tej charakteryzacji:
a) przyklad nieprzeliczalnej grupy polskiej, dla kt�rej zadna nieprzeliczna podgrupa domknieta nie jest CLI;
b) twierdzenie, kt�re m�wi, ze rodzina polskich grup CLI jest zbiorem koanalitycznym zupelnym w standardowej przestrzeni borelowskiej grup polskich.

Więcej informacji: http://www.mimuw.edu.pl/~adamp/measurable/

Więcej informacji: http://www.mimuw.edu.pl/~adamp/measurable/