Seminarium Zakładu Rachunku Prawdopodobieństwa

W serii prac uzyskałyśmy wspólnie z A. Kałamajską różne warianty nierówności typu Gagliardo-Nirenberga, także w przestrzeniach Orlicza. Dla miar innych niż miara Lebesgue'a (lub miary nie bardzo od niej odległe) nierówności te niosły ograniczenie, by dla występującej w nich funkcji Orlicza M spełniony był warunek M(r)/r^2 - niemalejące. Dla przestrzeni L^p odpowiada to sytuacji p>2 lub p=2.

W referacie pokażę, jak oszacowania "U-bounds" (zbliżone do nierówności Hardy'ego) pozwalają uzyskać nierówności Gagliargo-Nirenberga również dla p<2.

Wprowadzimy nowe klasy procesów Gaussa, tzw. oscylujący ułamkowy ruch Browna i oscylujący podułamkowy r. B., omówimy ich własności, porównując ze zwykłym ułamkowym i podułamkowym r. B. oraz pokażemy, jak te procesy pojawiają się w sposób naturalny jako granice fluktuacji czasów przebywania dla błądzeń na grupie hierarchicznej (jest to przestrzeń ultrametryczna, modelująca np. populację, w której odległość między dwoma osobnikami mierzy stopień ich pokrewieństwa).

Tematem referatu będzie analiza stochastyczna przy nieliniowej wartości oczekiwanej. Po zarysowaniu teorii rozwiniętej przez Shige Penga, wprowadzę rachunek Malliavina dla G-ruchu Browna (pochodna Malliavina, całka Skorohoda i relacje między tymi obiektami oraz wzór Clarka-Ocone'a) z zaznaczeniem podobieństw i różnic w stosunku do klasycznej teorii dla procesu Wienera. Podam również prosty przykład zastosowania otrzymanych wyników w matematyce finansowej.

Jak wiadomo, d-wymiarowe transformaty Riesza są operatorami ograniczonymi na L^p(R^d), 1<p<oo. Zajmiemy się pewną wersją tego wyniku dla p=1: mianowicie, zbadamy pewne optymalne lokalne oszacowania typu LlogL. Dowód będzie się opierać na pewnych dualnych wykładniczych nierównościach martyngałowych.

Niech g będzie standardową zmienną gaussowską N(0,1). W 2005 roku D. Nualart i G. Peccati udowodnili, że jednorodny chaos gaussowski o wariancji 1 ma rozkład bliski rozkładowi g jeśli jego czwarty moment jest bliski czwartemu momentowi g. Przeanalizujemy ten wynik z punktu widzenia teorii chaosów związanych z operatorami Markowa. Referat na podstawie pracy M. Ledoux "Chaos of a Markov operator and the fourth moment condition".

W poprzednich referatach pokazywaliśmy, jak procesy takie jak np. ułamkowy ruch Browna i podułamkowy ruch Browna pojawiają się w strukturze czasowej granicy unormowanych fluktuacji procesu przebywania pewnych układów cząstek (z gałązkowaniem lub bez). W tej sytuacji otrzymywaliśmy ułamkowy i podułamkowy ruch Browna oraz ujemny podułamkowy ruch Browna tylko w ograniczonym zakresie parametrów.

Obecnie pokażemy, że procesy typu "ułamkowego" można w dość naturalny sposób uzyskać, rozważając strukturę przestrzenną fluktuacji procesów przebywania, a także procesów empirycznych związanych ze wspomnianymi wyżej układami cząstek. Takie podejście pozwala otrzymać (po przejściu granicznym) ułamkowy ruch Browna, podułamkowy ruch Browna, ujemny podułamkowy ruch Browna oraz część nieparzystą ułamkowego ruchu Browna w pełnym zakresie parametrów tych procesów.

Na podstawie wspólnej pracy z T. Bojdeckim (arXiv:1108.2745v1).

Niech g będzie standardową zmienną gaussowską N(0,1). W 2005 roku D. Nualart i G. Peccati udowodnili, że jednorodny chaos gaussowski o wariancji 1 ma rozkład bliski rozkładowi g jeśli jego czwarty moment jest bliski czwartemu momentowi g. Przeanalizujemy ten wynik z punktu widzenia teorii chaosów związanych z operatorami Markowa. Referat na podstawie pracy M. Ledoux "Chaos of a Markov operator and the fourth moment condition".

W referacie przedstawię dowód istnienia słabego rozwiązania SDE z szumem Lévy'ego w losowym ośrodku, zbadam Markowskość rozwiązania i podam oszacowania momentów. Następnie rozważę problem martyngałowy związany z równaniem - kiedy jest on dobrze postawiony i podam reprezentację Feynmana-Kaca rozwiązań PIDE.

W pierwszej części referatu omówię pokrótce podejście Tao i Vu do badania miary spektralnej wysokowymiarowych macierzy losowych o współczynnikach i.i.d. Następnie pokażę w jaki sposób ich metoda może być zastosowana do analizy modeli macierzy losowych, w których pełna niezależność współczynników zostaje zastąpiona przez pewne warunki geometryczne.

Zbadamy z jaką dokładnością momenty kombinacji liniowych współrzędnych bezwarunkowych wektorów logarytmicznie wklęsłych są przybliżane przez momenty zmiennych gaussowskich. Sformułujemy pewną naturalną hipotezę i omówimy trzy podejścia prowadzące do jej częściowego rozwiązania - oparte odpowiednio o Centralne Twierdzenie Graniczne Klartaga, koncentrację miary i  ujemne stowarzyszenie modułów współrzędnych.

W odczycie opowiem o sposobie zrozumienia regularności trajektorii procesów przez rozkład supremum. W szczególności opowiem o wynikach dotyczących ciągłości procesów gaussowskich, dla których rozkład supremum jest dobrze określony i może byc alternatywą dla pojęcia miary majoryzującej czy też sieci aproksymujących.

Zespolona S-nierówność dotyczy oszacowania miary Gaussa jednokładnych obrazów wypukłych, środkowosymetrycznych
podzbiorów w C^n. Pokażemy, że w pewnej naturalnej klasie zbiorów 1-symetrycznych (obejmującej 1-symetryczne zbiory wypukłe) optymalne w S-nierówności są cylindry. Posłużymy się elementarną nierównością związaną z entropią

Nierówność Loomisa-Whitneya pozwala szacować objętość dowolnego zbioru zawartego w R^n za pomocą objętości rzutów tego zbioru na n-1 wymiarowe podprzestrzenie. My będziemy się interesować ciałami wypukłymi K w R^n, które są permutacyjnie niezmiennicze (tzn. (x_1, ..., x_n) \in K wtedy i tylko wtedy, gdy (x_s(1), ..., x_s(n)) \in K, dla dowolnej permutacji s zbioru {1, ..., n}) i bezwarunkowe (tzn. symetryczne względem wszystkich hiperpłaszczyzn {x_i = 0}). Pokażemy, że ciąg objętości (V_k), k=1,...,n rzutów ciała K na podprzestrzenie rozpięte przez kolejne k wektorów standardowej bazy R^n jest log-wklęsły. W szczególności, V_{n-1}^2 \geq V_n*V_{n-2}, czyli mamy oszacowanie objętości ciała K za pomocą objętości jego n-1 i n-2 wymiarowych rzutów. Jest to tytułowa nierówność typu Loomisa-Whitneya.

Referat oparty na wspólnej pracy z Piotrem Nayarem.

Dzięki metodzie podwójnej sumy można uzyskiwać dokładną asymptotykę rozkładu supremum dla procesów gaussowskich. Klasyczne zastosowanie tej metody opiera się o wykorzystanie stacjonarnej bądź lokalnie stacjonarnej struktury badanego procesu. W tym wypadku w dokładnej asymptotyce pojawiają się klasyczne stałe Pickands'a związane z ułamkowym ruchem Browna. W naszych rozważaniach próbujemy wyznaczyć dokładną asymptotykę rozkładu supremum dla procesów gaussowskich, które nie posiadają struktury lokalnie stacjonarnej, lecz ogólniej - strukturę samopodobną, np. procesy o różniczkowalnych trajektoriach.

Podczas referatu przypomnę ideę metody podwójnej sumy dla procesów o strukturze lokalne stacjonarnej, wskażę trudności w klasycznym zastosowaniu tej metody w interesującym nas przypadku oraz przedstawię nowe podejście, które pozwoli wyznaczyć szukaną asymptotykę. Warto dodać, że w otrzymanych wynikach nie występują klasyczne stałe Pickands'a, a pojawiające się nowe stałe mają inne, ciekawe własności. Podam również przykłady procesów, do których można zastosować otrzymane wyniki.

Zainteresuję się następującym pytaniem: mając dany rozkład m i czas T, znaleźć (uogólnioną) dyfuzję martyngał X taki, że X_T ma rozklad m.

Problem ten ma proste i jawne rozwiązanie, gdy T ma rozkład wykładniczy i jest niezależne od X. Przedstawię 3 dowody, jeden oparty na rozwiązaniu problemu zanurzeń Skorochoda, jeden na analitycznej teorii uogólnionych dyfuzji (i teorii strun Kreina) i jeden konstrukcyjny oparty na (losowych) miarach Poissona. Na koniec skomentuję problem dla ustalnego (nielosowego) T (dużo trudniejszy i chyba ciągle otwarty).

Referat oparty na wspólnej pracy z A. Coxem i D. Hobsonem.

Referat dotyczyć będzie nieskończonych układów błądzeń na grupie hierarchicznej. Zbiór elementów takiej grupy można wyobrażać sobie jako zbiór liści nieskończonego drzewa opisującego strukturę pokrewieństwa członków danej populacji. Odległością dwóch elementów jest wtedy liczba pokoleń dzielących te elementy od najbliższego wspólnego przodka. Takie przestrzenie stanów (pojawiające się np. w genetyce populacyjnej) są przestrzeniami ultrametrycznymi, co powoduje, że metody oraz wyniki są w dużej części zupełnie inne niż w przypadku euklidesowym.

W referacie rozważane będą nieskończone układy błądzeń losowych. Przedstawione zostanie rozwiązanie problemu wariancji (ang. "number variance"), polegającego na rozstrzygnięciu, kiedy wariancja liczby cząstek znajdujących się w danej chwili w kuli o promieniu L jest ograniczona/zbiega do skończonej granicy, gdy L dąży do nieskończoności. Ponadto rozważane będą też fluktuacje liczby cząstek w kuli, gdy w odpowiedni sposób zmienia się czas i promień.

Na podstawie wspólnej pracy z T. Bojdeckim i L. Gorostizą, preprint: arXiv:1011.4763

Załóżmy, że w jest wagą (funkcją mierzalną nieujemną), określoną na pewnym ograniczonym przedziale prostej rzeczywistej, spełniającą warunek Muckenhaupta (warunek A_p dla pewnego p>=1). Klasyczny wynik Coifmana oraz Feffermana mówi, iż taka waga w spełnia odwrotną nierówność Holdera z pewnym wykładnikiem q. Vasyunin udowodnił, iż zbiór wszystkich takich parametrów q jest pewnym ograniczonym otwartym przedziałem. W trakcie odczytu zbadamy, co się dzieje na końcach tego przedziału: wykażemy pewne nierówności słabego typu (z optymalnymi stałymi). Podstawowym narzędziem będzie konstrukcja pewnej funkcji specjalnej, zwanej funkcją Bellmana. Postaram się przedstawić liczne podobieństwa tego podejścia z metodą Burkholdera.

Jeśli M_i, i=1,..,n jest martyngałem o wartościach w P(D) - miary probabilistyczne na dyskretnej przestrzeni D, wówczas zachodzi nierówność:

$$E\sum_{i=1}^n ||M_i - M_{i-1}|| \le \sqrt{2nEH(M_0)},$$

gdzie $||\mu||$ - wariacja miary zmienno znakowej $\mu$,

$H(\mu)$ - entropia miary probabilistycznej $\mu$, t.j.

$H(\mu) = -\sum_{d\in D} \mu(d) \ln\mu(d)$.

Rozważamy martyngały f, dla których istnieje transformata spełniająca

jednostronny warunek typu P(g^*>=1)>=t, gdzie t jest ustaloną liczbą z

przedziału [0,1]. Dla jakich f jest to możliwe? Udzielimy częściowej

odpowiedzi na to pytanie, wyznaczając optymalne dolne oszacowania na p-ty

moment martyngału f, p>=1. Omówimy też analogiczne zagadnienie w

przypadku gdy f jest nieujemnym podmartyngałem.

Od wtorku do czwartku odbędzie się (w ramach wspólnego seminarium z Analizy Funkcjonalnej i Rachunku Prawdopodobieństwa) miniseria wykładów o addytywnej kombinatoryce i jej zastosowaniach., którą wygłosi prof. Tom Sanders (Cambridge University) Wyklady odbeda sie
- wtorek 11.05  godz. 15.15 w sali 106 IMPAN;
- sroda 12.05  godz. 12.15 w sali 5850 MIMUW;
- czwartek 13.05 godz. 12.15  w sali 5850 MIMUW.

Streszczenie:

Additive combinatorics is a relatively young field which has developed from a quantitative perspective, with many of the tools solving problems in number theory as well as providing new information on reviously qualitative results in harmonic analysis.  Our objective over this series of lectures is to give brief introduction to some of its main tools.

In the first lecture we plan to discuss Roth's theorem on arithmetic progressions.  This is one of the central problems of the field and provides a natural way to introduce many of the Fourier analytic techniques used.  There are many different proofs of this result applicable in different levels of generality and we hope to get as far as the regularity lemma which has wide ranging implications in combinatorics.

In the second lecture we plan to develop Freiman's theorem which provides a structure theory of approximate groups.  Approximate groups share many of  the properties of their
exact cousins but are far more populous, and so very useful for developing inductive arguments which seem on the face of it inaccessible.

Finally, in the third lecture we shall discuss some very recent non-abelian analogues of the preceding techniques and how they can be used to prove a quantitative version of the non-abelian idempotent theorem.  Throughout our emphasis shall be on techniques
so as to make many of the ideas of the area *as accessible as possible*.

W referacie zamierzam omówić finalną wersję dowodu Twierdzenia Paszkiewicza przez miary słabo majoryzujące a także pewne uogólnienia tej metody na inne problemy charakteryzacji ograniczonosci klasy procesów spełniającej pewien warunek dla przyrostów.

Procesy Lévy'ego (czy szerzej procesy Markowa) zabite w chwili wyjścia ze zbioru otwartego mają związek z wieloma klasycznymi zagadnieniami analizy i od dawna są tematem badań. W ostatnich latach ukazało się wiele prac poświęconych oszacowaniom gęstości prawdopodobieństwa przejścia takich procesów. Innym badanym obiektem są wartości własne i funkcje własne operatorów przejścia takich procesów.

W moim niedawnym artykule z T. Kulczyckim, J. Małeckim i A. Stósem w tym kontekście rozważany jest tzw. jednowymiarowy proces Cauchy'ego (symetryczny proces 1-stabilny). Wyniki tej pracy zawierają jawny wzór na prawdopodobieństwo przejścia procesu na półprostej oraz dwuczłonowe rozwinięcie asymptotyczne wartości własnych procesu na odcinku. Aby otrzymać te rezultaty, wyprowadza się jawny wzór na funkcje własne półgrupy procesu na półprostej.

Przedstawię metodę uzyskania wzoru na funkcje własne operatorów przejścia procesu na półprostej w ogólniejszym kontekście, gdy rozważany proces jest subordynowanym ruchem Browna. Wyprowadzenie polega na zastosowaniu tzw.metody Wienera-Hopfa dla operatorów związanych z procesem. Warto podkreślić, że metoda Wienera-Hopfa zastosowana do innych operatorów leży u podstaw teorii fluktuacji procesów Lévy'ego. Oba wspomniane zastosowania tej metody wydają się jednak niezależne od siebie.

W referacie zdefiniuję pewien funkcjonał na trajektoriach ruchu Browna z dryfem $W_t$ na skończonym przedziale czasowym $[0, T]$, który nazwałem uciętym wahaniem. Ucięte wahanie bierze pod uwagę tylko skoki, które są większe od pewnego ustalonego parametru $c>0$. Ucięte wahanie, w przeciwieństwie do zwykłego wahania ruchu Browna (odpowiadającego $c = 0$) jestprawie na pewno skończone, co więcej posiada skończone momenty wykładnicze dowolnego rzędu.  W referacie zdefiniuję także dwa powiązane funkcjonały - ucięte wahanie w górę i ucięte wahanie w dół. Podam formułę na transformatę Laplace'a względem parametru $T$ ... transformaty Laplace'a uciętych wahań w górę lub w dół. Jako zastosowanie tej formuły podam uniwersalne oszacowania wartości oczekiwanej uciętych wahań w górę lub w dół, za pomocą których można zaobserwować zmiany wartości oczekiwanej przy zmianie wielkości parametru odcięcia $c,$ przypominające   przemianę fazową. Podam również dokładne formuły na wartość oczekiwaną za pomocą tzw. funkcji theta argumentu urojonego. Wspomnę również o rozkładach granicznych uciętych wahań w górę lub w dół, gdy parametr $c$ dąży do $0$ lub parametr $T$ dąży do nieskończoności.

Przedstawię główne wyniki preprintu Romana Vershynina "Approximating the moments of marginals of high dimensional distributions", dotyczące warunków gwarantujących, że momenty ustalonego rzędu $p > 2$ funkcjonałów liniowych n-wymiarowego wektora losowego skoncentrowanego na kuli o promieniu $K\sqrt{n}$ są z dużym prawdopodobieńtwem dobrze aproksymowane przez ich naturalne estymatory oparte na próbce wielkości $O(n^{p/2})$. Wyniki te są próbą połączenia dwóch twierdzeń, rezultatu M. Rudelsona i O. Guedona, mówiącego, że przy najsłabszych możliwych założeniach, aproksymacja jednostajna na sferze jednostkowej wymaga próbki wielkości $Cn^{p/2}\log n$, przy czym czynnika logarytmicznego nie można usunąć oraz wyniku Adamczaka, Litvaka, Pajora i Tomczak-Jaegermann, mówiącego, że przy założeniu jednostajnej wykładniczej całkowalności funkcjonałów, do aproksymacji wystarczy próbka wielkości $Cn^{p/2}$.

Celem odczytu będzie przegląd nierówności (z optymalnymi stałymi) dla semimartyngałów przy założeniu silnej dominacji i ortogonalności. Oszacowania te ściśle wiążą się z nierównościami dla funkcji harmonicznie sprzężonych na dysku jednostkowym i ogólniej, gładkich funkcji na obszarach R^n przy dodatkowym założeniu dotyczącym gradientów. Szczególnie będzie nas interesować przypadek gdy dominujący proces jest nieujemnym podmartyngałem: wykażemy nierówności między p-tymi momentami oraz wskażemy przeszkody jakie pojawiają się przy próbach dowodu nierówności słabego typu.

Więcej informacji: http://www.impan.pl//Biuletyn/st8bp0.pdf

Więcej informacji: http://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/sem.html