Seminarium Zakładu Rachunku Prawdopodobieństwa

[miejsce na krótki opis seminarium]

Prowadzi: Stanisław Kwapień

2009-06-04, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

O pewnych nowych nierównościach martyngałowych

Załóżmy, iż X, Y są martyngałami z czasem ciągłym, takimi, że Y jest silnie dominowany przez X. Celem odczytu jest przedstawienie pewnych nowych oszacowań maksymalnych oraz logarytmicznych, wiążących X oraz Y.

2009-05-28, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Własności losowe operatorów na przestrzeniach Banacha

Zamierzam omówić kilka problemów związanych z operatorami na przestrzeniach Banacha. Głowną motywacją jest pytanie czy dla podzbioru odcinka $T\subset [0,1]$ z metryką $d(s,t)=\sqrt{|s-t|}$ prawdą jest że z ograniczoności wszystkich procesów o przyrostach ortogonalnych wynika ograniczoność procesów o przyrostach ograniczonych wg. metryki d.

2009-05-21, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Bartłomiej Dyda (Politechnika Wrocławska)

O inkluzji pomiędzy pewnymi przestrzeniami Lip(\alpha,p,q) oraz L_{p,q*} na d-zbiorach

Podamy pewne twierdzenie typu Sobolewa: jeśli funkcja f z L^p spełnia pewien warunek gładkosci (konkretnie, różnica |f(x)-f(y)|^p jest całkowalna na FxF względem miary |x-y|^{-d-p\alpha} \mu(dx) \mu(dy)), to funkcja f należy do przestrzeni L^{p*}, gdzie p* = pd/(d-p\alpha) > p. Podamy tez wersje tego twierdzenia dla ogólniejszych przestrzeni funkcyjnych. Pokażemy rownież fragment elementarnego dowodu takiego twierdzenia.

2009-05-14, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Tomasz Schreiber (Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu)

Wielokątne pola Markowa

Wielokątne pola Markowa, skonstruowane pierwotnie przez Araka, Surgailisa i Clifforda, to określone w formalizmie gibbsowskim losowe rodziny nietnących się konturów na płaszczyźnie, posiadające liczne cechy wspólne z klasycznym dwuwymiarowym modelem Isinga. Ze względu na całkowicie ciągły charakter pola wielokątne dopuszczają naturalne zastosowania w analizie i segmentacji obrazów cyfrowych, gdzie mogą realizować wiekszość zadan tradycyjnie rezerwowanych dla kratowych pól Markowa, jednak bez kłopotliwych artefaktów kratowych (wspólna praca z Kluszczyńskim i van Lieshout). Ważnym kierunkiem w badaniach nad polami wielokątnymi, zapoczątkowanym już we wczesnych pracach Araka i Surgailisa, jest rozwijanie konstrukcji graficznych oraz wyprowadzanie z nich jawnych wzorów dla charakterystyk numerycznych tych procesów, w szczególności w jawny sposób scharakteryzowana została struktura drugiego rzędu takich pól. Celem referatu będzie opisanie nowych narzędzi teoretycznych i konstrukcji graficznych dających bezpośredni wgląd w geometrie korelacji wyższego rzędu dla pól wielokątnych. W szczególności wykażemy relację dualności pomiędzy wyższymi funkcjami korelacyjnymi pól Markowa a pewnym obiektem geometrycznym, nazwanym "pajęczyną wielokątna", powstającym jako suma oddziałujących krytycznych wielokątnych procesów gałązkowych. Uzyskana reprezentacja probabilistyczna dla wyższych funkcji korelacyjnych pól wielokątnych pozwala w naturalny sposób interpretować ich kluczowe własności (m.in. wykładniczą asymptotyczną faktoryzację).

2009-05-07, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Logarytmiczne oszacowanie dla zastopowanej średnicy ruchu Browna

Średnicą ruchu Browna nazywamy proces D, który w chwili t przyjmuje wartość równą różnicy maksimum i minimum do chwili t: D_t=max_{s<t}B_s - min_{s<t} B_s. Dubins, Gilat i Meilijson (2008), korzystając z teorii optymalnego stopowania, uzyskali wynik porównujący średnicę z ruchem Browna: jeśli r jest momentem zatrzymania względem naturalnej filtracji, to stosunek pierwszego momentu D_r do wariancji B_r szacuje się z góry przez \sqrt{3}. Co więcej, oszacowanie to jest optymalne. W trakcie odczytu zajmiemy się pokrewnym problemem i podamy logarytmiczne oszacowanie na pierwszy moment D_r. Nierówność przenosi się na przypadek dowolnego martyngału rzeczywistego należącego do L^p przy pewnym p>1.

2009-04-30, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Hitczenko (Drexel University)

Przenormowywanie rozbieżnych perpetuit

Rozważany będzie ciąg zmiennych losowych (R_n) spełniających równanie R_n=Q_n+M_nR_{n-1},\quad n\ge 1, gdzie (Q_n,M_n) jest ciągiem niezależnych, identycznie rozłożonych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie (Q,M), R_ 0 jest dowolne i gdzie (Q_n,M_n) jest niezależne od R_{n_1}. W przypadku gdy (R_n) zbiegają według rozkładów, granica R, zwana perpetuitą, spełnia równanie R\stackrel d=Q+MR, i ma reprezentację R\stackrel d=\sum_{i=1}^\infty Q_i\prod_{j=1}^{i-1}M_i. Warunki gwarantujące zbieżność są znane i pochodzą w dużym stopniu od Kestena, w szczególności wiadomo, że do zbieżności wystarcza by E\ln|M|<0\quad\mbox{oraz}\quad E|\ln|Q|<\infty, natomiast gdy E\ln|M|\ge0 to zbieśności (poza trywialnymi sytuacjami) nie ma. W referacie rozważane będzie następujące pytanie: powiedzmy, ze ciąg (R_n) nie zbiega. Czy można znaleźć normalizację (jakąkolwiek) by przenormowany ciąg zbiegał do niezdegenerowanej granicy? Przy założeniu E\ln|M|\ge0 zidentifikowanych zostanie kilka przypadków gdzie okazało się to możliwe. Wyniki uzyskane są wspólnie z J. Wesołowskim (MiNI, Politechnika Warszawska).

2009-04-23, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Pelczar (Uniwersytet Jagielloński)

Mieszane przestrzenie Tsirelsona i ich rozszerzenia - część III

W roku 1991 T. Gowers i B. Maurey skonstruowali przestrzeń Banacha o małej algebrze operatorów - składającej się ze ściśle singularnych perturbacji wielokrotności identyczności. Punktem wyjściowym ich pracy była przestrzeń Th. Schlumprechta, który rozszerzył konstrukcję B. Tsirelsona z 1974 pierwszej znanej przestrzeni Banacha nie zawierającej żadnej z klasycznych przestrzeni l_p, 1<p<\infty, lub c_0. W następnych latach metoda Gowersa-Maureya dała początek teorii konstrukcji przestrzeni Banacha bazujących na odpowiednim doborze ''nasycających'' norm i delikatnego kodowania. Metoda ta jest bardzo skuteczna w konstrukcji przestrzeni o żądanych własnościach, często skrajnie od siebie odległych. Znakomitym osiągnięciem tej teorii jest wynik zaanonsowany przez S. Argyrosa i R. Haydona na Spring School 2008 w Pasekach (Czechy) - konstrukcja przestrzeni Banacha, na której każdy operator ograniczony jest zwartą perturbacją wielokrotności identyczności. Kurs zawiera krótki opis konstrukcji mieszanych przestrzeni Tsirelsona i związanych z nimi zagadnień. Następnie przedstawione zostanie konstrukcja rzeczywistej refleksywnej przestrzeni Banacha, w której każdy ograniczony operator jest postaci \lambda Id +S, gdzie \lambda\in\R oraz S jest operatorem ściśle singularnym. Kurs zakończy krótkie omówienie przykładów i kierunków rozwoju prezentowanej teorii. Wykłady dostępne bedą dla studentów starszych lat.

2009-04-22, godz. 14:15-15:45, s. 3160

Anna Pelczar (Uniwersytet Jagielloński)

Mieszane przestrzenie Tsirelsona i ich rozszerzenia - część II

W roku 1991 T. Gowers i B. Maurey skonstruowali przestrzeń Banacha o małej algebrze operatorów - składającej się ze ściśle singularnych perturbacji wielokrotności identyczności. Punktem wyjściowym ich pracy była przestrzeń Th. Schlumprechta, który rozszerzył konstrukcję B. Tsirelsona z 1974 pierwszej znanej przestrzeni Banacha nie zawierającej żadnej z klasycznych przestrzeni l_p, 1<p<\infty, lub c_0. W następnych latach metoda Gowersa-Maureya dała początek teorii konstrukcji przestrzeni Banacha bazujących na odpowiednim doborze ''nasycających'' norm i delikatnego kodowania. Metoda ta jest bardzo skuteczna w konstrukcji przestrzeni o żądanych własnościach, często skrajnie od siebie odległych. Znakomitym osiągnięciem tej teorii jest wynik zaanonsowany przez S. Argyrosa i R. Haydona na Spring School 2008 w Pasekach (Czechy) - konstrukcja przestrzeni Banacha, na której każdy operator ograniczony jest zwartą perturbacją wielokrotności identyczności. Kurs zawiera krótki opis konstrukcji mieszanych przestrzeni Tsirelsona i związanych z nimi zagadnień. Następnie przedstawione zostanie konstrukcja rzeczywistej refleksywnej przestrzeni Banacha, w której każdy ograniczony operator jest postaci \lambda Id +S, gdzie \lambda\in\R oraz S jest operatorem ściśle singularnym. Kurs zakończy krótkie omówienie przykładów i kierunków rozwoju prezentowanej teorii. Wykłady dostępne bedą dla studentów starszych lat.

2009-04-16, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Piotr Nayar (Uniwersytet Warszawski)

Funkcje harmoniczne na kracie Z^d.

Powiemy, że funkcja f określona na kracie Z^d jest harmoniczna, jeśli jej wartość w dowolnym punkcie jest średnią arytmetyczną wartości w 2d punktach sąsiednich. Udowodnimy elementarnie, że każda nieujemna funkcja harmoniczna jest stała. Następnie pokażemy silniejsze twierdzenie: każda funkcja harmoniczna ograniczona z dołu przez wielomian jest wielomianem. Wykorzystamy własnosci półgrupy poissonowskiej \phi_t(f)(x) = E f(x + X_1 e_1+ ... + X_d e_d ), gdzie X_1,... X_d sa niezależnymi symetryzacjami zmiennej losowej o rozkładzie Poiss(t).

2009-04-02, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Maciej Obremski (Uniwersytet Warszawski)

Optymalne dolne ograniczenie w L_1 dla martyngałów i submartyngałów

Odczyt będzie oparty na pracy Lutza Mattnera i Uwe Roslera "Optimal L_1-bounds for submartingales". Rozważymy zmienne losowe X_1, ..., X_n takie, że S_n=X_1+...+X_n jest martyngałem(submartyngałem). Wskażę optymalna funkcję f dla której zachodzi E|S_n| \geq f(E|X_1|, E|X_2|,...,E|X_n|).

2009-03-26, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność maksymalna dla martyngałów i nieujemnych podmartyngałów

Celem odczytu jest udowodnienie pewnych nierówności dla (pod-)martyngałów i procesów przez nie dominowanych. Ściślej, załóżmy, że f, g są martyngałami i g jest silnie dominowany przez f. Wówczas, dla p>=2, ||sup g||_p <= p ||f||_p i stała p jest optymalna. Jeśli 0<=alfa<=1, f jest nieujemnym podmartyngałem i g jest alfa-bardzo silnie dominowany przez f, to dla p>=2 ||sup g||_p <=(alfa+1)p ||f||_p i stała alfa+1 jest optymalna. Otrzymane wyniki uogólniają się w naturalny sposób na przypadek całek stochastycznych względem (pod-)martyngałów. Dowód opiera się na metodzie Burkholdera - konstrukcji pewnej funkcji specjalnej.

2009-03-19, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Piotr Miłoś (Uniwersytet Warszawski)

Mocne prawo wielkich liczb dla nadkrytycznych układów cząstek

W referacie przedstawię wyniki z pracy: "Strong Law of Large Numbers for branching diffusions". Głównym jej wynikiem jest mocne prawo wielkich liczb dla pewnej klasy układów cząstek z rozgałęzianiem nadkrytycznym. Autorzy rozważają przypadek układów, w którym cząstki poruszają się zgodnie z procesem dyfuzji (na pewnym obszarze R^d). Okazuje się, że kluczowe znaczenie dla zachowania układu mają własności spektralne operatora infinitezymalnego procesu dyfuzji. W drugiej części referatu mam nadzieję przedstawić dowód, ze szczególnym naciskiem na użyte metody - tzw. spine methods. Są one ciekawe, gdyż pozwalają "konstruować" przejrzyste, czysto probabilistyczne dowody.

2009-03-12, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Mateusz Kwaśnicki (Politechnika Wrocławska)

Własności spektralne półgrup przejścia zabitego procesu Cauchy'ego na półprostej i odcinku

Przedstawione zostaną uzyskane wraz z T. Kulczyckim wyniki dotyczące funkcji i wartości własnych półgrupy przejścia jednowymiarowego procesu Cauchy'ego zabitego przy wyjściu z półprostej lub odcinka. W pierwszym przypadku spektrum tej półgrupy jest ciągłe, lecz istnieją ograniczone i ciągłe funkcje własne. Zostaną one wyrażone jawnym wzórem w postaci sumy sinusa i funkcji całkowicie monotonicznej. W ten sposób można uzyskać jawny wzór na gęstość prawdopodobieństwa przejścia procesu zabitego oraz reprezentację spektralną jego półgrupy przejścia. Półgrupa procesu zabitego przy wyjściu z odcinka ma dyskretne spektrum. Korzystając z jawnych wzorów opisanych powyżej, można skonstruować przybliżenia funkcji własnych na odcinku. W ten sposób uzyskuje się asymptotykę wartości własnych, ich jednokrotność oraz jednostajne oszacowania funkcji własnych.

2009-03-05, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Talarczyk (Uniwersytet Warszawski)

Funkcjonalne centralne twierdzenie graniczne dla czasu przebywania procesu stabilnego.

Rozważamy procesy postaci Y_T(t)= T^{-1/2} \int_0^{Tt} f(X_s)ds, gdzie X jest symetrycznym procesem alfa-stabilnym, a f - transformatą Fouriera skończonej, symetrycznej, dyskretnej miary zespolonej m. Przy pewnych dodatkowych założeniach na miarę m, spełnionych np. gdy f jest wielomianem trygonometrycznym, pokazujemy, że jeśli T dąży do nieskończoności, to procesy Y_T zbiegają, wg. rozkładu w przestrzeni funkcji ciągłych do procesu Wienera wymnożonego przez stałą zależną od f i alfa.

2009-02-26, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Optymalne oszacowania dla funkcji kwadratowej warunkowo symetrycznego martyngału

Odczyt będzie poświęcony przeglądowi nierówności dla funkcji kwadratowej S(M) warunkowo symetrycznego martyngału M. Wyznaczymy najlepsze stałe w nierówności słabego typu (1,1) oraz optymalne oszacowanie z góry na moment ilorazu M^p/(1+S^2(M))^q, przy pewnych założeniach dotyczących p,q. Ostatni wynik stanowi uogólnienie pewnego problemu optymalnego stopowania, rozważanego przez Pedersena i Peskira.

2009-02-19, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Aproksymacja gaussowska momentów sum niezależnych zmiennych losowych z logarytmicznie wklęsłymi ogonami

Zajmiemy się problemem aproksymacji momentów zmiennych postaci S=\sum_i a_iX_i, gdzie X_i są niezależnymi, symetrycznymi zmiennymi losowymi o wariancji 1, z logarytmicznie wklęsłymi ogonami. Dwustronne oszacowania momentów S zostały znalezione przez Głuskina i Kwapienia, w odczycie pokażemy jak można je polepszyć - w szczególności wykażemy, że dla współczynników rzędu o(1/p) są bliskie momentom zmiennych gaussowskich.

2009-01-22, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Zbigniew Palmowski (Uniwersytet Wrocławski)

Faktoryzacja Wienera-Hopfa: od błądzenia losowego do procesu Markowsko Addytywnego

W referacie zostanie omówiona metoda dowodu faktoryzacji Wienera-Hopfa oparta o teorię wycieczek i zapoczątkowana w pracy Greenwooda i Pitmana (1980). Przedstawimy także dowód formuły Kendalla i innych tożsamości z nią związanych. Skupimy się na nowych twierdzeniach uzyskanych dla procesów Markowsko-Addytywnych.

2009-01-15, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (Uniwersytet Warszawski)

Macierze losowe o niezależnych, logarytmicznie wklęsłych wierszach

Zamierzam przedstawić niedawne wyniki uzyskane wspólnie z A. Litvakiem, A. Pajor i N. Tomczak-Jaegermann, dot. macierzy losowej $A$, której wiersze są niezależne o rozkładzie logarytmicznie wklęsłym, izotropowym. Przedstawię optymalne oszacowanie normy operatorowej macierzy $A$ oraz wykażę, że dla $\varepsilon \in (0,1)$, jeśli $N \ge C(\varepsilon)n$, gdzie $N,n$ -- odp. liczba wierszy i kolumn $A$, to $A$ stanowi $1+\varepsilon$ izometryczne włożenie przestrzeni $\R^n$ w $\R^N$. Wynik ten jest odpowiedzią na pytanie postawione w 1997 r. przez Kannana, Lovasza i Simonovitsa i ma zastosowanie w badaniu złożoności algorytmów Monte-Carlo obliczających objętość wysokowymiarowych zbiorów wypukłych. Jeśli czas pozwoli, wspomnę również o wynikach dot. zachowania najmniejszej wartości singularnej $A$ w przypadku $N= n$ (wynik wspólny z ww. autorami oraz O. Guedon) oraz o zachowaniu rozkładu empirycznego wartości singularnych $A$ dla $N/n \to c > 1$ (Tw. Pajora-Pastura).

2008-12-18, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Hitczenko (Drexel University)

Ogony perpetuit losowych

W referacie przedstawiony zostanie szkic dowodu wyników dotyczących asymptotycznego zachowania logarytmów prawdopodobieństw ogonów perpetuit losowych. Wyniki te uzyskane zostały wspólnie z Jackiem Wesołowskim, były przedstawione (bez dowodów) na X Konferencji z Probabilistyki w Będlewie i zostaną, rzecz jasna, przypomniane.

2008-12-11, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Mariusz Bieniek (UMCS)

Istnienie i rozkład stacjonarny procesu typu Flemminga-Viota

Proces Flemminga-Viota składa się z ustalonej liczby N niezależnych ruchów Browna poruszających się w ograniczonym obszarze D d-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W chwili, gdy jedna z cząstek dotrze do brzegu obszaru D, przeskakuje ona na miejsce jednej z pozostałych cząstek, wybranej losowo. Od tej chwili cząstki znowu poruszaja sie jak N niezależnych ruchów Browna, aż do momemtu, gdy jedna z nich dotrze do brzegu. Przeskakuje ona na miejsce innej losowo wybranej cząstki, i dalsza ewolucja procesu przebiega w ten sam sposób. Podstawowy problem związany z tym procesem, to wykazanie, że jest on dobrze określony, tzn. że czasy skoków procesu są rozbieżne do nieskończoności. Pokażemy, że jest to prawda dla wszystkich obszarów D lipschitzowskich, których stała jest ograniczona z góry przez pewną stałą zależną tylko od wymiaru przestrzeni. Drugi problem z rozważanych problemów to istnienie rozkładu stacjonarnego dla takiego procesu. Wykażemy, że w obszarach lipschitzowskich proces Flemminga-Viota ma rozkład stacjonarny, o ile liczba cząstek N jest dostatecznie duża.

2008-12-04, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Uwagi o decompozycji Hoeffdinga w przestrzeniach L_p.

Pokażemy, że projekcja Hoeffdinga z L_2 na kanoniczne statystyki rzędu d jest także projekcją w L_p dla 1<p<\infty. Przekażemy też pewne uwagi Peccatiego o uogólnieniach tej projekcji w L_2 na przypadek gdy zmienne losowe nie są niezależne lecz tylko wymienialne

2008-11-27, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Mark Rudelson (University of Missouri, Columbia)

Invertibility of random matrices (part 3)

Prof. Mark Rudelson wygłosi w Warszawie cykl trzech wykładów dot. odwracalności macierzy losowych. O stałej porze seminarium Zakładu Rachunku Prawdopodobieństwa odbędzie się trzeci wykład. Poprzednie wykłady: wtorek 25.11, godz. 15.00 w ramach Seminarium z Analizy Funkcjonalnej IMPAN, na ul. Sniadeckich 8, sala im W. Sierpinskiego; środa 26.11 godz. 14.15 na Wydziale MIMUW w sali 5840; Więcej informacji: http://www.impan.pl//Biuletyn/st8bp0.pdf

2008-11-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Katarzyna Pietruska-Pałuba (Uniwersytet Warszawski)

Charakteryzacja probabilistyczna przestrzeni Lipschitza-Biesowa na przestrzeniach metrycznych

W odczycie zostanie omówiony sposób charakteryzacji przestrzeni Lipschitza-Biesowa Lip(\alpha,p,q) (\alpha>0, p,q\in [1,\infty]) dla takich przestrzeni metrycznych, na których istnieje dyfuzja o funkcji przejścia spełniającej oszacowania eksponencjalne typu (sub-)gaussowskiego. Dotychczas charakteryzacja taka była znana dla p=2, q=2 lub p=2, q=\infty.

2008-11-13, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Miary majoryzujące na przestrzeniach metrycznych.

W referacie zamierzam odnieść się do problemu zarysowanego przez Paszkiewicza i Olejnika: czy jeśli każdy proces o przyrostach ograniczonych ma prawie na pewno ograniczone trajektorie to na przestrzeni metrycznej musi istnieć miara majoryzująca. Zamierzam udowodnić, że jeśli tylko na zwartej przestrzeni metrycznej $(T,d)$ zmodyfikujemy metrykę za pomocą funkcji wklęsłej spełniającej odpowiednie warunki (np. weźmiemy $d^{1/p}$, $p>1$) wówczas odpowiedź na postawione pytanie jest pozytywna.

2008-11-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności Poincare względem metryk nieeuklidesowych (wg Gozlana)

Referat będzie poświęcony omówieniu niedawnych wyników Gozlana. Zaproponował on rozważenie nierówności Poincare względem pewnej klasy metryk nieuklidesowych na R^n. Takie nierówności okazują się być równoważne klasycznym nierównościom Poincare względem zmienionej miary, co pozwala na uzyskanie zgrabnych warunków dostatecznych. Ponadto mają własność tensoryzacji i implikują koncentrację dwupoziomową Talagranda. Pokazane będą też związki z innymi nierównościami funkcyjnymi.

2008-10-30, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (Uniwersytet Warszawski)

Losowe macierze Toeplitza

Klasyczna teoria macierzy losowych zajmuje się macierzami ogólnej postaci lub macierzami samosprzężonymi. W 1999 r. Bai zaproponował badanie macierzy posiadających dodatkową strukturę i pochodzących z niskowymiarowych podprzestrzeni przestrzeni macierzy, w szczególności macierzy Toeplitza i blisko z nimi związanych macierzy Hankela. Kilka lat temu Bryc, Dembo i Jiang oraz niezależnie Hammond i Miller udowodnili odpowiednik twierdzenia Wignera, znajdując asymptotyczny rozkład spektralny tego typu macierzy. Okazuje się, że w przeciwieństwie do przypadku wignerowskiego, miara graniczna ma nośnik nieograniczony. Sugeruje to, że także inne charakterystyki tego typu macierzy zachowują się odmiennie niż w przypadku klasycznym. W referacie przedstawię pokrótce wspomniane wyniki dot. miary spektralnej macierzy Toeplitza, a następnie skoncentruję się na asymptotyce ich normy operatorowej, zarówno w średniej (wyniki Meckesa, w szczególnych przypadkach uzyskane wcześniej w nieopublikowanej pracy Bednorza) oraz prawie na pewno (wyniki własne). Wspomnę też o kilku interesujących problemach otwartych.

2008-10-23, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

O pewnych nierównościach maksymalnych dla martyngałów

Celem odczytu jest zaprezentowanie pewnych maksymalnych nierówności momentowych dla martyngału, jego funkcji kwadratowej oraz jego transformat. Stanowią one pewne rozszerzenia nierówności badanych przez Burkholdera i Davisa.

2008-10-16, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Wolff (Case Western Reserve University)

Nierówności Poincaré dla miar nie-produktowych

Dla danej miary probabilistycznej $\mu$ na prostej, przez $\mu^{n|\rho}$ oznaczmy miarę $\mu^{\otimes n}$ obciętą do hiperpłaszczyzny $x_1 + \cdots + x_n = n \rho$. Takie miary pojawiają się w modelowaniu "systemów spinowych" z prawem zachowania, których dynamika (np. tempo zbieżności do miary stacjonarnej) może być badana przy pomocy nierówności Poincar\'e dla miary $\mu^{n|\rho}$. Omówimy problem optymalnej stałej w nierówności Poincar\'e dla $\mu^{n|\rho}$ w przypadku, gdy 1-wymiarowa miara $\mu$ pochodzi: - z pewnej szerokiej klasy rozkładów subgaussowskich (za P. Caputo), - z pewnej szczególnej klasy rozkładów log-wklęsłych (ze wspólnej pracy z F. Barthe).

2008-10-09, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Paszkiewicz i Jakub Olejnik (Uniwersytet Łódzki)

Pewien warunek na ciągłość procesow o przyrostach ograniczonych, o przyrostach ortogonalnych; istnienie miar majoryzujących

Rozważmy skończony podzbiór $A$ odcinka $[0,1]$ z odległością $d(s,t)=|s-t|^{1/p}$ oraz wszystkie procesy $X(t)$, $t\in A$, o ograniczonych przyrostach w sensie $\|X(s)-X(t)\|_p\leq d(s,t)$. Okazuje się, że wielkości $$ M(A) := E( \sup_X |\max_{t\in A} X(t)| ) $$, $$ \mathbf{M}(A) := \sup\{ m(A); m \text{ - miara majoryzująca dla } (A,d)\} $$ oraz wartości pewnych charakterystyk geometrycznych zbioru $A$ są tego samego rzędu. Związane z tym faktem zostaną pewne twierdzenia charakteryzujące ciągłość procesów o ograniczonych przyrostach i procesów o przyrostach ortogonalnych. Szereg pojęć i lematów kombinatorycznych okazuje się niezbędny w dowodzie. Bibliografia [1] J. Olejnik, "On a characterization of a.e. continuous processes in L^p-space", preprint Wydział Matematyki i Informatyki UŁ 2008/16 [2] A. Paszkiewicz, "On complete characterization of coefficients of a.e. convergent orthogonal series", preprint Wydział Matematyki i Informatyki UŁ 2008/03 [3] A. Paszkiewicz, "On complete characterization of coefficients of a.e. convergent orthogonal series and on majorizing measures", preprint Wydział Matematyki i Informatyki UŁ 2008/05

2008-06-05, godz. 12:15-13:45, s. 5850

prof. dr hab. Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Miary majoryzujące dla podzbiorów odcinka [0,1] z metryką d(x,y)=|x-y|^a, a<=1

W trakcie odczytu zostaną omówione ostattnie wyniki prof. Paszkiewicza i prof. Olejniczaka dotyczące miar majoryzujących na odcinku [0,1].

2008-05-15, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Talarczyk (Uniwersytet Warszawski)

O lokalnym ginięciu układów cząstek z rozgałęzianiem

Początkowa konfiguracja cząstek w R^d zadana jest przez miarę losową Poissona z miarą intensywności dx/(1+|x|^\gamma), \gamma \ge 0. Cząstki poruszają się niezależnie od siebie ruchem Browna i podlegają krytycznemu gałązkowaniu typu 1+\beta, 0<\beta\le 1 (tj. funkcja tworząca rozkładu rozgałęziania jest postaci s+(1-s)^{1+\beta} /(1+\beta) ). Pokażemy, że gdy d< 2/\beta + \gamma, to układ cząstek prawie na pewno lokalnie ginie, tzn. dla dowolnego zbioru borelowskiego ograniczonego B, N_t(B) zbiega do zera p.n., gdy t dąży do nieskończoności, N_t jest procesem empirycznym układu. Dowód tego faktu opiera się na wyniku Iscoe dla odpowiedniego superprocesu.

2008-05-08, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

O 1-symetrycznych rozkładach logarytmicznie wklęsłych

Omówimy kilka uzyskanych w ostatnich latach wyników dla 1-symetrycznych miar logarytmicznie wklęsłych. Pokażemy jak wykorzystać oszacowania Bobkowa-Nazarowa do pokazania, że takie rozkłady są dominowane przez produktowy rozkład wykładniczy. Omówimy wynik Klartaga pokazujący optymalną (modulo czynnik logarytmiczny) szybkość zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym dla takich rozkładów i pokażemy jak E.Milman wyprowadził stąd oszacowania stałej Cheegera. Zakończymy odczyt przeglądem wybranych otwartych problemów.

2008-04-17, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności momentowe dla martyngałów silnie dominowanych

Celem odczytu jest wyznaczenie optymalnych stałych w nierównościach silnego typu (p,q) dla martyngałów silnie dominowanych. Udowodnimy także pewne logarytmiczne oszacowanie na pierwszy moment dominowanego martyngału.

2008-03-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Hitczenko (Drexel University)

Probabilistyczna analiza klasy WHT algorytmów

Transformata Walsha-Hadamarda (WHT) jest jedną z transformat używanych w przetwarzaniu sygnalów. Ponieważ zwykle obliczenia wykonywane są na dużej ilości danych, istotne jest by algorytmy używane do obliczeń były bliskie optymalnym. W związku z tym analizie WHT algortymów poświęcono pewną ilość badań naukowych. W referacie dyskutowana będzie probabilistyczna analiza jednego z aspektów (ilości instrukcji) klasy algorytmów używanych do obliczenia WHT. Algorytmy te oparte są na rekursywnej faktoryzacji macierzy WHT. W referacie przedstawione zostaną wyniki uzyskane dla modelu, w którym faktoryzacja wybierana jest losowo. Referat oparty jest na wspólnej pracy z J. Johnson (Computer Science, Drexel) i jego (byłym) studentem H.-J. Huang.

2008-03-13, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Katarzyna Pietruska-Pałuba (Uniwersytet Warszawski)

O nierówności Hardy'ego dla miary Gaussa

W odczycie zostanie omówiona nierówność Hardy'ego dla miary Gaussa, tak w ujęciu klasycznym, jak i przestrzeni Orlicza.

2008-03-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Krzysztof Oleszkiewicz (Uniwersytet Warszawski)

Warunek Eatona - ścisłe oszacowania ogonów sum niezależnych zmiennych losowych

Omówimy warunki konieczne i wystarczające do tego, by rzeczywista zmienna losowa X spełniała następujący warunek (Eatona): istnieje liczba dodatnia C taka, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n i dowolnych liczb rzeczywistych a_1, a_2, ..., a_n o sumie kwadratów równej 1 zachodzi nierówność P(|\sum_{k=1}^n a_kX_k|>=t)<=C P(|G|>=t), gdzie X_1, X_2, ... są niezależnymi kopiami X, a G jest zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.

2008-02-28, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność słabego typu dla silnie dominowanych martyngałów

Niech f będzie nieujemnym martyngałem, a g będzie martyngałem spełniającymi warunek |dg_n|<=|df_n| z prawdopodobieństwem 1, n=0,1,2,... . Celem odczytu będzie wyznaczenie optymalnych stałych C_p w nierównościach ||g||_{p,\infty}<=C_p||f||_p, -\infty<p<\infty.

2008-01-24, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Tadeusz Kulczycki (Politechnika Wrocławska)

O pewnym zagadnieniu z hydrodynamiki

Rozważmy drgania cieczy w nieskończonym kanale o stałym przekroju $W \subset \Rt$. Brzeg obszaru W składa się z 2 części: dolnej B (brzeg kanału) i górnej F będącej poziomym odcinkiem (wolna powierzchnia cieczy, zakładamy że F leży na osi 0x). Rozważamy wyłącznie dwuwymiarowe drgania cieczy w płaszczyznach równoległych do przekroju W. Niech u_n(x,y) będzie potencjałem prędkości cieczy (pomijamy tu czynnik zależny od czasu). Wtedy u_n spełnia następujące zagadnienie własne: \Delta u_n(x,y) = 0; x \in W, \frac{\partial u_n}{\partial y} (x,0) = - \nu_n u_n(x,0); (x,0) \in F. \frac{\partial u_n}{\partial \vec{n}} (x,y) = 0; (x,y) \in B. Powyższy problem jest klasycznym problemem w hydrodynamice badanym od wielu lat. Referat będzie dotyczył własności pierwszej nietrywialnej funkcji u_1 dla tego zagadnienia. Główna metoda rozumowania polega na uogólnieniu pewnych nierówności (udowodnionych przez G. Polya) pomiędzy wartościami własnymi dla problemu Dirichleta i problemu Neumanna.

2008-01-17, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania funkcji koncentracji Levy'ego (wg Friedlanda i Sodina)

Niech $S=a_1X_1+...+a_nX_n$, gdzie $X_i$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, a $a=(a_1,..,a_n)$ wektorem z $R^n$. Omówimy najnowsze wyniki Friedlanda i Sodina dotyczące oszacowań funkcji koncentracji Levy'ego $S$, tzn. funkcji $\sup_x \Pr(|S-x|\leq t)$. Wyniki te uogólniają wcześniejsze wyniki Rudelsona i Vershynina, a oszacowania są wyrażone w terminach aproksymacji diofantycznej wektora $a$.

2008-01-10, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Krzysztof Bogdan (Politechnika Wrocławska)

Procesy Levy'ego i mnożniki Fouriera

Planuję omówić metodę otrzymywania pewnych mnożnikow fourierowskich ograniczonych na Lp, 1<p<2008, przy pomocy nierówności martyngałowych Burkholdera-Wanga i rachunku stochastycznego dla skoków procesów Levy'ego.

2007-12-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jan Obłój (Imperial College London)

Rodzina nierówności p.p. dla czasu lokalnego z zastosowaniami w optymalnym stopowaniu.

Rozważamy nierówności (prawie pewne) postaci H(B_t)\leq M_t+ F(L_t), gdzie (B_t) jest ruchem Browna, (L_t) jego czasem lokalnym w zerze, (M_t) jest martyngałem a H,F są wypukłymi funkcjami. Nierówności sa optymalne, tzn. istnieje moment stopu T dla którego jest osiągana równość. W naszej perspektywie w nierówności widzimy 3 zmienne: H,F oraz rozkład B_T. Ustalając dwie z nich potrafimy znależć trzecią. Metodologia ma dwa główne zastosowania: - do rozwiązywania problemów optymalnego stopowania (ustalając F oraz H) - do wyceny i strategii zebezpieczania (hedge) instrumentów pochodnych z wypłatą zależną od czasu lokalnego (ustalając F oraz rozkład B_T) Referat oparty na wspólnej pracy z A. Cox oraz D. Hobson.

2007-12-13, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Piotr Miłoś (Uniwersytet Warszawski)

Fluktuacje czasu przebywania dla układu cząstek z rozgałęzianiem

Rozpatrujemy układ cząstek poruszających się ruchem \alpha-stabilnym w przestrzeni R^d. Cząstki w losowych momentach czasu dzielą się (bądź giną) zgodnie z prawem rozgałęziania. Interesującym obiektem związanym z takim układem jest tzw. czas przebywania, mówiący, ile cząstek przebywa w zadanym podzbiorze przestrzeni na odcinku czasu [0,t]. Asymptotyczna struktura tego procesu może być badana poprzez jego fluktuacje przy przeskalowaniu (przyspieszeniu) czasu. W referacie zostaną przedstawione wyniki otrzymane dla różnych parametrów systemu (tj. różnych parametrów \alpha, d i praw rozgałęziania). Zostaną one omówione w szerszym kontekście poprzez porównanie z innymi wynikami dotyczącymi tego tematu. Technicznie rzecz biorąc, pokazane będą twierdzenia dotyczące słabej zbieżności w przestrzeni ciągłych procesów z wartościami w przestrzeni dystrybucji temperowanych. Na deser jeśli wystarczy czasu pokażę pewne wyniki dla układów cząstek z imigracją.

2007-11-29, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności dla ograniczonych podmartyngałów

Niech f będzie podmartyngałem ograniczonym przez 1 oraz g będzie procesem \alpha-silnie dominowanym przez f. Przedstawię optymalne oszacowania z góry dla ogonów P(g^*>t) oraz dla sup_n EF(|g_n|), gdzie F jest niemalejącą funkcją wypukłą spełniającą pewne warunki wzrostu.

2007-11-22, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

W stronę hipotezy Bernoulliego

Przedstawimy pewien pomysł (skuteczny póki co tylko w bardzo ograniczonym zakresie parametrów) podejścia do dowodu hipotezy Bernoulliego, mówiącej, że proces rademacherowski jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest sumą procesu jednostajnie ograniczonego i procesu dominowanego przez ograniczony proces gaussowski.

2007-11-15, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Silna i $\alpha$-silna dominacja i wynikające z niej nierówności dla martyngałów i innych procesów

Celem odczytu jest przegląd nierówności dla martyngałów, podmartyngałów i nadmartyngałów oraz podporządkowanych im procesów. Otrzymane wyniki pociągają za sobą pewne oszacowania dla całek stochastycznych oraz pewne nierówności dla funkcji gładkich określonych na obszarach w $\mathbb{R}^n$.

2007-10-25, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowanie liczby przejść przez przedział dla średnich procesu stacjonarnego (wg Iwanowa)

Dla procesu stacjonarnego (X_n)_{n\geq 1} o wartościach rzeczywistych i przedziału [a,b] podamy oszacowania na prawdopodobieństwo Pr(U_[a,b](T_n)\geq k), gdzie T_n=(X_1+...+X_n)/n, zaś U_[a,b](z_n) oznacza liczbę przejść w górę ciągu liczbowego (z_n) przez predział [a,b]. Oszacowania te implikują natychmiast twierdzenie ergodyczne Birkhoffa.

2007-10-18, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności typu Brunna-Minkowskiego dla miar gaussowskich

Przedyskutujemy wyniki najnowszej pracy Gardnera i Zvavitcha "Gaussian Brunn-Minkowski inequalities", w której wykazano, że kanoniczna miara gaussowska gamma_n na R^n spełnia dualną nierówność Brunna-Minkowskiego. Omówimy też postawioną w pracy hipotezę, że dla gamma_n obciętej do klasy zbiorów wypukłych środkowosymetrycznych zachodzi nierówność typu Brunna Minkowskiego.

2007-10-11, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Krzysztof Oleszkiewicz (Uniwersytet Warszawski)

1. O pewnej własności rozkładu Cauchy'ego. 2. Ogony produktów niezależnnych zmiennych losowych.

1. Udowodnimy następujący fakt (który można znaleźć w nieco innej formie m.in. w pracy G. Letaca z 1977 roku): Jesli $X$ ma rozkład Cauchy'ego, czyli gęstość $\frac{1}{\pi(1+x^{2})},$ to zmienna losowa $\tan(aX)$ ma taki sam rozkład jak zmienna losowa $\frac{e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}X.$ 2. Niech $0<a<b<\infty.$ Udowodnimy, że niezależne zmienne losowe $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ takie, że $a \leq X_{i} \leq b$ prawie na pewno oraz $EX_{i}=1$ dla $i=1,2,\ldots, n$ spełniają nierówność $P(X_{1}X_{2}\ldots X_{n}>t) \leq Ct^{-1}(\ln t)^{-1/2}$ dla $t \geq 2,$ ze stałą $C$ zależącą tylko od $a$ i $b.$ Asymptotyka oszacowania przy $t \to \infty$ jest optymalna.

2007-10-04, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jan Obłój (Imperial College London)

Jeszcze o martyngałach Azemy Yora i zanurzeniach Skorochoda

2007-06-14, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Mark Rudelson (Unversity of Missouri)

Combinatorial dimension and its applications

2007-05-31, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Aproksymacja U-statystyk statystykami 1 rzędu

2007-05-17, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Wojbor Woyczynski (Case Western Reserve University)

Nieliniowe równania ewolucji z generatorami procesów Levy'ego

W odczycie podam fizyczne motywacje usprawiedliwiające wprowadzenie takich obiektów i dam przegląd wyników w tej dziedzinie w ciągu ostatnich paru lat. Twierdzenia o istnieniu, jednoznaczności i asymptotycznym zachowaniu sie rozwiązań , oraz problem równowagi miedzy członami dyfuzyjnymi i nieliniowymi będa przedstawione. Zagadnienia propagacji chaosu oraz ich zastosowanie do metod komputerowych bedą przedyskutowane w tym kontekście.

2007-05-10, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Wolff (Uniwersytet Warszawski)

O pewnej nierówności koncentracyjnej dla funkcji nielipschitzowskich

Standardowa nierówność koncentracyjna dla miary gaussowskiej na R^n mówi z grubsza, że funkcja f : R^n \to R o ograniczonym gradiencie jest na zbiorze dużej miary prawie stała (np. bliska swojej średniej lub mediany). Pokażę analog powyższego faktu, który będzie stwierdzał, że funkcja d wektorów gaussowskich, której pochodne wyższego rzędu są odpowiednio ograniczone, jest na zbiorze dużej miary bliska pewnej kombinacji liniowej funkcji zależnych od mniejszej liczby zmiennych.

2007-04-26, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności koncentracyjne ze splotem infimum, czyli czytając Maureya po 16 latach

W 1991 roku Bernard Maurey zdefiniował pewną klasę nierówności opartą o splot infimum i wykazał, że rozkład wykładniczy na prostej z funkcja kosztu postaci c min(|x|,x^2) spełnia tę nierówność. W połączeniu z własnością tensoryzacji posłużyło mu to do uzyskania prostego i eleganckiego dowodu dwupoziomowej koncentracji Talagranda dla produktu miar wykładniczych. W czasie odczytu przedyskutuję uogólnienie nierówności Maureya i pokażę jakie (potencjalnie nowe) nierówności koncentracyjne można przy jej pomocy otrzymać. Przedyskutuję też przykłady miar spełniające uogólnioną nierówność Maureya obejmujące produktowe miary logarytmicznie wklęsłe i parę prostych rozkładów nieproduktowych. Odczyt oparty jest na wynikach badan prowadzonych wspólnie z Jakubem Wojtaszczykiem.

2007-04-19, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Hitczenko (Uniwersytet Warszawski)

Rozkład graniczny ilości części w losowej partycji o częściach we właściwym podzbiorze liczb naturalnych.

Streszczenie: Przedstawione zostaną wyniki, uzyskane wspólnie z W. Goh, dotyczące granicznego rozkładu ilości części w losowej partycji liczby n, przy dodatkowym założeniu, że części są tylko z pewnego podzbioru liczb naturalnych. Gdy podzbiór ten jest odpowiednio regularny, otrzymuje się jawny wzór na gęstość. W kilku specjalnych przypadkach, otrzymane gęstości rozważane były wcześniej w innych kontekstach.

2007-04-12, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Are small sets explicitly small?

I aim to say a few words on the Talagrand's 'Small Set' problem. The idea comes when we do wonder how to bound an Empirical Process from above. One reason is of Gaussian type which is deeply understood via Talagrand's majorizing measure theorem. The other one is simply that Empirical Process can be small because its positive part can be very small. Last year Talagrand studied in depth possible ways to solve the problem (Positivity Conjecture) and I think it is worth learining what he can prove on it.

2007-03-29, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Sesja problemowa

2007-03-22, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Mark Veraar (IM PAN)

On Besov regularity of Brownian motions

We extend to the vector-valued situation some earlier work of Ciesielski and Roynette on the Besov regularity of the paths of the classical Brownian motion. We also consider a Brownian motion as a Besov space valued random variable. It turns out that a Brownian motion, in this interpretation, is a Gaussian random variable with some pathological properties. We prove estimates for the first moment of the Besov norm of a Brownian motion. To obtain such results we estimate expressions of the form $\E \sup_{n\geq 1}\|\xi_n\|$, where the $\xi_n$ are independent centered Gaussian random variables with values in a Banach space. Using isoperimetric inequalities we obtain two-sided inequalities in terms of the first moments and the weak variances of $\xi_n$.

2007-03-15, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Agnieszka Kałamajska (Uniwersytet Warszawski)

Miary Younga

Teoria miar Younga jest intensywnie rozwijającym sie w ostatnich latach działem analizy funkcjonalnej. Ogólnie mówiąc miary Younga służą do badania ciągów słabo zbieżnych. Stosuje sie je bardzo powszechnie w teorii optymalizacji, rachunku wariacyjnym, nieliniowych równaniach cząstkowych. Pozwalają bardzo sprawnie wytłumaczyć wiele klasycznych twierdzeń analizy funkcjonalnej. Pragnę przystępnie omówić tę teorie, jej rozwój, oraz motywacje do dalszych badań.

2007-03-08, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Katarzyna Pietruska-Pałuba (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności Gagliardo-Nirenberga dla miar gaussowskich

W referacie zostaną przedstawione wyniki, dotyczące nierówności Gagliardo-Nirenberga (są to pewne nierówności intepolacyjne) w normach Orlicza dla szerokiej klasy miar, zawierającej m.in. miary gaussowskie. Przedstawiane wyniki pochodzą z serii wspólnych prac z Agnieszką Kałamajską.

2007-02-26, godz. 14:15-15:45, s. 5840

Paweł Hitczenko

Stochastyczne własności tablic losowych permutacji

2007-01-18, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Talarczyk (Uniwersytet Warszawski)

O pewnych rozszerzeniach ulamkowego ruchu Browna oraz podulamkowego ruchu Browna

Przy badaniu granic fluktuacji czasu przebywania układów cząstek pojawiają się pewne rzeczywiste procesy gaussowskie będace rozszerzeniami ułlamkowego ruchu Browna oraz podułamkowego ruchu Browna. Omówię własności tych procesów.

2007-01-11, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Współczynniki ergodyczności dla geometrycznie ergodycznych łancuchów Markowa

Zamierzam przedstawić pomysł szacowania tempa zbieżnosci rozkładów łancucha Markowa spełniajacego warunki: dryfu, aperiodyczności i istnienia małego zbioru do rozkładu stacjonarnego. W szczególności wzmocnienie wyniku typu Twierdzenie Kendalla jako jedno z podstawowych narzedzi.

2006-12-21, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność Dooba dla nieprzemiennych martyngałów

Zajmiemy się maksymalnymi nierównościami martyngałowymi w przypadku nieprzemiennym. W szczegóności, będzie nas interesowała nierówność słabego typu (1,1), nierówności Dooba oraz nierówność typu LlogL.

2006-12-14, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (IM PAN)

Prawo iterowanego logarytmu dla $U$-statystyk w przestrzeniach Hilberta

Przedstawię otrzymane niedawno wspólnie z prof. R. Latałą wyniki dot. warunków koniecznych i dostatecznych na prawo iterowanego logarymu dla $U$-statystyk w ośrodkowych przestrzeniach Hilberta. W ramach wprowadzenia i dla porównania przypomnę także klasyczne wyniki nt prawa iterowanego logarytmu dla sum zmiennych i.i.d. w przestrzeniach Banacha.

2006-12-07, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jakub Wojtaszczyk (Uniwersytet Warszawski)

Centralne twierdzenie graniczne na ciałach wypukłych

Na swoim referacie omówię wyniki Boaza Klartaga dotyczące Centralnego Twierdzenia Granicznego dla ciał wypukłych. Klartag pokazuje, ze jeśli zmienna losowa X jednostajnie rozlożona na ciele wypuklym K w R^n ma średnia 0 i identycznosciowa macierz kowariancji, to dla zdecydowanej większości kierunków t z S^{n-1} rzut X na t (czyli zmienna <X,t>) ma rozkład w przybliżeniu normalny. Stad można wywnioskować, ze dla dowolnego ciała wypukłego K i przynajmniej jednego kierunku t rzut X na t ma rozkład w przybliżeniu normalny. Planuje naszkicować dowód tego wyniku.

2006-11-30, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Wolff (Uniwersytet Warszawski)

Charakteryzacja funkcjonałów mających własność tensoryzacji

Ważną własnością pewnych nierówności funkcyjnych dla miar probabilistycznych, np. nierówności Poincare czy logarytmicznej nierówności Sobolewa, jest tensoryzacja (prawdziwość nierówności dla pewnych miar implikuje jej prawdziwość dla produktu tych miar). Jest ona ściśle związana z wypukłością funkcjonału \Psi(Z) = E\phi(Z) - \phi(EZ) (funkcją \phi w przypadku nier. Poincare i Sobolewa jest odp. x^2 i x^2 log x), a równoważnie -- z nieujemnością jego drugiej iteracji: \Psi_2(Z) = E_2\Psi(Z) - \Psi(E_2 Z), gdzie Z jest określone na produkcie dwóch przestrzeni. Charakteryzacja powyższej własności w terminach funkcji \phi pochodzi od Latały i Oleszkiewicza. Naturalne jest pytanie o własności wyższych iteracji funkcjonału \Psi. Pokażemy m.in., że dla n>1 n-ta iteracja funkcjonału \Psi jest funkcjonałem wypukłym (równoważnie (n+1)-wsza iteracja \Psi jest nieujemna) wtw. gdy $\phi$ jest funkcją kwadratową.

2006-11-23, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

CLT dla stacjonarnych ciągów losowych według M. Maxwella i M. Woodroofe

Udowodnimy następujace Twierdzenie Maxwella, Woodroofe (Ann.of Prob. 2000): Niech ( X_n) stacjonarny, ciąg posiadający drugie momenty i średnie równe 0, Oznaczmy S_n = X_0 +...+ X_n oraz V_n = E(S_n|X_0) oraz ||Y|| = (EY^2)^{1/2}. Wówczas jeśli \sum_n n^{3/2} ||V_n|| jest skończona to ciąg S_n/n^{1/2} zbiega w-g rozkładu do N(0, \sigma ).

2006-11-09, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

CLT dla łańcuchów Markowa

W referacie zamierzam odnieść się do klasycznego problemu CLT dla geometrycznie ergodycznych łańcuchów Markowa. To znaczy czy przy odpowiednich założeniach dotyczących ergodyczności łańcucha, rozkładu granicznego oraz pewnej funkcji rzeczywistej $h$ można udowodnić, że rozkład $\sum^n_1 h(X_i)/n^{1/2}$ jest zbieżny do pewnego rozkładu normalnego. Zamierzam podać dowód starego twierdzenia Ibragimova Linnika za pomocą metody regeneracji oraz efektowny kontrprzykład znaleziony przez Haggstroma.

2006-10-26, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Ograniczoność pewnych mnożników fourierowskich w Lp

Niech X, Y beda martyngałami z czasem ciagłym, spełniającymi następujacy warunek: rożnica $[Y,Y]_t-[X,X]_t$ ich nawiasów kwadratowych jest niemalejacą funkcją czasu. Wówczas dla $1<p<\infty$ mamy $$ ||X||_p \leq (p^*-1) ||Y||_p,$$ gdzie $p^*=max{p,p/(p-1)}$. Okazuje się, iż podany wyżej wynik, w połączeniu z teorią procesów Levy'ego, można zastosować do badania ograniczoności w L_p pewnych mnożnikow Fourierowskich.

2006-10-19, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Tomasz Bojdecki (Uniwersytet Warszawski)

Granice czasów przebywania układów cząstek o dużej gęstości

Poprzednio były rozważane, i wielokrotnie referowane, granice fluktuacji "czasów przebywania" poissonowskich układów cząstek (z rozgałęzieniem lub bez). Okazuje się, że można rozszerzyć zakres zbieżności i otrzymać różne ciekawe procesy graniczne, gdy rozpatruje się układy o dużej gęstości, tzn. założy się, że poissonowska miara intensywności dąży do nieskończoności.

2006-10-12, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności silnego typu dla niekomutatywnych silnie dominowanych martyngałów

Zajmiemy sie nierównościami między normami Orlicza nieprzemiennych silnie dominowanych martyngałów. Dowód opiera się na metodzie Burkholdera i polega na konstrukcji pewnych specjalnych operatorów. Otrzymane wyniki dają pewne nowe nierówności dla nieprzemiennych transformat martyngałowych

2006-10-05, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Vaja Tarieladze

Random vectors inducing absolutely summing operators

It will be proved that given a random vector X in a Banach space F such that $E(x*(X)^2)^ \ c (E|x*(X)|)^2 $ for some $c$ and all $x* \in F*$ then the operator $T*:F* \goes L_2(\Omega)$ given by $T*x* = x*(X)$ is 1- absolutely summing.

2006-09-28, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Giovanni Peccati (Universite Pierre et Marie Curie, Paris)

Path-dependence and Chaos

The main lines of the theory of time-space chaos is describe. Hilbert space techniques are used te deal systematically with path -dependence in stochastic analysis.

2006-05-18, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność słabego typu dla transformat niekomutatywnych martyngałów

Okazuje się, iż metodę Burkholdera dowodzenia nierownóści dla przemiennych martyngałów daje się rozszerzyć na przypadek niekomutatywny. Używajac tej metody, dowodzimy nierówność słabego typu (1,1) dla martyngału i jego transformaty (transformujemy ciągiem ograniczonym co do normy przez 1 i spełniającym pewne dodatkowe warunki).

2006-05-11, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Piotr Miłoś (IM PAN)

Miary równowagowe dla układów gałązkowych. Procesy przebywania startujące ze stanu równowagi

Dla pewnych układów gałązkowych rozkład dąży słabo do stanu równowagi. W przypadku szczególnych układów (cząstki poruszają się ruchem \alpha-stabilnym, rozgałęzianie jest typu 1+\beta, startujących z układu Poissona) można pokazać warunki konieczne i dostateczne, dla których stan równowagi nie jest trywialny. Pokażę także twierdzenie pozwalające w pewnym stopniu rozszerzyć wyniki na układy startujące z innych rozkładów. Wreszcie zaprezentuję twierdzenia dotyczące granic procesów przebywania dla układów gałązkowych startujących ze stanów równowagowych.

2006-05-04, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności koncentracyjne na przestrzeni Poissona (wg Bretona, Houdrego i Privaulta)

Omówimy wyniki uzyskane niedawno przez Bretona, Houdrego i Privaulta. Najpierw przedstawimy bardzo ogólną nierówność koncentracyjną dla funkcjonałów na przestrzeni Poissona spełniających pewne warunki wzrostu. Następnie pokażemy jak z tej nierówności wyprowadzić szereg oszacowań na ogony norm nieskończenie podzielnych wektorów.

2006-04-27, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Grażyna Mazurkiewicz (Uniwersytet Zielonogórski)

O rozkładach (c,p)-pseudo-stabilnych

Definicja (c,p)-pseudo-stabilnych zmiennych losowych stanowi naturalne uogólnienie koncepcji K. Oleszkiewicza (Lecture Notes in Math. 2003) p-pseudo-stabilnych zmiennych losowych. Zapisana w języku funkcji charakterystycznych prowadzi do równania funkcyjnego. Zaprezentuje rozwiązanie powyższego równania będące wynikiem badań prowadzonych z prof. J. K. Misiewicz.

2006-04-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Metoda Burkholdera dowodzenia nierówności martyngałowych w niekomutatywnym rachunku prawdopodobieństwa

2006-04-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Alex Koldobsky (University of Missouri)

Embedding of normed spaces in $L_p, p< 0$.

If $0 < p\le 2$ and $(X_t)$ is a symmetric p-stable process then $T(f) = \int_0^1 f(t)dX_t$ is an isometric embedding of $L_p[0,1]$ into $L_q(\Omega)$ for each $ 0\le q < p\le 2$. We extend the concept of embedding of a normed space in $L_q$ to negative values of $q$ and show several applications to convex geometry.

2006-03-30, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (Polska Akademia Nauk)

Oszacowania momentów chaosów gaussowskich i U-statystyk - metoda kombinatoryczna (na podstawie prac P. Majora)

W referacie przedstawię metodę szacowania momentów chaosów wielomianowych, generowanych przez zmienne subgaussowskie, poprzez analizę odpowiednich diagramów Feynmana, oraz modyfikację tej metody, pozwalającą na uzyskanie pewnych oszacowań na momenty i ogony kanonicznych U-statystyk.

2006-03-23, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Manfred Denker (Georg-August-Universitaet Goettingen)

Some new results on local limit theorems with an addendum: On the positions of the maximum of the simple symmetric random walk

The topic is two-fold. We first recall the notion of local limit theorems and show how a multinomial local limit theorem generalizes the Black-Scholes formula. Secondly we introduce the concept of almost sure local limit theorems and prove such a result for Bernoulli processes, thus extending the deMoivre-Laplace theorem to the category of a.s. limit theorems. An application yields new methods of quantile estimation in statistics. In the second part of the talk we will consider $X_n$ - i.i.d. random variables with $P(X_1=1)=P(X_1=-1)=1/2$ and $S_n$ -- the partial sums form the random walk mentioned in the title. We derive some (apparently new) observations concerning the positions of the maximum of the random walk up to time $n$.

2006-03-16, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

O hipotezie Bernoulliego czyli jak zarobić 5000$

Przedyskutujemy tzw. hipotezę Bernoulliego mówiącą, że pewne naturalne warunki implikujące ograniczoność procesu rademacherowskiego są również warunkami koniecznymi. Przedstawimy jedną z jej równoważnych form i przypomnimy dwa otwarte problemy, które możnaby rozwiązać za jej pomocą. Pokażemy również, że hipoteza Bernoulliego zachodzi w pewnym bardzo szczególnym przypadku ("rzadkiego" zbioru indeksów).

2006-03-09, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Aproksymacja w przestrzeniach L_p - kontynuacja

2006/03/02, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Aproksymacja w przestrzeniach L_p

Będziemy aproksymować klasę funkcji w przestrzeni $L_p$ wybierając najpierw bazę $B$, a następnie stosując $n$-wyrazowe aproksymacje. Najlepszą bazę wybierać będziemy spośród wszystkich baz zachłannych, to znaczy demokratycznych i bezwarunkowych baz dla przestrzeni $L_p$. Pokażemy, ze jeśli klasa funkcji $\ccF$ jest dobrze zorientowana według szczególnej bazy $B$ wówczas, w odpowiednim sensie, ta baza jest najlepsza dla tego rodzaju aproksymacji. Uzyskane wyniki istotnie wzmacniają wyniki uzyskane przez De Vore, Petrowa i Temlyakowa w 2002 roku.

2006-02-23, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Jeszcze raz o oszacowaniach momentów i ogonów sum niezależnych zmiennych losowych.

W referacie podamy pewne uproszczenia dowodów znanych twierdzeń R. Latały, P. Hitczenki i S. Montgomerego-Smitha dotyczących oszacowań momentów i ogonów sum niezależnych zmiennych losowych. Są one oparte na wyniku M. Klassa i K. Nowickiego, któremu był poświecony pierwszy referat w ubiegłym semestrze.

2006-01-26, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jacek Wesołowski (Politechnika Warszawska)

Proces bi-q-Poissona jako przykład kwadratowego harnessu

Kwadratowy harness to proces stochastyczny, dla którego warunkowe wartości oczekiwane i warunkowe wariancje przy warunkowaniu łącznie względem przeszłości i przyszłości sa odpowiednio funkcjami: liniową i kwadratową, sąsiadów stanu warunkowanego. Omówiona będzie konstrukcja procesu bi-q-Poissona - kwadratowego harnessu, dla którego warunkowe wariancje względem przeszłości i warunkowe wariancje względem przeszłości są liniowe. Konstrukcja ta jest modelowa w tym sensie, ze wszystkie znane kwadratowe harnessy konstruuje się w analogiczny sposób. Polega ona na (1) wykazaniu, ze proces Markowa, dla którego pewna rodzina wielomianów jest martyngałowa i ortogonalna jest kwadratowym harnessem oraz (2) na konstrukcji takiego właśnie procesu Markowa przez określenie pewnych klas wielomianów ortogonalizowanych przez miary probabilistyczne tworzące rodzinę markowską.

2006-01-19, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (IM PAN)

Prawo iterowanego logarytmu dla U-statystyk - c.d.

2006/01/12, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (Polska Akademia Nauk)

Prawo iterowanego logarytmu dla U-statystyk

Przedstawię znalezione niedawno wspólnie z prof. Rafałem Latałą warunki konieczne i dostateczne na zachodzenie prawa iterowanego logarytmu dla kanonicznych U-statystyk dowolnego rzędu.

2006/01/05, godz. 12:15-13:45, s. 5850`

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Problem najlepszej stałej w nierówności Mienshowa-Rademachera.

Zamierzam przedstawić różne dowody nierówności Rademachera-Mienshowa systematycznie poprawiające oszacowanie na optymalną stałą w tej nierówności.

2005-12-08, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

O problemie Oleszkiewicza

Powiemy, ze zmienna wektorowa X (o wartościach w R^n lub ogólniej - ośrodkowej przestrzeni Banacha F) słabo dominuje zmienną Y, jeśli dla dowolnego funkcjonału f, ogony zmiennej f(Y) szacują się przez ogony zmiennej f(X). Krzysztof Oleszkiewicz postawił pytanie o znalezienie jak najszerszej klasy zmiennych dla których słaba dominacja implikuje porównywanie, ze stałymi nie zależącymi od wymiaru, średnich (bądź ogólniej ogonów) norm X i Y. W pierwszej części referatu pokażemy prosty przykład, że bez dodatkowych założeń implikacja jest fałszywa. W drugiej, korzystając z teorii miar majoryzujących, wykażemy pozytywny wynik, jeśli zmienna X należy do pewnej klasy rozkładów logarytmicznie wklęsłych obejmujących zmienne gaussowskie. Odczyt zakończymy prezentacją kilku otwartych problemów (z nagrodami sięgającymi 5000$).

2005-12-01, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jakub Onufry Wojtaszczyk (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności dla sum i maksimów sum zmiennych ujemnie stowarzyszonych oraz ich zastosowania

Przedstawię w swoim referacie pracę Qi-Man Shao pt. "A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables". Zmienne (X_i)_{i=1}^n nazywamy ujemnie stowarzyszonymi, jesli dla dowolnych rosnących funkcji f i g kowariancja f(X_{i1},X_{i2},...,X_{ik}) oraz g(X_{j1},X_{j2},...,X_{jl}) jest niedodatnia, gdzie zbiory indeksów i oraz j są rozłączne. Jest to własność, którą spełnia szereg różnych rozkładów, w szczególności zmienne jednostajnie rozłożone na kuli w l_p^n. W pracy pokazywana jest metoda przenoszenia wyników dla sum oraz maksimów sum zmiennych niezależnych na analogiczne wyniki dla ich ujemnie stowarzyszonych kopii. Poprzez dość proste rozumowania dostajemy narzędzia, które pozwalają na zmienne ujemnie stowarzyszone przenieść szereg nierówności dla zmiennych niezależnych. W szczególności pokażę pewien typ nierówności wykładniczej szacujący P(max |S_k| > x).

2005-11-24, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Krzysztof Oleszkiewicz (Uniwersytet Warszawski)

Uwagi o oszacowaniach momentów sum niezależnych zmiennych losowych

Podam bezpośredni i bardzo prosty dowód, że momenty [odp. ogony] sum rademacherowych o współczynnikach wektorowych wyrażaja się (z dokładnością do stałej multyplikatywnej) przez medianę (ew. równoważnie wartość oczekiwaną) i słabe momenty [odp. słabe ogony] tych sum. Natychmiast wynika stad np. nierówność Chinczyna-Kahane'a z optymalnym rzędem stałej. Wyniki nie są nowe, może ciekawsza jest za to sama metoda. Oprócz tego opowiem parę słów na temat koncentracji gaussowskiej funkcji lipschitzowskich z R^n w R^k (z normami euklidesowymi).

2005-11-17, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Wolff (Uniwersytet Warszawski)

Dyskretna analiza harmoniczna i hiperkontrakcja --- zastosowania do badania funkcji boolowskich

Rozważmy funkcję boolowską o $n$ zmiennych, tzn. $f \colon \{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$. Wyróżniamy jedną ze zmiennych, powiedzmy $x_i$, a na pozostałych kładziemy losowo (z rozkładem jednostajnym) i niezależnie wartości -1 lub 1. Teraz możliwe są dwie sytuacje: albo wynik funkcji zależy od tego, jaką wartość przypiszemy wyróżnionej zmiennej, albo nie. Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia będziemy nazywać wpływem zmiennej $x_i$ na wynik funkcji $f$. Pewien krąg zagadnień w teorii złożoności obliczeniowej sprowadza się do pytań na temat pewnych własności funkcji boolowskich, wyrażanych m.in. w terminach wielkości wpływu zmiennych tychże funkcji. W ramach referatu przedstawię wynik z pracy: Kahn, Kalai, Linial, "The influence of variables on boolean functions", kładąc główny nacisk na zaprezentowanie używanych w dowodzie narzędzi --- analizy harmonicznej na kostce dyskretnej i pewnej nierówności hiperkontrakcyjnej, wywodzącej się z klasycznej analizy harmonicznej.

2005-11-10, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Talarczyk (Uniwersytet Warszawski)

Twierdzenia graniczne dla fluktuacji procesu przebywania układów gałązkowych i własności procesów granicznych

Odczyt będzie związany z wynikami zaprezentowanymi w ubiegłym tygodniu. Zostaną przedstawione szkice niektórych dowodów. Rozważa się układ cząstek, którego stan początkowy dany jest przez miarę losową Poissona, cząstki poruszają się niezależnie standardowym ruchem alfa-stabilnym oraz podlegają gałązkowaniu typu 1+beta. Bada się granice fluktuacji procesu przebywania tego układu gdy przyśpiesza się czas.

2005-11-03, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Luis G. Gorostiza (Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados del IPN, Meksyk)

Occupation time fluctuations of some particle systems

2005-10-27, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów chaosów gaussowskich - część trzecia (ostatnia)

Odczyt będzie kontynuacją referatów z roku akademickiego 2004/05. Sformułowana wówczas hipoteza dotycząca szacowania momentów chaosów gaussowskich okazuje się być prawdziwa dla chaosów dowolnego rzędu. Omówiona będzie główna idea dowodu, oparta na szacowaniu norm pewnych losowych form wieloliniowych. Przedyskutowane będą też pewne zastosowania i potencjalne uogólnienia na chaosy generowane przez inne regularne zmienne losowe.

2005-10-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jakub Onufry Wojtaszczyk (Uniwersytet Warszawski)

Rodzaj Centralnego Twierdzenia Granicznego dla uogólnionych kul Orlicza

W referacie przedstawię nurt badań nad uogólnieniem Centralnego Twierdzenia Granicznego na przypadek zmiennych losowych będacych kolejnymi współrzędnymi wektora losowego o gęstości jednostajnie rozłożonej na wysokowymiarowym ciele wypukłym. W szczególności przedstawię wyniki pokazujące pewną formę Centralnego Twierdzenia Granicznego dla kul w l_p oraz w uogólnionych normach Orlicza.

2005-10-13, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Regularność trajektorii procesów stochastycznych

W referacie zamierzam przedstawić wyniki dotyczące badania regularności trajektorii ogólnych procesów stochastycznych (definiowanych na zwartej przestrzeni metrycznej). Zamierzam uogólnić wyniki otrzymane przez Kwapienia i Rosińskiego dla procesów o przyrostach typu gaussowskiego. W szczególności pokażę jak stosować metryki minoryzujące dla procesów, kiedy proces ma przyrosty wielomianowe.

2005-10-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność Klassa-Nowickiego - nowy dowód i nowe wnioski

W czasie krótkiego odczytu będzie przedstawiony nowy prosty dowód nierowności Klassa-Nowickiego dotyczącej sum niezależnych zmiennych losowych oraz wyprowadzone nowe wnioski (według pracy : Klass, Nowicki "An optimal bounds on the tail of the number of recurrences of an event in product spaces", Prob.Theory and Related Fields, 126 (2003) ).

2005-05-12, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Pewne uogólnienie nierówności Hoeffdinga

Celem odczytu jest przedstawienie kilku oszacowań dotyczących odchyleń martyngału poprzez odchylenia sum niezależnych zmiennych Bernoulliego, przy założeniu ograniczoności przyrostów martyngału.

2005-05-05, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Leszek Słonimski (Uniwersytet Mikołaja Kopernika)

Całka stochastyczna względem ułamkowego ruchu Browna

2005-04-28, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Katarzyna Pietruska Pałuba (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowanie funkcji przejścia dla pewnych procesów dyfuzyjnych

Odczyt dotyczy oszacowań dla funkcji przejścia dla pewnych procesów Markowa na przestrzeniach metrycznych i ich związków z dyfuzyjnością procesu. Podajemy warunki wystarczające na to, by rozważany proces był dyfuzją, a następnie dowodzimy, że słabsze początkowo oszacowania są w rzeczywistości oszacowaniami eksponencjalnymi typu gaussowskiego (choć z innymi potęgami).

2005-04-21, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (IMPAN)

Oszacowania momentów dla U-statystyk

W pierwszej części referatu przedstawię oszacowania momentów kanonicznych U-statystyk o wartościach w przestrzeniach Banacha przez wartości oczekiwane supremów pewnych procesów empirycznych, będące odpowiednikiem nierówności Borella oraz Arconesa, Gine dla chaosów gaussowskich. W kolejnej części pokażę w jaki sposób, korzystając z najnowszych wyników R. Latały dot. chaosów gaussowskich, uprościć te oszacowania dla U-statystyk rzeczywistych, zastępując wartości oczekiwane supremów procesów empirycznych przez wielkości "deterministyczne". Otrzymane wyniki są uogólnieniem na U-statystyki dowolnego rzędu nierówności Gine, Latały i Zinna i mogą być uważane za odpowiedniki nierówności Bernsteina dla sum niezależnych zmiennych losowych o średniej zero.

2005-04-14, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Ograniczoność ciągu całek stochastycznych

Podamy pewne warunki na ciąg funkcji deterministycznych zdefiniowanych na odcinku I = [0,1] dostateczne na to by ciąg ($\int_I f_n(t)dX(t)$ ) był p.n ograniczony.

2005-04-07, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

O pewnej nierówności Temliakowa dotyczącej symetrycznego schematu Bernoulliego.

Podamy wzmocnienie (z prostszym dowodem ) nierówności Temliakowa, a mianowicie pokażemy, że dla dowolnych $n,t>O$ oraz liczb rzeczywistych $\lambda_i$ zachodzi $P(|\sum_{i=1}^n \lambda_i\epsilon_i - 1/2|>t)> exp(-24nt - 6ln8)$$ gdzie $\epsilon_i$ - ciąg niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie : $P(\epsilon_i = 0) = P(\epsilon_i = 1) = 1/2$.

2005-03-31, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Łochowski (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów chaosów generowanych przez symetryczne zmienne losowe z logarytmicznie wklęsłymi ogonami

Podczas odczytu zostanie zaprezentowane uogólnienie na przypadek dowolnych zmiennych symetrycnych z logarytmicznie wklęsłymi ogonami wyników Arconesa i Gine dotyczących szacowania momentów chaosów gaussowskich. Podane zostaną również pewne oszacowania polegające na porównaniu z momentami chaosów rademacherowych.

2005-03-24, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jan Obłój (Uniwersytet Warszawski)

O pewnych rodzinach martyngałów, funkcji ruchu Browna i jego procesów maksimum, minimum oraz czasu lokalnego, oraz ich zastosowaniach.

Podczas referatu przedstawię pewne niedawne wyniki związane z martyngałami lokalnymi postaci: $H(M_t,S_t,I_t,L_t)$ gdzie M jest ciągłym martyngałem lokalnym, a S, I, L są odpowiednio jego maksimum, minimum oraz czasem lokalnym w zerze. Z jednej strony przedstawię proponowane charakteryzacje wszystkich tego typu martyngałów wraz z opisem nowych klas martyngałów. Jednocześnie postaram się przedstawić pewne typowe argumenty które pozwalają wnioskować o tym, że tego typu martyngały muszą mieć bardzo szczególną postać. W drugiej części referatu skupię się na martyngałach i nadmartygałach w których pojawiają się procesy A=S-I oraz D=M-(S+I)/2 które można określać jako procesy amplitudy i średniej odległości. W szczególności przedstawię nierówności (Fujita-Yor) szacujące normę L^p zmiennej A_t przez normę L^p zmiennej D_t, które uogólniają klasyczny wynik Pitmana: E (S_t-I_t)^2< 4 E X_t^2, który z kolei uogólniał nierowność Doob'a. Postawię problem optymalności stałych w tych nierównościach.

2005-03-17, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Nigel Kalton (Uniwersity of Missouri-Columbia)

Decoupling in quasi-Banach spaces

We will discuss decoupling inequalities for U-statistics and chaoses with values in quasi-Banach spaces. It turns out that a wide class of spaces posess decoupling property (all so-called natural spaces). We will however show two important examples of spaces in which decoupling does not hold: S_p with 0

2005-03-10, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów chaosów gaussowskich - część druga (być może nie ostatnia)

Odczyt będzie kontynuacją referatu z października 2004 roku. Pokażemy, że sformułowana wówczas hipoteza dotycząca szacowania momentów wielowymiarowych chaosów gaussowskich jest spełniona dla chaosów rzędu trzy, a dla wyższych rzędów zachodzi modulo pewne czynniki logarytmiczne. Jednym z elementów dowodu będzie oszacowanie liczb entropijnych na pewnych metrykach na produkcie kul euklidesowych poprzez wartości oczekiwane chaosów gaussowskich.

2005-03-03, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Rusinek (Uniwersytet Warszawski)

Nierówności maksymalne dla sum niezależnych zmiennych losowych

W przypadku gdy martyngał jest sumą niezależnych zmiennych losowych, stałą 4 w nierówności Dooba można nieznacznie polepszyć

2005-03-03, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Metoda Burkholdera dla nierówności maksymalnych

Zaprezentuję rozszerzenie metody Burkholdera, pozwalające dowodzić nierówności wiążące momenty martyngału, jego funkcji kwadratowej oraz jego funkcji maksymalnej.

2005-02-24, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Piotr Miłoś (Uniwersytet Warszawski)

O gaussowskich procesach Markowa

Problem stwierdzenia czy dany proces stochastyczny jest procesem Markowa może być trudny. Jednakże w przypadku procesów gaussowskich da się podać proste kryterian sprawdzania markowskości. W moim referacie przedstawię dwa takie kryteria korzystające z funkcji przejścia i kowariancji, Jako przykład zastosowania tych kryteriów, udowodnię kilka twierdzeń mówiących o postaci procesów stacjonarnych.

2005-02-17, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Twierdzenie o miarach majoryzujących

Zamierzam udowodnić twierdzenie o ograniczoności trajektorii procesów stochastycznych na dowolnej przestrzeni metrycznej. Wynik, który otrzymam jest uogólnieniem pewnych rezultatów otrzymanych przez Talagranda.

2005-01-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Wolff (Uniwersytet Warszawski)

Hiperkontraktywność zmiennych losowych dyskretnych

W swoim referacie bedę rozważał własność hiperkontrakcji dyskretnych zmiennych losowych o skończonej liczbie atomów. Podam optymalne (z dokładnością do czynnika uniwersalnego) stałe hiperkontrakcji dla takich zmiennych losowych oraz pokażę, że zmienne dwupunktowe są przypadkiem ekstremalnym. Zaprezentuję też kilka wniosków, m.in. nierówność na momenty sum niezależnych zmiennych losowych dwupunktowych o współczynnikach wektorowych, w której rząd stałej jest optymalny.

2005-01-13, godz. 12:15-13:45, s. 5850

John Noble (Linkoping University, Sweden)

The Directed Polymer in a Random Environment: Results for Mean Squared Displacement and Thermal Fluctuations

This talk discusses a continuous space/time analogue of the classical Directed Polymer problem. The superdiffusive behaviour is discussed for one 'space' dimension. The analysis also yields interesting behaviour for the 'termal fluctuations'.

2005-01-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (IM PAN)

Nierówności logarytmiczne Sobolewa i koncentracja miary dla funkcji wypukłych i chaosów.

W pierwszej części referatu zaprezentuję pewną klasę miar probabilistycznych na prostej, spełniających logarytmiczną nierówność Sobolewa dla gładkich funkcji wypukłych, a niekoniecznie dla wszystkich funkcji gładkich. Jako wniosek, poprzez tensoryzację i argument Herbsta, otrzymamy nierówności koncentracyjne dla funkcji wypukłych, lipschitzowskich i odpowiedniej klasy miar produktowych. Otrzymane wyniki zostaną następnie wykorzystane do oszacowań momentów i nierówności koncentracyjnych dla chaosów wielomianowych.

2004-12-16, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Tomasz Bojdecki (Uniwersytet Warszawski)

Jeszcze raz o granicach procesów przebywania: dokończenie panoramy.

Powiem o granicach fluktuacji procesów przebywania poissonowskiego układu cząstek wykonujących standardowy ruch $\alpha$-stabilny z binarnym rozgałęzianiem, gdy przyspiesza się czas. W zależności od wymiaru otrzymuje się wyniki jakościowo różne. Naszkicuję dowody, kładąc nacisk na fakt, że dla dużych wymiarów nie tylko dowód zbieżności rozkładów skończenie wymiarowych, ale i ciasność wymagają zastosowania "metody czasoprzestrzeni" oraz wzoru Feynmana-Kaca.

2004-12-09, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Joanna Jaroszewska (Uniwersytet Warszawski)

Od fraktali i iterowanych układów funkcyjnych do operatorów Markowa - przegląd wyników i metod.

W moim wystąpieniu chciałabym przedstawić przykładowe wyniki i metody teorii operatorów Markowa, tj. operatorów opisujących ewolucje miar. Najpierw omówię ważny przykład - operatory Markowa generowane przez iterowane układy funkcyjne. W szczególnym przypadku operator taki przypisuje określonej na przestrzeni metrycznej mierze $\mu$ kombinację (z danymi, sumującymi się do jedynki współczynnikami) miar będących transportami $\mu$ poprzez dane transformacje. Opowiem, jak za pomocą operatorów tej postaci otrzymywać niektóre z fraktali, np. paprotkę Barnsleya, trójkąt Sierpińskiego, czy drzewko binarne (znane z wydziałowych korytarzy). Jako, że zbiory te związane są z asymptotycznym zachowaniem ciągów iteracji pewnych operatorów Markowa, przedstawię twierdzenia tego dotyczące. Będą to tzw. kryteria asymptotycznej stabilności - proste (dowód oparty na twierdzeniu Banacha o punkcie stałym) i trudniejsze (zakłada się, że startujące z dowolnej miary probabilistycznej trajektorie, wyznaczane wzgl. badanego operatora, złożone są z miar, które koncentrują się na dowolnie małym zbiorze; ważnym krokiem dowodu jest wykazanie ścisłości pewnych rodzin miar). Zaprezentuję też dwa twierdzenia związane z tzw. probabilistycznym algorytmem generowania fraktali (dowód jednego z nich jest elementarny, a dowód drugiego odwołuje się do twierdzenia o zbieżności martyngałów).

2004-12-02, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jan Obłój (Uniwersytet Warszawski)

Max-martyngały - próba charakteryzacji oraz zastosowania

W referacie omówię klasę martyngałów postaci $H(B_t, \sup_{s\leq t} B_s)$ czyli funkcja of ruchu Browna i jego supremum. Dla funkcji gładkich pełna charakteryzacja jest prosta, a otrzymywane martyngały mają ładne zastosowania. Jest również odpowiednik dyskretny, o którym wspomnę. W drugiej części referatu skupię się na ogólnym przypadku funkcji lokalnie całkowalnych i pokażę jak wykorzystać teorię reprezentacji martyngałów oraz teorię procesów Markowa (tw. Motoo) do rozwiązania tego problemu. Referat nie zakłada żadnej wiedzy z procesów poza formułą Ito.

2004-11-25, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała i Krzysztof Oleszkiewicz (Uniwersytet Warszawski)

O latających spodkach i oszacowaniach miar gaussowskich jednokładnych obrazów środkowosymetrycznych ciał wypukłych zawierających kulę euklidesową o ustalonym promieniu

Niech $K$ będzie wypukłym środkowosymetrycznym zbiorem o mierze gaussowskiej co najwyżej 1/2. Zajmiemy się problemem szacowania miary zbioru $tK$ dla $t<1$. Ogólnie wiadomo, że miara ta maleje jak $t$ i oszacowania tego nie można polepszyć. Jednak jeśli założyć, że promień kuli wpisanej w $K$ jest duży, to szybkość malenia jest znacznie większa, co pokażemy odpowiadając twierdząco na hipotezę R.Vershynina. Pokażemy też kontrprzykład na silniejszą wersję hipotezy Vershynina - konstruując "latające spodki". Omówimy też pewne zastosowania dowodzonych nierówności.

2004-11-18, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Talarczyk (Uniwersytet Warszawski)

Rozkłady o skończonym zakresie pewnych funkcji dodatnio określonych

Niech \Lambda będzie zbiorem otwartym w R^d (dopuszczamy też przypadek \Lambda=R^d) i niech v będzie dwuliniowym funkcjonałem dodatnio określonym na D(\Lambda) (f. gładkie o nośniku zwartym, zawartym w \Lambda), tj. v(f,f)>0 dla każdego f z D(\Lambda). Dla zadanej liczby L>0 szukamy rozkładu v takiego, że v(f,f)=\sum_j C_j(f,f), (*) gdzie C_j są dodatnio określone oraz C_j ma zasięg co najwyżej L^j, tzn. C_j(f,g)=0 jeśli nośniki f i g są odległe o więcej niż L^j. Ponadto wymagamy aby zbieżność szeregu w (*) była w pewnym sensie jednostajna ze względu na f. My zajmujemy się przypadkiem, gdy v jest funkcjonałem wyznaczonym przez funkcje Greena operatora różniczkowego. To zagadnienie jest istotne w mechanice statystycznej przy stosowaniu tzw. metody grupy renormalizacji. Taki rozkład pozwala zapisac zmienną gaussowską (gaussowskie pole losowe) o funkcjonale kowariancji v jako sumę niezależnych zmiennych gaussowskich o kowariancjach C_j. W tej metodzie bardzo istotna jest własność, że C_j mają zasięg co najwyżej L^j. Otrzymany przez nas rozkład posiada również pewne inne własności istotne ze względu na stosowanie metody grupy renormalizacji. Przedstawiane wyniki zostały uzyskane wspólnie z Davidem Brydgesem.

2004-11-04, godz. 14:15-15:45, s. 3180

Dario Cordero-Erausquin (Université de Marne la Valle)

Some applications of mass transport in geometric functional analysis

This talk is about Brunn-Minkowski, log-Sob and Sobolev ineqalities by mass transport.

2004-10-28, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Giovanni Peccati (Université Paris VI)

Central Limit Theorems on Wiener space: diagram formulae, stochastic time-changes and quadratic functionals

We present necessary and sufficient conditions, to have that a sequence of multiple stochastic Wiener-Itô integrals converge in law towards a standard Gaussian random variable. These results are obtained through a classic result of stochastic calculus, known as the Dambis-Dubins-Schwarz theorem, stating that every Brownian martingale can be represented as a time-changed Brownian motion. Relations with the classic "method of moments" (via diagram formulae) will be discussed, as well as some motivations from the study of quadratic functionals of Gaussian processes. The content of the talk is related to some joint papers with D. Nualart (University of Barcelona) and C. Tudor (University of Paris I)

2004-10-21, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów chaosów gaussowskich

Omówimy problem oszacowania momentów chaosów gaussowskich. Znane do tej pory precyzyjne szacowania dla chaosów rzędu 3 i wyżej wymagają użycia supremów pewnych procesów empirycznych. Sformułujemy hipotezę mówiącą, że momenty chaosów gaussowskich są równoważne pewnej deterministycznej wielkości i wykażemy, że modulo czynnik logarytmiczny jest ona spełniona dla chaosów rzędu 3.

2004-10-14, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Krzysztof Oleszkiewicz (Uniwersytet Warszawski)

O związkach między chaosem gaussowskim i rademacherowym

Omówię zagadnienia, które w naturalny sposób pojawiły się w badaniach z dziedziny analizy harmonicznej na kostce dyskretnej. Ryan O'Donnell i Elchanan Mossel zauważyli, że pewne wyniki z tej dziedziny można by stosunkowo łatwo otrzymać, jeśli zastąpić kostkę dyskretną przestrzenią Gaussa. W tym celu trzeba jednak wiedzieć, że (przy pewnych naturalnych założeniach) można chaosy rademacherowe dobrze przybliżać gaussowskimi. Ponieważ jest to "work in progress", opowiem raczej o użytych narzędziach probabilistycznych niż o zastosowaniach (bo te ciągle nie doczekały się pełnego ścisłego dowodu).

2004-04-22, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność silnego i słabego typu dla martyngałów gaussowskich oraz nierówność silnego typu dla pewnej nowej dominacji

Udowodnimy, że zachodzą nierówności silnego i słabego typu dla martyngałów gaussowskich M, N takich, że dla n=1,2,3,... mamy E(d_n^2|F_{n-1}) <= E(e_n^2|F_{n-1}), n=1,2,3,... gdzie (d_n), (e_n) oznaczają ciągi różnic martyngałów M, N odpowiednio. Ponadto udowodnimy nierówność silnego typu dla p>2 dla martyngałów M i N takich, ze dla n=1,2,3,.... mamy E(d_n^2|F_{n-1}) <= E(e_n^2|F_{n-1}), E(d_n^p|F_{n-1}) <= E(e_n^p|F_{n-1}).

2004-04-15, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Paweł Wolff (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów sum niezależnych zmiennych losowych a metoda hiperkontrakcji

W ramach referatu zamierzam dokonać przeglądu wyników dotyczących oszacowań momentów sum niezależnych zmiennych losowych. Konkretniej chodzi o nierówności typu |S_n|_p <= c_1(p) |sup_{1<=k<=n} |X_k||_p + c_2(p) |S_n|_1, gdzie (X_k) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wartościach w przestrzeni Banacha i o średniej zero, S_n = X_1 + ... + X_n, znane jako nierówności Hoffmanna-Jorgensena. Naszkicuję dwie różne metody dowodu tego typu nierówności, ktore daja "dobrą" asymptotykę stałych c_1(p), c_2(p), gdy p \to \infty. Jedna z metod jest ulepszeniem klasycznej metody Hoffmanna-Jorgensena, natomiast druga oparta jest na zasadzie hiperkontrakcji. Natomiast na koniec, jeśli czas pozwoli, chciałbym powiedzieć parę słów na temat wyników własnej pracy.

2004-03-25, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Zastosowania miar majoryzujących

Postaram się omówić możliwe uogólnienia klasycznych rezultatów dotyczących ograniczoności procesów stochastycznych. Pokażę wariant oszacowania przez miary majoryzujące, gdy proces kontrolowany jest przez wiele funkcji Younga. Następnie zamierzam udowodnić warunek dostateczny dla ograniczoności gaussowskich chaosów wymiaru >= 2. Dzięki metodzie kontroli chaosu za pomoca pewnej liczby funkcji Younga o wzroście wykładniczym oraz zapowiadanych wielofunkcjyjnych uogólnień twierdzenia Ferniqua uda się wyprowadzić dość dobre kryterium na ograniczoność chaosów.

2004-03-18, godz. 12:15-13:45, s. 5850

prof. Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Miary majoryzujące i metryki minoryzujące.

W referacie przedstawimy wyniki podające warunki na to by dla zadanej funkcji Younga $\Phi$ istniała silniejsza metryka $\rho$ (podamy sposob jej konstrukcji) o własności: dla dowolnego procesu $(X_t, t \in T)$ określonego na przestrzeni metrycznej $ (T,d)$ takiego ze sup_{t,s \in T}E \Phi(|X_t -X_s/d(t,s)|) < 1 spelnione jest $E\Phi (sup_{t,s \in T}|X_t -X_s/\rho(t,s)|) < \infty$. Referat dotyczy wyników W.Bednorza i wcześniejszych J.Rosinskiego i S. Kwapienia.

2004-03-11, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Radosław Adamczak (IM PAN)

Prawo iterowanego logarytmu (PIL) dla U-statystyk rzędu 2 o wartościach w przestrzeni Hilberta

Dla rzeczywistych U-statystyk rzędu 2 od pewnego czasu znane są warunki konieczne i dostateczne na zachodzenie PIL. Wykażę, że analog tych warunków dla przestrzeni Hilberta pociąga PIL, jednak nie jest warunkiem koniecznym. Przedstawię także warunki konieczne i dostateczne dla U-statystyk generowanych przez funkcje specjalnej postaci.

2004-02-26, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Porównanie norm Orlicza martyngałów słabo dominowanych, ciąg dalszy

2004-02-19, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Porównanie norm Orlicza martyngałów słabo dominowanych

Niech M, N będą dwoma martyngałami o wartościach w przestrzeniach Hilberta, takimi, że N słabo dominuje M. Niech F będzie rosnącą funkcją wypukłą na półprostej dodatniej, a |.| - normą Orlicza wyznaczoną przez tę funkcją. Wykażemy, że przy pewnych dodatkowych założeniach dotyczących F zachodzi nierówność C|N|>= |M| gdzie C jest pewną stałą, zależącą od F.

2004-02-12, godz. 12:15-13:45, s. 5850

prof. Stanisław Kwapień (Uniwersytet Warszawski)

Splot procesów gaussowskich z semimartyngałami

W referacie udowodnimy że splot niezależnych procesów, z których jeden jest ciągłym stacjonarnym procesem gaussowskim a drugi semimartyngałem jest procesem ciągłym. Jest to ugólnienie wyniku referowanego na posiedzniu w dniu 9 X 2004 r. Uogólnienie polega na zastąpieniu procesów Leviego semimartyngałami oraz użyciu nowych, prostszych metod.

2004-01-15, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jan Obłój (Uniwersytet Warszawski)

Zagadnienia optymalnego stopowania a problem Skorohoda

W referacie przedstawię skrótowo rozwiązanie następującego problemu stopowania: niech $X$ będzie dyfuzją nieograniczoną, $S$ jej procesem maksimum, a $f,c$ dwoma funkcjami klasy $C^1$, znaleźć $V=\sup_T E[f(S_T)-\int_0^T c(X_s)ds]$, gdzie supremum jest brane po wszystkich momentach stopu $T$, dla których $\int_0^T c(X_s)ds$ jest skończone. Problem ten okazuje się mieć eleganckie rozwiązanie związane z istnieniem maksymalnego rozwiązania pewnego równania różniczkowego (są to wyniki Gorana Peskira, przedstawię jedynie ideę dowodu). Dodatkowo, moment stopu, który maksymalizuje jest typu Azemy-Yora i jest znany. To daje zaś możliwość postawienia i rozwiązania optymalnego problemu zanurzenia, czyli dla danej miary $\mu$, znalezienia takich funkcji $f,c$, że optymalny moment stopu zanurza tę miarę w ruch Browna.

2003-12-18, godz. 12:00-13:45, s. 5850

Katarzyna Pietruska-Pałuba (Uniwersytet Warszawski)

Dyfuzje ułamkowe na przestrzeniach metrycznych i twierdzenie Bourgaina-Brezisa-Mironescu

Jeżeli na przestrzeni metrycznej X istnieje dyfuzja ułamkowa (proces Markowa, którego gęstość przejścia spełnia własność "słabego skalowania"), to przestrzeń ta posiada wiele własnosci pokrewnych przestrzeni Euklidesowej. W szczególności przenosi się na nią twierdzenie Bourgaina-Brezisa-Mironescu mówiące, że pewne całki z funkcji rzeczywistych na X mogą być zbieżne jedynie w przypadku, gdy całkujemy funkcje stałe. Całki te wiążą się z formami Dirichleta dla omawianych procesów Markowa. Przykładami przestrzeni o omawianej własnosci są, oprócz przestrzeni Euklidesowej, niektóre fraktale samopodobne, a także pewne rozmaitości Riemannowskie.

2003-12-11, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Tomasz Bojdecki (Uniwersytet Warszawski)

Zbieżność fluktuacji "procesów przebywania" układów cząstek

W chwili t=0 mamy w R^d standardowy poissonowski układ cząstek, które następnie poruszają się niezależnie, zgodnie ze standardowym procesem alfa-stabilnym. Ponadto, po czasie wykładniczym cząstka albo ginie albo, z prawdopodobieństwem 1/2, rozszczepia się na dwie, ewoluujące dalej w identyczny sposób. Definiuje się w naturalny sposób proces przebywania (`occupation process') i pokazuje, że przy odpowiednim unormowaniu jego fluktuacje zbiegają, gdy przyspieszamy czas, do tzw podułamkowego ruchu Browna. Interesujący jest dowód, wykorzystujący m.in. wzór Feynmana Kaca.

2003-11-25, godz. 15:15-17:00, s. W.S IMPAN

Piotr Sniady (Uniwersytet Wroclawski)

Mild introduction to free probability

Free probability theory was initiated around 1985 by Voiculescu in order to answer some questions concerning certain von Neumann algebras. Today is a self--standing mathematical theory with fascinating links to topics such as random matrices, asymptotic representation theory of symmetric groups, combinatorics, classical probability, operator algebras and many others. During the talk I would like to present a simple combinatorial introduction to the foundations of this theory and present very briefly some applications.

2003-11-20, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jacek Wesołowski (Politechnika Warszawska)

Własność Matsumoto-Yor'a

W 1998 roku Matsumoto i Yor, badając funkcjonały wykładniczego ruchu Browna, odkryli przekształcenie zachowujące niezależność zmiennych losowych o rozkładach GIG i gamma (własność MY). W 2000 roku otrzymano macierzową wersję tej własności (dla rozkładu Wisharta i macierzowego rozkładu GIG). Ostatnie uogólnienie dotyczy macierzy o różnych wymiarach. Równolegle badano zagadnienie odwrotne: Czy własność MY charakteryzuje rozkłady GIG i Wisharta (gamma)? Problem ten prowadzi do ciekawych równań funkcyjnych i został kompletnie rozwiązany w przypadku jedno i dwu-wymiarowym i częściowo w przypadku macierzowym. Dodatkowo, niespodziewanie okazało się, że własność ta znajduje odbicie w wewnętrznej strukturze macierzy Wisharta. Dało to asumpt do uogólnienia charakteryzacji rozkładu Wisharta przez niezależność bloków (otrzymanej w 2002 roku przez Geigera i Heckermana). Najświeższe badania dotyczą grafowej wersji własności MY na drzewach z korzeniem. Prezentowane wyniki pochodzą głównie ze wspólnych prac z G. Letac (Tuluza) i H. Massam (Toronto).

2003-11-13, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Nierówność silnego typu dla martyngałów wypukle dominowanych: przypadek p>2. Zastosowanie do martyngałów gaussowskich

Udowodnimy, że jeżeli martyngał M jest dominowany wypukle przez martyngał N, to dla p>2 zachodzi (E|M_{n}|^p)^1/p <= C_{p}(E|M_{n}|^p)^1/p, n=1,2,... dla pewnej stałej C_{p}. Wykażemy także, że dla martyngałów gaussowskich M, N zachodzi tP(|M_{n}|>t)<=CE|N_{n}|, E|M_{n}|^p<= C_{p}E|M_{n}|^p, 1<p<2, o ile tylko M jest dominowany przez martyngał N w następującym sensie E((M_{n}-M_{n-1})^2|F_{n-1})<=E((N_{n}-N_{n-1})^2|F_{n-1}). Będzie to bezpośredni wiosek z nierówności silnego i słabego typu dla martyngałów wypukle dominowanych.

2003-11-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Uczenie statystyczne (Statistical Learning)

Korzystajac z dwoch prostych przykladow na regresje i na klasyfikator Bayesa, zamierzam zobrazowac pewne ciekawe twierdzenie dotyczace statystycznej nauki. Dzieki umiejetnemu zastosowaniu nierownosci koncentracyjnych, liczeniu entropii i innych metodach dostaniemy dobre oszacowanie na estymatory empirycznej minimalizacji ryzyka.

2003-10-30, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Zastosowanie metod entropijnych do nierownosci koncentracyjnych

W moim wystapieniu zamierzam opowiedziec o nowoczesnym podejsciu do zjawiska koncentracji miary oraz o zastosowaniach w statystyce matematycznej. Moim celem jest zdefiniowanie uogolnionych entropii tzw. $\phi$ entropii. Nastepnie zaprezentuje kilka ciekawych twierdzen dotyczacych koncentracji (np. nierownosci $\phi$-Sobolewa, oszacowan dla procesow empirycznych). Potem sprobuje przejsc do zastosowan w statystyce. Bede sie zajmowal teoria Vapnika (tzw. Statistical Learning).

2003-10-23, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Jan Obłój (Uniwersytet Warszawski)

Wokół problemu zanurzenia Skorochoda: nowe spojrzenie na klasyczne wyniki oraz nowe rozwiązanie dla funkcjonałów wycieczek ruchu Browna

Klasyczny problem zanurzenia Skorohoda brzmi nastepujaco: dla $\mu$ scentrowanej miary probabilistycznej, znalezc "możliwie maly" (np. calkowlany jeżeli jest to możliwe) moment stopu $T$ taki, aby zatrzymany ruch Browna mial zadany rozklad: $B_T\sim \mu$. Najbardziej znane rozwiazanie tego problemu pochodzi od Azemy i Yora. To rozwiazanie zostanie krotko przedstawione w ujeciu klasycznym (poprzez martynagaly) oraz w nieco mniej klasycznym ujeciu poprzez teorie potencjalu na R (opierajac sie na konstrukcji Chacona i Walsha). W drugiej (dluzszej) czesci referatu postaram sie przedstawic glowne pomysly ze wspolnego artykulu z prof. M. Yorem, w ktorym opisane jest rozwiazanie problemu Skorohoda dla ciaglych funkcjonalow wycieczek ruchu Browna (jak np.: wiek, maksimum). W szczegolnosci skupie sie na ogolnej metodologii oraz pokaze w jakim sensie rozwiazanie to jest dualne to klasycznego wyniku Azemy i Yora.

2003-10-14, godz. 15.15-16.45, s. im. W. S.

Rafal Latała (Uniwersytet Warszawski)

Dwa nowe wyniki o miarach gaussowskich: 1. Rozwiązanie problemu Ehrharda (według C. Borella) 2. Rozwiązanie problemu Banaszczyka (według D. Cordero-Erausquin, M. Fradelizi i B. Maurey'a ).

W pierwszej części odczytu omówiony zostanie wynik C.Borella pokazujący, że nierówność Ehrharda $\Phi^{-1}(\mu(tA+(1-t)B))\geq t\Phi^{-1}(\mu(A))+(1-t)\Phi^{-1}(\mu(B))$ zachodzi dla dowolnej miary gaussowskiej $\mu$ i zbiorów borelowskich $A,B$ oraz $0<t<1$ (wcześniej ta nierówność była znana w przypadku gdy jeden ze zbiorów $A,B$ jest wypukły). Nierówność Ehrharda implikuje szereg ważnych faktów dla miar gaussowskich: nierówność izoperymetryczną, nierówność Bobkowa, logarytmiczną nierówność Sobolewa. W drugiej części zaprezentowana będzie idea dowodu hipotezy Banaszczyka $\mu(ab K)^{2}\geq\mu(aK)\mu(bK)$ dla $a,b>0$ $K$ wypukłego i $\mu$ miary gaussowskiej. Wynik ten został otrzymany przez Cordero-Erasquina, Fradeliziego i Maureya. Przedstawiony dowód będzie krótki, ale bazujący na głębokich twierdzeniach Breniera McCanna i Caffareliego dotyczących transportu miary.

2003-10-09, godz. 12:15-13:45, s. 5850

prof. dr hab. Stanislaw Kwapien (Uniwersytet Warszawski)

Ciaglosc splotow calek stochastycznych

Udowodnimy dwa twierdzenia dotyczące ciaglosci procesow postaci $Y_t =\int_0^t f(t-s)dZ_s$ gdzie $Z_t$ proces Levy'ego i $f$ jest funkcja ciagla, z $f(0) =0$ (sa ta warunki konieczne na ciaglosc.) Procesy takie, zwane srednimi ruchomymi, pojawiaja sie dosyc czesto w zastosowaniach. 1. Pokazemy ze jesli tylko proces $Z_t$ ma wariacje nieskonczona na skonczonych przedzialach p.n. wowczas istnieje $f$ jak wyzej dla ktorej proces $Y_t$ ma nieciagle trajekotrie. 2. Udowodnimy takze ze jesli $f(t)$ jest losowa trajektorja procesu Gaussowskiego, niezaleznego od $Z$ ciaglego, z przyrostami stacjonarnymi, $G(0) =0$ wowczas p.n. proces $Y_t$ ma ciagle trajktorje. Wyniki te pochodza z pracy przygotowywanej do druku przez M.Marcus'a, J.Rosinskiego i referenta.

2003-05-22, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Anna Talarczyk (Uniwersytet Warszawski)

Czas lokalny przeciec niezaleznych d-wymiarowych procesow a SILT procesu gestosci.

Gdy Hd<2, to istnieje czas lokalny dwukrotnych przeciec dwoch niezaleznych ulamkowych ruchow Browna w R^d, z parametrem Hursta H, a takze istnieje czas lokalny dwukrotnych samoprzeciec (SILT) ulamkowego procesu gestosci. Podobna zgodnosc zachodzi tez dla procesow \alpha-stabilnych i \alpha-stabilnego procesu gestosci (gdy d<2\alpha). Pokazemy, ze w obu tych przypadkach SILT procesu gestosci jest granica w sensie rozkladow ukladu czasow lokalnych przeciec niezaleznych d-wymiarowych procesow (ulamkowych ruchow Browna lub, odpowiednio, procesow \alpha-stabilnych).

2003-05-08, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Rafał Łochowski (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów i ogonów dla chaosu rademacherowego

W odczycie przedstawię wyniki z pracy R. Blei i S. Jansona pt. "Rademacher chaos: tail estimates vs limit theorems". Autorzy rozpatrują chaos rademacherowy indeksowany przez zbiór posiadający tzw. wymiar ułamkowy; otrzymują oszacowania ogonów dla skończonych, unormowanych sum oraz twierdzenie o normalnym rozkładzie granicznym, przy rozmiarze zbioru indeksów dążącym do nieskończoności. Okazuje się, że ogony unormowanych sum skończonych mogą być znacznie większe niż ogony rozkładu granicznego.

2003-04-24, godz. 12:15-13:45, s. 3140

Jacek Wesołowski (Politechnika Warszawska)

Własność Matsumoto-Yor'a

W 1998 roku Matsumoto i Yor, badając funkcjonały wykładniczego ruchu Browna, odkryli przekształcenie zachowujące niezależność zmiennych losowych o rozkładach GIG i gamma (własność MY). W 2000 roku otrzymano macierzową wersję tej własności (dla rozkładu Wisharta i macierzowego rozkładu GIG). Ostatnie uogólnienie dotyczy macierzy o różnych wymiarach. Równolegle badano zagadnienie odwrotne: Czy własność MY charakteryzuje rozkłady GIG i Wisharta (gamma)? Problem ten prowadzi do ciekawych równań funkcyjnych i został kompletnie rozwiązany w przypadku jedno i dwu-wymiarowym i częściowo w przypadku macierzowym. Dodatkowo, niespodziewanie okazało się, że własność ta znajduje odbicie w wewnętrznej strukturze macierzy Wisharta. Dało to asumpt do uogólnienia charakteryzacji rozkładu Wisharta przez niezależność bloków (otrzymanej w 2002 roku przez Geigera i Heckermana). Najświeższe badania dotyczą grafowej wersji własności MY na drzewach z korzeniem. Prezentowane wyniki pochodzą głównie ze wspólnych prac z G. Letac (Tuluza) i H. Massam (Toronto).

2003-04-03, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Adam Osękowski (Uniwersytet Warszawski)

Ruch Browna w środowisku poissonowskim

Niech $(\{w\in C(\QTR{Bbb}{R_{+}}\rightarrow \QTR{Bbb}{R}^{d})\},\QTR{cal}{F},P)$ będzie ruchem Browna w $\QTR{Bbb}{R}^{d}$ i niech $\eta $ będzie miarą Poissonowską na $\QTR{Bbb}{R_{+}}\times \QTR{Bbb}{R}^{d}$ z intensywnością będęcą miarą Lebesgue'a. Rozważmy ,,kiełbaskę Wienera \EQN{6}{1}{}{0}{\RD{\CELL{V_{t}=\{(s,x)\in \QTR{Bbb}{R_{+}}\times \QTR{Bbb}{R}^{d}:0\leq s\leq t,x\in B(\omega _{s})\},}}{1}{}{}{}}gdzie $B(u)$ oznacza kulę w $\QTR{Bbb}{R}^{d}$ o środku $u$ i jednostkowej objętości. Będziemy badać zachowanie procesu $\{(s,\omega _{s})\}_{0\leq s\leq t}$ ze względu na miarę \EQN{6}{1}{}{0}{\RD{\CELL{\mu _{t}(d\omega )=\frac{\exp (\beta \eta (V_{t}))}{Z_{t}}P(d\omega ),}}{1}{}{}{}}gdzie $\beta $ to pewna stała rzeczywista, a $Z_{t}=\QTR{Bbb}{E}_{P}\exp (\beta \eta (V_{t}))$ to czynnik normalizujący - tzw. \QTR{em}{funkcja partycji}. Konkretniej, będzie nas interesowało zachowanie tej funkcji na dużych przedziałach czasowych.

2003-03-27, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Witold Bednorz (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania dla wartosci oczekiwanej normy losowej macierzy Toeplitza.

Zamierzam pokazać, ze dla losowej macierzy Toeplitza $T_n$, zachodzą następujące oszacowania na jej normę $$ C^{-1}sqrt(nlogn)<E[[T_n]]<Csqrt(nlogn). $$ Przedstawię też aktualne wyniki dotyczące zbieżności średnich rozkładów spektralnych dla tego typu macierzy, jednak bez odwoływania się do ścisłych dowodów.

2003-03-20, godz. 12:15-13:45, s. 3140

Rafał Latała (Uniwersytet Warszawski)

Identyfikacja granicy w Prawie Iterowanego Logarytmu dla U-statystyk rzędu dwa

Przedstawimy wyniki ze wspólnej pracy z S.Kwapieniem, K.Oleszkiewiczem i J.Zinnem dotyczące Prawa Iterowanego Logarytmu (PIL) dla U-statystyk rzędu dwa. Od pewnego czasu znane są warunki konieczne i dostateczne by zachodziło PIL, ale granicę można wyznaczyć tylko z dokładnością do stałej. Przedstawimy (nieco zaskakującą) postać tej granicy dla pewnych specjalnych U-statystyk i postaramy się wyjaśnić skąd ta postać się bierze.

2003-03-06, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Włodzimierz Bryc (University of Cincinnati)

Metoda funkcjonałów Varadhana w teorii wielkich odchyleń

Istnieje kilka alternatywnych podejść do analizy wielkich odchyleń. Tematem wykładu jest pewna mniej szeroko znana metoda dowodzenia twierdzeń o wielkich odchyleniach w sformułowaniu pochodzącym od Varadhana. Zaletą podejścia jest prawie natychmiastowy dowód wielu klasycznych twierdzeń, bez potrzeby rozróżniania tzw. "poziomów" zagadnienia. Wadą jest nieco trudniejszy dostęp do jawnych wyrażeń na "funkcje (intensywność) odchyleń".

2003-02-27, godz. 12:15-13:45, s. 5850

Krzysztof Oleszkiewicz (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowanie liczby kopii małych podgrafów w grafie losowym

Omówione zostaną wyniki uzyskane wspólnie ze Svante Jansonem (Uppsala) i Andrzejem Rucińskim (Poznań), dotyczące zliczania kopii ustalonego małego grafu w grafie losowym G(n,p). Jeśli np. X oznacza liczbę trójkątów w G(n,p) i p>1/n, to udowodnimy, że P(X>2EX) < exp (-C p^2 n^2), gdzie C jest pewną stałą uniwersalną.

2002-12-12, godz. 12:15-13:45, s. 3140

Rafał Łochowski (Uniwersytet Warszawski)

Oszacowania momentów i ogonów wielowymiarowego chaosu

Odczyt będzie poświęcony dowodowi oszacowań momentów i ogonów wielowymiarowego chaosu tzn. zmiennych postaci \sum a_{i_{1},...,i_{d}} X_{i_{1}}^{(1)}...X_{i_{d}}^{(d)} gdzie zmienne X_{i_{1}}^{(1)},...,X_{i_{d}}^{(d)} są niezależne. Uzyskane szacowania będą dotyczyły przypadku, gdy X_{i_{1}}^{(1)},...,X_{i_{d}}^{(d)} są dodatnie i mają logarytmicznie wklęsłe ogony. Oszacowania te wyrażają się za pomocą prostych norm wektora współczynników a_{i_{1},...,i_{d}} zależnych od funkcji N_{i}^{(r)}, gdzie P(X_{i}^{(r)}\geq t)=e^{-N_{i}^{(r)}(t) i są optymalne z dokładnością do stałych zależnych od wymiaru d. Więcej informacji: http://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/sem.html