Wydział MIM UW - Piotr Mucha

AUTOREFERAT

do rozprawy doktorskiej p.t:

`Stabilność rozwiązań równań cieczy lepkich'

Piotr Bogusław Mucha

Równania Naviera-Stokesa dla nieściśliwej i ściśliwej cieczy lepkiej są podstawowymi modelami we współczesnej hydrodynamice. Matematyczne aspekty tych układów wiążą się z pytaniem kiedy taki model może być zastosowany. Wiele problemów wciąż nie ma rozwiązań. Niektóre z nich są bardzo ważne z punktu widzenia fizyki. Główne pytanie dotyczny problemu regularności dla równań nieściśliwego Naviera-Stokesa dla przestrzeni trójwymiarowej. Jest on ciągle otwarty. Rozwiąznie tego może dostarczyć nam odpowiedzi na pytanie czy równania Naviera-Stokesa mogą opisywać turbulencje. Opisując zjawisko w hydrodynamice musimy wybrać odpowiedni matematyczny model. Większość cieczy może być traktowana jako ciecze newtonowskie, lecz czasem musimy rozszerzyć nasze modele na ciecze nienewtonowskie. Innym problemem z punktu widzenia fizyki jest pytanie czy zjawisko fizyczne może być opisywane przy użyciu tylko prędkości i gęstości cieczy. Z punku widzenia fizyki najważniejsze pytania dotyczą zagadnień z dużym wektorem prędkości i problemu stabilności stanów równowagowych.

W naszej pracy badamy stabilność regularnych rozwiązań równań w trzech wymiarach przestrzennych dla przepływów ściśliwych i nieściśliwych dla cieczy newtonowskich.

W Części I rozważamy równania Naviera-Stokesa dla nieściśliwej cieczy

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} v_t+v\nabla v -\nu \Delta v +\nabla p =f, \\ div\, v=0, \\ v\vert _{t=0}=v_0, \end{array}\eqno{(1)} \end{displaymath}$

gdzie v jest prękością cieczy, p - ciśnieniem i f - siłą zewnętrzną. Pokazujemy stabilność w całej przestrzeni ${\bf R}^3$ regularnych rozwiązań, które odpowiednio szybko zbiegają do stałego przepływu. Wzmacniamy ten rezultat, rozważamy również nieściśliwe rówania Naviera-Stokesa na torusie zakładając periodyczne warunki brzegowe. W tym przypadku klasa stabilnych rozwiązań jest znacznie większa. W szczególności pokazujemy stabilność swobodnych dwuwymiarowych przepływów.

W Części II rozważamy regularne rozwiązania ściśliwego Naviera-Stokesa dane we współrzędnych Eulera w postaci

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} \varrho(v_t+v\nabla v) -\mu \Delta v -\nabla... ..., \;\;\;\;\varrho\vert _{t=0}=\varrho_0, \end{array}\eqno{(2)} \end{displaymath}$

gdzie v jest prędkością, $\varrho$ - gęstością, $p=p(\varrho)$ - ciśnieniem oraz f - jest siłą zewnętrzną. Pokazujemy tu stabilność statycznych rozwiązań dla (2). Nie ma założeń na małość norm statyczych rozwiązań.

Równania ściśliwego Naviera-Stokesa badamy we współrzędnych Lagranga

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} \eta u_t -\mu \Delta_u u -\nu \nabla_u div_u... ...0}, \;\;\;\; \eta\vert _{t=0}=\varrho_0, \end{array}\eqno{(3)} \end{displaymath}$

gdzie $u(\xi,t)=v(x(\xi,t),t)$ , $\eta(\xi,t)=\varrho(x(\xi,t),t)$ , $\nabla_u=\frac{\partial \xi}{\partial x}\partial_{\xi}$ , $div_u=\nabla_u\cdot$ oraz $\xi$ - współrzędna Lagranga zdefiniowana przez dane początkowe dla zagdanienia

$\begin{displaymath}\frac{dx}{dt}=v(x,t), \;\;\;\; x\vert _{t=0}=\xi. \eqno{(4)} \end{displaymath}$

By uzyskać globalne w czasie rozwiąznie dla (2) przy założeniu małości danych początkowych z optymalną regularnością w L_p-podejsciu. dowodzimy L_p-oszacowanie dla zlinearyzowanego (3) oraz pokazujemy prawie globalne w czasie istnienie rozwiązań. Otrzymujemy, że prędkość $u \in W^{2,1}_{r(loc)}({\bf R}^3 \times {\bf R}_{+})$ gdzie r>3.

Dla nieściśliwych równań Naviera-Stokesa pierwszy rezultat o istnieniu zawdzięczamy Lerayowi. Problem regularności w przypadku przestrzennie dwuwymiarowym tzn. istnienia jednoznacznych regularnych rozwiązań przy dużych danych początkowych jest całkowicie rozwiązany. W przpadku trójwymiarowym mamy tylko rozwiązania słabe przy dowolnych danych początkowych. Każdy rezultat dotyczący regularnych rozwiązań wymaga obecnie małych danych. W tych przypadkach główne metody bazują na teorii półgrup lub oszacowaniach energetycznych.

Dla równań ściśliwego Naviera-Stokesa sytuacja jest bardziej skomplikowana. Tu tylko przypadek jednowymiarowy jest wyjaśniony. W przypadku dwuwymiarowym mamy tylko rezultat Kahikova, lecz założenia o współczynnikach lepkości są tam bardzo sztuczne. W przypadku przestrzennie trójwymiarowym mamy tylko wyniki przy małych danych początkowych. Pierwszy taki rezultat zawdzięczamy Matsumurze i Nishidzie. Następnie, ich L₂-technika została wzmocniona przez Zajączkowskiego. Te rezultaty nie są optymalne w L₂-podejściu. Pierwszy optymalny wynik $H^{2+\alpha,1+\alpha/2}$ gdzie $\alpha>\frac{1}{2}$ uzyskany został przez Zajączkowskiego i Kobayashiego. W L_p-podejściu mamy rezultat Strmera, jego metoda bazująca na teorii półgrup daje nieostry wynik taki, że prędkość należy do W^3,1_r.

Nasz praca podzielona jest na dwie części. W każdej rozważamy różne modele cieczy: nieściśliwy i ściśliwy. Głównym celem jest zmodyfikowanie metody dla nieściśliwego Naviera-Stokesa tak by można było ją zastosować do rozwiązania zagdanienia w ściśliwym przypadku. Podejście to umożliwi nam pracę w L_p-podejściu.

Jaka jest główna idea dowodów dla nieściśliwego modelu ?

Opiszemy tu kilka punktów z Części I.

Wprowadźmy gładką funkcję $\zeta:{\bf R}\rightarrow [0,1]$ taką, że

$\begin{displaymath}\zeta(t)= \left\{ \begin{array}{lr} 1 & t\geq t_0+l \\ 0 & t\leq t_0 \end{array}\right. \eqno{(5)} \end{displaymath}$

Wprowadźmy nowe zmienne zależne

$\begin{displaymath}U=\zeta u \;\;\; \mbox{oraz} \;\;\; P=\zeta p, \end{displaymath}$

wtedy z (1) otrzymujemy

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} U_t-\mu \Delta U+\nabla P=f-u\nabla U+\zeta'u, \\ div\,U=0, \\ U\vert _{t=t_0}=0. \end{array}\eqno{(6)} \end{displaymath}$

Konstrukcja ta wycina dane początkowe i lokalizuje w czasie zagadnienie (1). By uzyskać szacowania na U i P potrzebujemy L_r-oszacowań dla układu Stokesa

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} w_t-\nu \Delta w+\nabla p=h, \\ div\,w=0, \\ w\vert _{t=0}=0. \end{array}\eqno{(7)} \end{displaymath}$

Najłatwiejszą drogą by uzyskać takie ograniczenie jest zastosowanie twierdzenia Marcinkiewicza o multipikatorach dla transformaty Fouriera. Taka technika umożliwa szacowanie rozwiązań na poziomie transformaty Fouriera. Omijamy w ten sposób metody potencjałów, które są bardzo skomplikowane z punktu widzenia rachunków. Używając tych narzędzi dostajemy oszacowanie na rozwiązania (7)

$\begin{displaymath}\vert\vert w\vert\vert _{W^{2,1}_r}+\vert\vert\nabla q\vert\vert _{L_r}\leq c(T)\vert\vert f\vert\vert _{L_r}. \eqno{(8)} \end{displaymath}$

Następnie potrzebujemy małości pewnej normy. W naszym przypadku jest to L₂-norma dla rozwiązań (1). Energetyczne oszacowanie daje globalną w czasie małość $\vert\vert u\vert\vert _{L_2(R^3 \,lub \,{\bf T}^3)}$ , jeśli $\vert\vert u_0\vert\vert _{L_2(R^3 \, lub \, {\bf T}^3)}$ jest małe.

Zatem by otrzymać globalne w czasie regularne rozwiązanie (1) musimy mieć oszacowania na prawe strony (6). Ponieważ kontrolujemy małość L₂-normy łatwo szacujemy nieliniowe składniki z intrpolacyjnych twierdzeń tak samo jak ostatni składnik (6)₁

$\begin{displaymath}\vert\vert\zeta' u\vert\vert _{L_r}\leq \varepsilon \vert\ver... ...1}_r}+ c(\varepsilon)\vert\vert u\vert\vert _{L_2}. \eqno{(9)} \end{displaymath}$

Tak uzyskujemy globalne w czasie oszacowanie rozwiązań (1). Zatem widzimy, że idea jest całkiem prosta.

A co w przypadku ściśliwym ?

W przypadku równań ściśliwego Naviera-Stokesa postępujemy podobnie. Rozważania przeprowadzamy we współrzędnych Lagranga. By uzyskać wymik w L_p-podejściu nie możemy użyć współrzędnych Eulera, ponieważ nie ma możliwości odpowiedniej linearyzacji równania (2)₂. Układ (3) badamy w postacji

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} \eta u_t-\mu\Delta u-\nu \nabla div\,u+p'(\v... ...=v_0, \;\;\;\eta\vert _{t=0}=\varrho_0. \end{array}\eqno{(10)} \end{displaymath}$

By otrzymać stabilność statycznych rozwiązań $\bar{v}\equiv 0$ oraz $\bar{\varrho}= \bar{\varrho}(x)$ , używamy znów funkcji $\zeta$ zdefiniowanej przez (5) i badamy nowe funkcje

$\begin{displaymath}U=\zeta u\;\;\;\mbox{and}\;\;\;X=\zeta \chi, \end{displaymath}$

gdzie $\chi=\eta -\bar{\varrho}$ , więc dostajemy

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} \eta U_t-\mu\Delta U-\nu \nabla div\,U+p'(\e... ...rt _{t=t_0}=0, \;\;\;X\vert _{t=t_0}=0. \end{array}\eqno{(11)} \end{displaymath}$

By oszacować U i X potrzebujemy L_r-oszacowania. Z tych samych powodów jak w (8) stosujemy twierdzenie Marcinkiewicza i uzyskujemy ograniczenie

$\begin{displaymath}\vert\vert U\vert\vert _{W^{2,1}_r}+\vert\vert X\vert\vert _{... ...ert\vert\zeta' \chi\vert\vert _{W^{1,0}_r}\right), \eqno{(12)} \end{displaymath}$

gdzie ||X||_{V_r}=||X||_{W^1,0_r}+||X_t||_{W^1,0_r}.

Z nierówności energetycznej mamy globalne w czasie ograniczenie na L₂-normę rozwiązań (2)

$\begin{displaymath}\vert\vert v(\cdot,t)\vert\vert _{L_2}+\vert\vert\varrho(\cdo... ...ert\vert\varrho_0-\bar{\varrho}\vert\vert _{L_2}), \eqno{(13)} \end{displaymath}$

gdzie A nie zależy od T.

Wydaje się więc, że sytuacja jest taka sama jak w przypadku nieściśliwym, ale w tym problemie układ (11) daje składnik

$\begin{displaymath}\vert\vert\zeta' X\vert\vert _{W^{1,0}_r}. \eqno{(14)} \end{displaymath}$

By oszacować (14) nie możemy zastosować interpolacyjnych twierdzeń. By zobaczyć tą trudność wystarczy zauważyć, że (11)₂ (i (2)₂) jest równaniem hiperbolicznym. Zatem jedyną drogą jest wzięcie l (z (5)) tak dużego, by $\vert\zeta'\vert$ była odpowidnio małe, wtedy z (12) będziemy mogli przenieść ten wyraz na lewą stronę (12). Idea jest prosta i kończyłaby nasz problem, ale musimy odnotować, że obecnie w ogólnym przypadku w (12) stała C(T) silnie zależy od T ( $C(T) \sim e^T$ ). Zatem potrzebujemy (12) ze stałą niezależną od T. Następnie by można było wziąć duże lz (5) musimy mieć prawie globalne w czasie istnienie rozwiązań dla (3).

By uzyskać odpowiednie oszacowanie ze stałą nie zależną od czasu rozważamy następujący układ, który jest linearyzacją (11)

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} u_t-\mu \Delta u -\nu \nabla div\, u+a\nabla... ... _{t=0}=0, \;\;\;\; \eta\vert _{t=0}=0. \end{array}\eqno{(15)} \end{displaymath}$

Zakładamy, że $u,\eta$ mają zwarte w przestrzeni nośniki

$\begin{displaymath}supp \; u,\eta \subset \Omega \times (0,\infty). \end{displaymath}$

Biorąc dywergencję (15)₁, oznaczając $d=div\,u$ , dostajemy

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} d_t-(\mu+\nu)\Delta d +a\Delta \eta =div\, f... ...rt _{t=0}=0, \;\;\; \eta\vert _{t=0}=0. \end{array}\eqno{(16)} \end{displaymath}$

Kluczowym elementem dowodu jest pokazanie dodatkowej regularności dla rozwiązań (16). Rozwiązujemy równanie paraboliczne

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} d_t''-(\mu+\nu)\Delta d''=div\,f, \\ d''\ve... ...rtial \Omega}=0, \\ d''\vert _{t=0}=0. \end{array}\eqno{(17)} \end{displaymath}$

Ponieważ dla rozwiązań (17) mamy oszacowanie

$\begin{displaymath}\vert\vert d''\vert\vert _{W^{1,\frac{1}{2}}_r}+\vert\vert d'... ...f\vert\vert _{L_r}+\vert\vert f\vert\vert _{L_2}), \eqno{(18)} \end{displaymath}$

możemy redukować (16) do przypadku $f\equiv 0$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} d'_t-(\mu+\nu)\Delta d' +a\Delta \eta =0, \\... ...rt _{t=0}=0, \;\;\; \eta\vert _{t=0}=0. \end{array}\eqno{(19)} \end{displaymath}$

Łatwo widać, że (19) podwyższa regularność po t dla funkcji d'. Zatem by rozwiązać (19) możemy zastosować L₂-technikę i dostajemy $\nabla \eta_t \in L_2$ , następnie z (19)₁, (18) i twierdzeń o włożeniu dostajemy

$\begin{displaymath}d'_t \in W^{1,\frac{1}{2}}_2 \subset L_r, \eqno{(20)} \end{displaymath}$

gdzie $r\leq \frac{10}{3}$ . Mając taką informację dowodzimy dla rozwiązań (15) oszacowanie (13) ze stałą nie zależną od czasu.

By otrzymać (18), (20) i podobne oszacowania stosujemy teorię przestrzeni Soboleva-Slobodeckiego-Besova-Bessela W^s_r,H^s_r. Takie podejście jest bardzo wygodne, gdyż by dostać oszacowanie w tych przestrzeniach (nawet z ułamkową pochodną) wystarczy zastosować transformację Fouriera i twierdzenie typu Marcinkiewicza.

Metoda przedstawiona w Części II jest alternatywą dla metod Matsumury-Nishidy i Zajączkowskiego. Ta prosta idea bazuje na oszcowaniu (12) ze stałą nie zależą od czasu. W ogólnym przypadku, np. dla zagadnienia Dirichleta mamy obecnie (13) ze stałą silnie zależą od czasu. Nasza metoda pracuje również w L₂-podejściu. Oczywiście takie rezultaty nie są optymalne i musimy szukać prędkości w W^3,1₂ co gwarantuje, że transformacja (4) jest dobrze zdefinowana. Ale oczywiście znalezienie L₂-szacowania jest o wiele łatwiejsze. Zatem nasze nowe podejście może być zastosowane w bardziej skomplikowanych przypadkach.

Ta strona zostala stworzona na podstawie pliku w formacie LaTeX2e przy uzyciu konwertera Latex2HTML

Piotr Bogusław Mucha
2000-09-22