pracy doktorskiej
Numeryczne rozwiązania zagadnień
początkowo-brzegowych dla równania Boltzmanna
Piotr Kowalczyk
Czerwiec 1999
W pracy zaproponowano matematyczne sformułowanie i numeryczną realizację metody numerycznego rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych dla równania Boltzmanna, dalej nazywanej metodą losową (algorytmem losowym). Za pomocą metody losowej rozwiązano numerycznie dwa ważne dla zastosowań problemy teorii gazów rozrzedzonych: dwuwymiarowe zagadnienia początkowo-brzegowe odbicia fali uderzeniowej od klina i ogniskowania fali uderzeniowej.
W pierwszej części pracy sformułowano matematyczny model algorytmu losowego oraz przedstawiono sposób jego numerycznej realizacji.
W zaproponowanym w pracy matematycznym modelu algorytmu dyskretyzacji podlegają zmienne prędkościowe równania Boltzmanna. W miejsce operatora zderzeniowego w zdyskretyzowanym równaniu jest wprowadzony operator losowy, w którym całki są zastąpione sumą Monte Carlo. Kwadratura Monte Carlo jest oparta na odpowiednio określonym procesie stochastycznym. Proces ten, o realizacjach ciągłych prawie na pewno, ma w każdej chwili czasu ten sam rozkład jednostajny na ustalonym zbiorze ograniczonym. Powstałe równanie jest równaniem losowym, którego rozwiązań poszukuje się w klasie rozwiązań prawie pewnych.
Udowodnione zostało twierdzenie o lokalnym w czasie istnieniu i jednoznaczności rozwiązań przestrzennie jednorodnego losowego równania Boltzmanna w klasie rozwiązań prawie pewnych. Została też dowiedziona zbieżność prawie na pewno tych rozwiązań do rozwiązań ciągłego deterministycznego równania Boltzmanna. Udowodniono również zbieżność prawie na pewno schematu otwartego Eulera dla przestrzennie jednorodnego losowego równania Boltzmanna.
Numeryczna implementacja algorytmu losowego jest oparta na schemacie rozszczepiania. Polega on na rozdzieleniu równania Boltzmanna w każdym kroku czasowym na dwa równania: bezzderzeniowe równanie swobodnego przepływu i przestrzennie jednorodne równanie Boltzmanna. Pierwsze równanie jest rozwiązywane zachowawczym schematem objętości skończonej, drugie równanie - otwartym schematem Eulera. Do obliczenia wartości całki zderzeniowej w przestrzennie jednorodnym równaniu Boltzmanna zastosowano kwadraturę Monte Carlo. Losowe punkty tej kwadratury stanowią realizację zdyskretyzowanego w czasie procesu stochastycznego określonego w matematycznym modelu algorytmu.
W drugiej części pracy omówione są numeryczne rozwiązania metodą losową zagadnień odbicia fali uderzeniowej od klina i ogniskowania fali uderzeniowej.
Rozwiązanie zagadnień dwuwymiarowych poprzedzone zostało weryfikacją algorytmu losowego. Zostały wykonane obliczenia numeryczne dla testowego przypadku przestrzennie jednorodnego, dla którego oszacowano numerycznie szybkość zbieżności w funkcji liczby punktów w kwadraturze Monte Carlo.
Metodę losową zastosowano do rozwiązania dwóch dwuwymiarowych zagadnień początkowo-brzegowych: odbicia fali uderzeniowej od klina i ogniskowania fali uderzeniowej. Wyniki obliczeń numerycznych dla warunków początkowych zgodnych z warunkami eksperymentalnymi dały zadowalającą zgodność z wynikami eksperymentów.
W zagadnieniu ogniskowania występują obszary z brzegiem krzywoliniowym. Opracowana została metoda dyskretyzacji tego rodzaju obszarów dla zagadnień dwuwymiarowych, w której krzywoliniowy brzeg przybliżany jest linią łamaną. Zaproponowano również numeryczną implementację warunków brzegowych oraz zbadano ich wpływ na rozwiązania.
Problem ogniskowania fali uderzeniowej został w tej pracy po raz pierwszy zbadany numerycznie przez bezpośrednie rozwiązanie zagadnienia początkowo-brzegowego dla równania Boltzmanna. Zastosowane podejście kinetyczne umożliwia bezpośredni wgląd w strukturę mikroskopową badanych fal uderzeniowych oraz pozwala szczegółowo śledzić ich czasową i przestrzenną ewolucję. Stanowi to istotną przewagę nad metodami hydrodynamicznymi, za pomocą których można wyliczyć jedynie rozkłady parametrów makroskopowych gazu. Zbadane zostało również istotne zjawisko saturacji maksymalnego ciśnienia gazu w obszarze ogniska fali uderzeniowej przy różnych warunkach brzegowych.
W przypadku zagadnienia odbicia fali uderzeniowej od klina zbadano numerycznie inne istotne zjawisko fizyczne: efekt punktu potrójnego, występujący przy odbiciu fali od klina nachylonego pod małym kątem. Geometria procesu odbicia zależy od kąta nachylenia klina. Przy odbiciu regularnym fala padająca i odbita spotykają się na powierzchni klina. Natomiast przy odbiciu nieregularnym fala padająca i odbita spotykają się w pewnej odległości od powierzchni klina w punkcie zwanym punktem potrójnym. Zaproponowana została nowa metoda lokalizacji punktu potrójnego. Ta metoda oraz podejście kinetyczne do zagadnienia odbicia fali uderzeniowej pozwoliły na określenie położenia punktu potrójnego w początkowej fazie procesu odbicia (w bliskiej odległości od wierzchołka i od powierzchni klina), w przeciwieństwie do metod hydrodynamicznych, które umożliwiają wyliczenie trajektorii punktu potrójnego dopiero w dużo większej odległości od wierzchołka klina.