W³asno¶ci równañ ró¿niczkowych z opó¼nieniem versus w³asno¶ci równañ ró¿niczkowych zwyczajnych

Marek Bodnar

autoreferat

Równania ró¿niczkowe z opó¼nionym argumentem (RRzO) s± bardzo dynamicznie rozwijaj±c± siê dziedzin± matematyki. Pomimo tego wiele zagadnieñ pozostaje otwartych, natomiast dla innych istniej± tylko czê¶ciowe wyniki -- przewa¿nie dla konkretnych równañ. Zastosowania matematyki w naukach przyrodniczych czy spo³ecznych coraz czê¶ciej odwo³uj± siê do równañ z opó¼nieniem, z uwagi na to, ¿e wiele procesów i zjawisk zachodzi z opó¼nieniem. Osobnik, organizm czy komórka potrzebuj± czasu, aby po otrzymaniu pewnego sygna³u, podj±æ dzia³anie. Na przyk³ad zsyntetyzowanie bia³ka, w odpowiedzi na zapotrzebowanie organizmu, wymaga czasu. Niejednokrotnie czas ten jest krótki w stosunku do innych opisywanych zjawisk i jest pomijany podczas tworzenia matematycznych modeli. Jednak¿e nieraz zdarza siê, ¿e jest to wielko¶æ istotna. Z drugiej jednak strony równania z opó¼nieniem generuj± nieskoñczenie wymiarowe uk³ady dynamiczne i jako takie s± du¿o trudniejsze do analizy ni¿ równania zwyczajne. Istotn± kwesti± jest zatem porównanie w³asno¶ci rozwi±zañ równañ ró¿niczkowych z opó¼nieniem i równañ ró¿niczkowych zwyczajnych, a co za tym idzie -- stwierdzenia czy i kiedy mo¿na w zastosowaniach u¿yæ prostszego równania bez opó¼nienia zamiast lepiej opisuj±cego rzeczywisto¶æ, ale trudniejszego do analizy równania z opó¼nionym argumentem. Takie w³a¶nie porównanie jest g³ównym tematem mojej rozprawy.

Pomimo ¿e tematyka rozprawy zwi±zana jest z bardzo podstawowymi i jednocze¶nie bardzo wa¿nymi (zdaniem autora) pytaniami dla RRzO, to literatura dotycz±ca tej tematyki jest bardzo uboga. W literaturze mo¿an znale¼æ pewne wyniki, które jednak nie s± kompletne i nie poruszaj± ca³ej tematyki. W konsekwencji niniejsz± rozprawê nale¿y traktowaæ jako pierwszy krok w tej tak wa¿nej dziedzinie -- zwi±zków pomiêdzy równaniami z opó¼nieniem i równaniami zwyczajnymi. W szczególno¶ci wiêkszo¶æ metod i przyk³adów rozprawy ma charakter oryginalny.

W rozprawie bada³em zagadnienie z opó¼nieniem, które w ogólno¶ci ma postaæ

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcll} \displaystyle \dot x(t) &=& \displaystyl... ... t \ge t_0 \\ \displaystyle x_{t_0} &=& \varphi\,, \end{array}\end{displaymath}$

(1)

gdzie $% latex2html id marker 103 $F\colon {\rm I\!R}\times X \to X$$ ,

jest przestrzeni± Banacha, $x_t,\varphi \in C([-\tau,0];X)$ , $\tau >0$ jest sta³±, za¶ funkcja

jest okre¶lona nastêpuj±co

$\begin{displaymath} x_t(s) = x(t+s) \quad \mbox{dla} \quad s \in [-\tau,0]\,. \end{displaymath}$

Problem porównania w³asno¶ci równañ z opó¼nieniem z w³asno¶ciami równañ bez opó¼nienia rozpatrywa³em z kilku stron. Po pierwsze istotnym wydaje siê zwi±zek równania z opó¼nieniem z równaniem zwyczajnym powsta³ym z tego pierwszego poprzez zaniedbanie opó¼nienia, czyli po³o¿enie warto¶ci opó¼nienia równej zero. Chocia¿ istnieje twierdzenie o ci±g³ej zale¿no¶ci rozwi±zañ od parametrów, to dotyczy ono opó¼nienia ostro wiêkszego od zera, które mo¿e byæ wtedy traktowane jak parametr równania. Jednak nie odpowiada ono na pytanie co siê dzieje, gdy przejdziemy z opó¼nieniem do zera. W literaturze mo¿na te¿ znale¼æ twierdzenie mówi±ce, ¿e je¶li prawa strona jest globalnie lipschitzowska a opó¼nienie jest ma³e, to istnieje takie równanie zwyczajne, którego rozwi±zania pokrywaj± siê z rozwi±zaniami równania z opó¼nieniem. Jednak¿e nie wiemy jakiej postaci jest owo równanie zwyczajne. Przyk³ady zaprezentowane w rozprawie (stw. 2.2, tw. 2.1, tw. 2.7, tw. 4.1) wskazuj±, ¿e nie zawsze jest to równanie powsta³e z równania z opó¼nieniem dla $\tau=0$ . W rozprawie udowodni³em twierdzenie mówi±ce, ¿e je¶li prawa strona jest lokalnie lipschitzowska, to zale¿no¶æ od opó¼nienia jest ci±g³a dla $\tau \to 0$ (tw. 3.3). Poda³em te¿ przyk³ady, kiedy przej¶cie z opó¼nieniem do zera jest osobliwe (tw. 3.6).

Z drugiej strony w pracy zosta³y udowodnione kryteria pozwalaj±ce sprawdzaæ pewne istotne w³asno¶ci równañ z opó¼nieniem, czê¶ciowo przez porównywanie ich z równaniami zwyczajnymi. Udowodni³em twierdzenie (tw. 2.1, wn. 2.1, stw. 2.3) które pokazuj±, ¿e w pewnych przypadkach, mo¿na os³abiæ za³o¿enia ogólnego twierdzenia o jednoznaczno¶ci rozwi±zañ zagadnienia z opó¼nieniem. Jednym z twierdzeñ, które mog± najbardziej zaskakiwaæ jest twierdzenie (tw. 2.1) dotycz±ce zagadnienia (1) z praw± stron± postaci

$\begin{displaymath} F(t,x_t) = f(t,x(t-\tau))\,, \end{displaymath}$

(2)

które mówi, ¿e dla jednoznaczno¶ci rozwi±zañ wystarcza ci±g³o¶æ prawej strony. Znalaz³em te¿ warunki wystarczaj±ce na to, aby rozwi±zania zagadnienia (1) by³y nieujemne, dla nieujemnych danych pocz±tkowych, oraz na to, by przyjmowa³y warto¶ci ujemne. Przeanalizowa³em dla przyk³adu równanie logistyczne z opó¼nieniem maj±ce postaæ

$\begin{displaymath} \dot x(t) = ax(t-\tau)(1-x(t-\tau))\,. \end{displaymath}$

(3)

Pokaza³em (tw. 2.7), ¿e gdy $a\tau$ jest dostatecznie ma³e, to ka¿de rozwi±zanie równania (3) z danymi pocz±tkowymi $0\le\varphi(t)\le 1$ pozostaje nieujemne, natomiast je¶li $a\tau$ jest dostatecznie du¿e, to istniej± takie dane pocz±tkowe $0\le\varphi(t)\le 1$ , ¿e rozwi±zanie równania (3) z tymi danymi pocz±tkowymi przyjmuje warto¶ci ujemne.

Istotnym zagadnieniem dla równañ ewolucyjnych, szczególnie w zastosowaniach, jest d³ugo¶æ przedzia³u istnienia rozwi±zania. Inaczej mówi±c -- odpowied¼ na pytanie, czy rozwi±zanie istnieje globalnie (dla wszystkich czasów wiêkszych od chwili pocz±tkowej), czy te¿ eksploduje w skoñczonym czasie -- czyli rozwi±zanie (b±d¼ jego norma) d±¿y do nieskoñczono¶ci. Zagadnienie to by³o i jest rozwa¿ane zarówno dla równañ cz±stkowych jak i zwyczajnych. W swojej rozprawie zaj±³em siê tym problemem dla równañ z opó¼nieniem. Zaprezentowa³em wyniki bardziej ogólne od istniej±cych w literaturze. Udowodni³em twierdzenie (tw. 4.1) mówi±ce, ¿e je¶li prawa strona pierwszego równania zagadnienia (1) ma postaæ (2), to do istnienia globalnych rozwi±zañ wystarczy ci±g³o¶æ prawej strony. Rozwa¿a³em nie tylko przypadek przestrzeni $% latex2html id marker 125 ${\rm I\!R}^n$$ , ale tak¿e przestrzeni . Pokaza³em twierdzenia (tw. 4.5, tw. 4.6) gwarantuj±ce globalne istnienie rozwi±zania równania z opó¼nieniem w przestrzeniach $L^p(\Omega)$ , gdzie $\Omega$ jest pewnym obszarem w $% latex2html id marker 133 ${\rm I\!R}^n$$ .

Wiele zjawisk mo¿e byæ (lub jest) opisywanych przy pomocy równañ ró¿niczkowoca³kowych, w tym tak¿e z opó¼nionym argumentem. Rozwi±zania takich równañ s± czasem interpretowane jako gêsto¶æ prawdopodobieñstwa albo ca³ka rozwi±zania jest interpretowana jako maj±ca sens fizyczny (unormowana) masa. Wymaga siê zatem, aby -norma takiej funkcji by³a sta³a (i równa jeden). Istotny wydaje siê tu byæ problem zbadania zachowania siê równañ ca³kowych z opó¼nieniem, w porównaniu do odpowiednich równañ bez opó¼nienia. W swojej rozprawie zbada³em w³asno¶æ zachowania normy dla równañ ró¿niczkowoca³kowych: równaia liniowego i biliniowego. Znane s± warunki konieczne do tego by rozwi±zanie pewnej klasy równañ ró¿niczkowoca³koweych bez opó¼nienia, zachowywa³o normê . Oznacza to, ¿e rozwi±zanie mo¿e byæ interpretowane jako gêsto¶æ prawdopodobieñstwa (rozwi±zanie jest a priori nieujemne dla nieujemnych danych pocz±tkowych). Interesuj±ce jest co siê dzieje po wprowadzeniu opó¼nienia. Pokazane zosta³y warunki wystarczaj±ce do zachowania normy przez rozwi±zanie równania liniowego (tw. 5.1) i biliniowego (tw. 5.3) oraz przyk³ady (stw. 5.2, przyk. 5.1, stw. 5.4) kiedy norma nie jest zachowana. Okazuje siê, ¿e rozwi±zania pewnych równañ ró¿niczkowoca³kowych z opó¼nieniem zachowuje normê w niektórych sytuacjach (gdy jedna z funkcji (oznaczona w pracy przez ) jest sta³a w przypadku liniowym lub nie zale¿y od drugiej zmiennej w przypadku biliniowym). Symulacje numeryczne pokazuj±, ¿e je¶li funkcja nie jest sta³a (lub zale¿y od drugiej zmiennej w przypadku biliniowym) to norma rozwi±zania nie jest zachowana. Symulacje sugeruj±, ¿e mo¿e to byæ zjawisko powszechne.

Podsumowuj±c nale¿y stwierdziæ, ¿e w wielu przypadkach w³asno¶ci równania z opó¼nieniem (nawet bardzo ma³ym) s± ró¿ne od w³asno¶ci odpowiedniego równania bez opó¼nienia.

Marek Bodnar 2001-10-08