Propozycje pytań z matematyki na egzamin magisterski

(dotyczy studentów studiów jednolitych magisterskich)

Autorzy: L.Czaja, G.Grudziński, Z.Marciniak, P.Strzelecki

Pytania ogólne (dla wszystkich studentów)

Relacje równoważności i zasada abstrakcji.
Teoria mocy i liczby kardynalne.
Relacje porządku.
Pojęcie algorytmu i jego cechy.
Podstawowe mechanizmy języków programowania.
Podstawowe elementy architektury komputerów.
Typowe zadania numeryczne.
O pojęciu grupy. Grupy przekształceń.
Przestrzenie i przekształcenia liniowe.
Rozwiązywanie układów równań liniowych.
Granica i ciągłość.
Pojęcie pochodnej.
Całka.
Twierdzenia o wartości średniej.
Twierdzenia o punkcie stałym i ich zastosowania.
O pojęciu odległości.
Podstawowe pojęcia topologii: spójność, zwartość, zupełność.
Najbardziej znane rozkłady prawdopodobieństwa.
Prawa wielkich liczb.
Twierdzenia graniczne w rachunku prawdopodobieństwa.

Przytoczone niżej scenariusze należy traktować jako dość swobodne propozycje układania odpowiedzi na poszczególne pytania. Przy projektowaniu własnej wypowiedzi należy dołożyć szczególnej troski, by:

przytaczać definicje w sposób precyzyjny;
zilustrować omawiane pojęcia odpowiednimi przykładami;
zacytować najważniejsze twierdzenia dotyczące omawianych pojęć;
znać kontrprzykłady, ilustrujące niezbędność założeń;
umieć wskazać zastosowania najważniejszych twierdzeń;
umieć wskazać związki omawianych pojęć z pojęciami z innych działów matematyki.

Zwięzłe szkice dowodów przytaczanych twierdzeń, choć nie wymagane, będą zawsze mile widziane.

Ostateczna ocena zawartości i jakości wypowiedzi należy do członków komisji egzaminacyjnej.

Przykładowe scenariusze odpowiedzi

$\underline{\hbox{Relacje równoważności i zasada abstrakcji}}$

Definicja relacji równoważności. Klasy abstrakcji. Przykłady relacji równoważności i obiektów ilorazowych w różnych działach matematyki (geometria, algebra, analiza). Przykłady zastosowania zasady abstrakcji do konstruowania obiektów matematycznych (np. liczby całkowite, wymierne, $\ldots$ ).

$\underline{\hbox{Teoria mocy i liczby kardynalne}}$

Równoliczność zbiorów. Zbiory przeliczalne. Przykłady przeliczalnych i nieprzeliczalnych zbiorów liczb. Przykłady zbiorów mocy $\aleph_0$ , ${\mbox{\niem c}}$ i $2^{\hbox{${\mbox{\niem c}}$}}$ występujących w różnych działach matematyki. Działania na liczbach kardynalnych. Nierówności między liczbami kardynalnymi: twierdzenie Cantora-Bernsteina; nierówność $2^{\hbox{${\mbox{\niem m}}$}}>{\mbox{\niem m}}$ .

$\underline{\hbox{Relacje porządku}}$

Definicja relacji porządkującej. Elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe i związki między nimi, ilustrowane konkretnymi przykładami. Uporządkowanie liniowe, gęste, dobre - definicje i przykłady. Kres dolny i górny podzbioru zbioru uporządkowanego. Przykłady kresów w analizie i algebrze. Lemat Kuratowskiego-Zorna z przykładami zastosowań.

$\underline{\hbox{Pojęcie algorytmu i jego cechy}}$

$\underline{\hbox{Podstawowe mechanizmy języków programowania}}$

$\underline{\hbox{Podstawowe elementy architektury komputerów}}$

$\underline{\hbox{Typowe zadania numeryczne}}$

$\underline{\hbox{O pojęciu grupy. Grupy przekształceń}}$

Definicja grupy. Przykłady grup w różnych działach matematyki (np. permutacje, grupy przekształceń geometrycznych, grupy macierzy). Podgrupy i twierdzenie Lagrange'a. Działanie grupy na zbiorze i jego zastosowania.

$\underline{\hbox{Przestrzenie i przekształcenia liniowe}}$

Definicja przestrzeni liniowej i przekształcenia liniowego. Przykłady występowania tych pojęć w różnych działach matematyki (geometria, analiza, algebra). Zapis macierzowy przekształcenia liniowego. Wektory i wartości własne. Postać Jordana macierzy.

$\underline{\hbox{Rozwiązywanie układów równań liniowych}}$

Definicja układu jednorodnego i niejednorodnego. Twierdzenie Kroneckera-Capelli i jego interpretacja geometryczna. Porównanie różnych metod rozwiązywania układów równań liniowych (wzory Cramera, algorytm Gaussa itp.). Przykłady problemów prowadzących do rozwiązywania układu równań liniowych.

$\underline{\hbox{Granica i ciągłość}}$

Definicja granicy ciągu liczbowego. Twierdzenia o zbieżności ciągów i szeregów liczbowych; kryteria zbieżności. Zbieżność szeregów potęgowych. Granica funkcji w punkcie. Ciągłość funkcji jednej i wielu zmiennych. Własności funkcji ciągłych (obrazy zbiorów spójnych i zwartych; w szczególności własność Darboux).

$\underline{\hbox{Pojęcie pochodnej}}$

Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i jej podstawowe własności. Pochodna jako najlepsza aproksymacja liniowa. Geometryczny i mechaniczny sens pochodnej. Zastosowania pochodnej. Pochodne cząstkowe i kierunkowe funkcji wielu zmiennych, różniczka przekształcenia $f:{{\rm I\!R}}^n\to{{\rm I\!R}}^m$ , związki między tymi pojęciami i ilustrujące je przykłady.

$\underline{\hbox{Całka}}$

Funkcja pierwotna, Całka Riemanna i całka Lebesgue'a: definicje, podobieństwa i różnice. Przykłady funkcji całkowalnych i niecałkowalnych w sensie Riemanna i Lebesgue'a. Związki całki z obliczaniem pola, objętości itd. Związek z pojęciem miary, całka jako funkcjonał liniowy.

$\underline{\hbox{Twierdzenia o wartości średniej}}$

Twierdzenia Lagrange'a i Cauchy'ego dla funkcji jednej zmiennej (interpretacja geometryczna, przykłady zastosowań). Twierdzenie Lagrange'a dla funkcji wielu zmiennych; różnica między sytuacją jedno- i wielowymiarową. Twierdzenia o wartości średniej dla całek. Twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu całki.

$\underline{\hbox{Twierdzenia o punkcie stałym i ich zastosowania}}$

Definicja punktu stałego przekształcenia zbioru w siebie. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zwężających i jego zastosowania (rozwikływanie funkcji, rozwiązywanie równań różniczkowych). Twierdzenie Brouwera i nieistnienie retrakcji kuli do brzegu. Związek z własnością Darboux.

$\underline{\hbox{O pojęciu odległości}}$

Definicja przestrzeni metrycznej. Przykłady metryk występujących w różnych działach matematyki (geometria, analiza). Pojęcie izometrii. Opis analityczny izometrii w przestrzeni kartezjańskiej ${{\rm I\!R}}^n$ . Przykłady metryk w przestrzeniach funkcyjnych; różne rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych, związki między nimi.

$\underline{\hbox{Podstawowe pojęcia topologii: spójność, zwartość, zupełność}}$

Definicje i związane z nimi intuicje. Przykłady przestrzeni zupełnych i niezupełnych, zbiorów spójnych i niespójnych (składowe spójne, spójność a łukowa spójność), zwartych i niezwartych. Zastosowania tych pojęć w najprostszych twierdzeniach analizy i topologii.

$\underline{\hbox{Najbardziej znane rozkłady prawdopodobieństwa}}$

Definicja rozkładu prawdopodobieństwa. Rozkłady dyskretne: Bernoulli'ego, Poissona, hipergeometryczny. Rozkłady ciągłe: normalny, wykładniczy, Cauchy'ego, $\chi$ -kwadrat. Przykłady zagadnień, w których poszczególne rozkłady się pojawiają.

$\underline{\hbox{Prawa wielkich liczb}}$

Słabe i mocne prawo wielkich liczb (różnica między nimi); związana z nimi interpretacja wartości oczekiwanej i prawdopodobieństwa. Przykłady zastosowania w zadaniach dotyczących np. schematu wielu prób Bernoulli'ego.

$\underline{\hbox{Twierdzenia graniczne w rachunku prawdopodobieństwa}}$

Rozkład normalny. Twierdzenie graniczne Poissona. Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a. Interpretacja i przykład zastosowania. Ew.: twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego.

(Autorzy: Z.Marciniak, P.Strzelecki)

Pytania kierunkowe z matematyki

Metody szukania ekstremów.
Ciągłość, różniczkowalność, gładkość, analityczność funkcji jednej zmiennej.
Metody całkowania funkcji jednej i wielu zmiennych.
Wzór całkowy Cauchy'ego i jego zastosowania.
Równania różniczkowe liniowe.
Długość, powierzchnia, objętość, miara.
Interpolacja i kwadratury.
Skończenie generowane grupy abelowe.
Ciała i ich rozszerzenia.
Zasadnicze twierdzenie algebry.
Algorytm Euklidesa i jego zastosowania.
Przestrzeń afiniczna i jej podzbiory.
Pojęcie krzywizny.
Homotopia i jej zastosowania.
Twierdzenie Baire'a i metoda kategorii.

$\underline{\hbox{Metody szukania ekstremów}}$

Definicja ekstremum funkcji. Związek z pochodną. Warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji klasy (jednej i wielu zmiennych). Ekstrema związane -- interpretacja geometryczna. Metoda mnożników Lagrange'a. Przykłady różnych problemów prowadzących do zadania wyznaczenia ekstremum funkcji.

$\underline{\hbox{Ciągłość, różniczkowalność, gładkość, analityczność funkcji jednej zmiennej}}$

Definicje i związki między nimi. Przykłady na to, że ciągłość $\not\Rightarrow$ różniczkowalność $\not\Rightarrow$ gładkość $\not\Rightarrow$ analityczność (im ciekawsze, tym lepiej: np. przykłady funkcji ciągłych nigdzie nie różniczkowalnych, albo funkcji klasy $C^\infty$ , które na ``dużych'' zbiorach nie są sumami swoich szeregów Taylora).

$\underline{\hbox{Metody całkowania funkcji jednej i wielu zmiennych}}$

Całkowanie przez części i przez podstawienie. Przykłady klas funkcji całkowalnych w kwadraturach. Całkowanie przez podstawienie w wielu wymiarach (rola jakobianu, interpretacja wyznacznika przekształcenia liniowego). Przykłady obliczania sławnych całek, np. $\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2)\, dx$ . Ew.: twierdzenie Stokesa, lub wzory Gaussa-Greena-Ostrogradskiego, całkowanie przez residua.

$\underline{\hbox{Wzór całkowy Cauchy'ego i jego zastosowania}}$

Pojęcie funkcji analitycznej. Całka z funkcji analitycznej po krzywej gładkiej (kawałkami gładkiej, prostowalnej). Całkowanie funkcji analitycznej po krzywej zamkniętej. Wyznaczanie wartości funkcji analitycznej z jej wartości na brzegu obszaru. Zastosowania: oszacowania współczynników Taylora funkcji całkowitej, twierdzenie Liouville'a i zasadnicze twierdzenie algebry, twierdzenie o residuach.

$\underline{\hbox{Równania różniczkowe liniowe}}$

Równanie liniowe -tego rzędu. Redukcja do układu równań rzędu pierwszego. Eksponenta macierzy i ogólna postać rozwiązania równania jednorodnego. Metody rozwiązywania równań niejednorodnych. Przykłady problemów prowadzących do równań liniowych.

$\underline{\hbox{Długość, powierzchnia, objętość, miara}}$

Miara sympleksu i wyznacznik Gramma. Pojęcie krzywej prostowalnej. Idea wyprowadzenia wzoru na długość krzywej klasy . Interpretacja geometryczna wzoru na powierzchnię płata z zadaną I formą podstawową. Różne metody wyznaczania objętości brył w ${{\rm I\!R}}^3$ (wielościany, bryły obrotowe). Podstawowe własności miary Lebesgue'a.

$\underline{\hbox{Interpolacja i kwadratury}}$

Definicja interpolacji wielomianowej Lagrange'a i Hermite'a. Kwadratura i jej rząd. Kwadratury Gaussa. Kwadratury z funkcją wagową i ich związek z wielomianami ortogonalnymi. Kwadratury Newtona-Cotesa.

$\underline{\hbox{Skończenie generowane grupy abelowe}}$

Grupy cykliczne. Opis skończonych grup abelowych. Związek z elementarną teorią liczb (kongruencje, małe twierdzenie Fermata, twierdzenie chińskie o resztach). Wolne grupy abelowe i ich podgrupy. Związek z algorytmem Euklidesa.

$\underline{\hbox{Ciała i ich rozszerzenia}}$

Definicja ciała i przykłady. Rozszerzenie ciał i jego stopień. Przykłady rozszerzeń algebraicznych i przestępnych. Twierdzenie Galois. Rozwiązalność równań wielomianowych przez pierwiastniki. Związek rozszerzeń ciał z klasycznymi problemami konstrukcyjnymi.

$\underline{\hbox{Zasadnicze twierdzenie algebry}}$

Płaszczyzna zespolona. Geometryczna interpretacja działań na liczbach zespolonych. Pierwiastki z jedynki. Sformułownie zasadniczego twierdzenia algebry. Idea jednego z dowodów. Zastosowania: postać rzeczywistych wielomianów nierozkładalnych; związek z rozkładem funkcji wymiernej na ułamki proste.

$\underline{\hbox{Algorytm Euklidesa i jego zastosowania}}$

Opis algorytmu Euklidesa w pierścieniu ${{\mathchoice {\hbox{$\sf\textstyle Z\kern-0.4em Z$}} {\hbox{$\sf\textstyle Z\k... ...scriptstyle Z\kern-0.3em Z$}} {\hbox{$\sf\scriptscriptstyle Z\kern-0.2em Z$}}}}$ . Zastosowanie do znajdowania największego wspólnego dzielnika. Dzielenie wielomianów z resztą i schemat Hornera. Definicja i przykłady pierścieni euklidesowych. Związek z dziedzinami ideałów głównych i z dziedzinami z jednoznacznością rozkładu.

$\underline{\hbox{Przestrzeń afiniczna i jej podzbiory}}$

Definicja przestrzeni afinicznej. Współrzędne barycentryczne i pojęcie środka ciężkości. Podbiory wypukłe i ich własności. Zbiory algebraiczne. Stożkowe i kwadryki -- własności afiniczne i metryczne.

$\underline{\hbox{Pojęcie krzywizny}}$

Pojęcie promienia i środka krzywizny krzywej płaskiej i przestrzennej. Przykłady. Pojęcie ewoluty i ewolwenty. Krzywizna Gaussa i krzywizna średnia płata w ${{\rm I\!R}}^3$ -- interpretacja geometryczna. Theorema egregium i twierdzenie Gaussa-Boneta.

$\underline{\hbox{Homotopia i jej zastosowania}}$

Pojęcie homotopii przekształceń. Przestrzenie homotopijnie równoważne - definicja i przykłady. Przestrzenie ściągalne. Homotopia dróg i pętli i jej zastosowania (topologia, analiza zespolona). Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej. Zastosowania faktu, że $\pi_1(S^1)={{\mathchoice {\hbox{$\sf\textstyle Z\kern-0.4em Z$}} {\hbox{$\sf\te... ...scriptstyle Z\kern-0.3em Z$}} {\hbox{$\sf\scriptscriptstyle Z\kern-0.2em Z$}}}}$ .

$\underline{\hbox{Twierdzenie Baire'a i metoda kategorii}}$

Pojęcie zbioru pierwszej kategorii Baire'a. Przestrzenie metryczne zupełne. Twierdzenia Cantora i Baire'a. Przykłady zastosowań twierdzenia Baire'a do dowodów o istnieniu różnych obiektów matematycznych.

Wybrana literatura w języku polskim:

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej
W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona
R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii
R. Engelking, Topologia ogólna
J. Browkin, Teoria ciał
W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa
A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią
A. Białynicki-Birula, Zarys algebry
A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych
B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej
K. Kuratowski, A Mostowski, Teoria mnogości
J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa
W.I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometria poglądowa