Semestr letni 2005/06

Konsultacje:

Wyniki egzaminu z Obliczen Naukowych w II terminie z propozycja oceny:

Kiedys tu byly... (plik pdf)

Egzamin zakonczony - oceny proponowane sa ostateczne!!!

Ćwiczenia/Lab:

• Obliczenia naukowe
• Równania różniczkowe z labem

Obliczenia naukowe

Treści zadań z egzaminów w I i II terminie

1. czerwiec (obie grupy; plik pdf )
2. wrzesień (plik pdf)

Egzamin przy komputerze II termin we wrzesniu

Wyniki egzaminu z propozycja oceny:

Link do listy - byl...(plik pdf)

Egzamin zakonczony - oceny proponowane sa ostateczne!!!

Program wykladu

• W 1: wstęp - czym są obliczenia naukowe, co będzie na wykładzie (1 wykład)
  
• W 2 -5: wstęp do Octave'a - podstawowe operacje, m-pliki, operacje wektorowe (macierzowe), skrypty, struktury - pętle for,while do until, instrukcje warunkowe if, switch, zmienne globalne, funkcje jako parametry funkcji, kilka użytecznych funkcji, numeryczny elementarz czyli jak przy pomocy octave'a  rozwiązać podstawowe zadania matematyki obliczeniowej (czy inaczej analizy numerycznej), wykresy f. w 2D  i 3D  (część informacji  może być na labie tylko!)- 4 wykłady
  
• W6-7: krótkie przypomnienie/omówienie met. numerycznych rozwiązywania r.r. zwyczajnych  - schematy otwarte, liniowe wielokrokowe vs jednokrokowe (Rungego-Kutty), rząd zbieżności, stabilność, ukł. sztywne czyli dlaczego należy stosować sch. zamknięte (dla u. sztywnych) - literatura jest szeroka; kilka pozycji można znaleźć: tutaj - 2 wykłady 
  
• W8: krótki kurs C (przy załóżeniu że Państwo znacie Pascala) - struktura programu; pliki wsadowe; biblioteki podstawowe (krótko); podstawowe struktury( pętle while(war){};do{..}while(war) ;for(ini;war;kod){..}; instrukcje warunkowe if(war){..}else{..};  switch(wart){case w1:..break;default:}, zmienne, wskaźniki, alokacja pamięci, jak kompilować pod linuxem itp; - 1 -1.5 wykładu
• W9-10: biblioteki numeryczne - omówienie ogólne bibliotek  w tym b. szczegółowo: blas/lapack; w szczególności jak skompilować program używający funkcji/bibliotek  fortranowskich w C; 1-2 wykłady
  
• W11-12: optymalizacja kodu numerycznego;  biblioteki numeryczne - dokończenie; , architektura pamięci komputera w szczeg. jaki wpływ na szybkośc obliczeń ma dostęp do pamięci cache i jak należy to uwzględnić w C; kilka wskazówek jak optymalizować kod w C - rozwijanie pętli (loops unrolling), wynoszenie stałych elelmntów poza pętle (hoisting), rozwijaneie funkcji (function inlining)  opcje kompilatora gcc 1-2 wykłady
• W13: makefile i pomiar czasu procesora ; niektóre użyteczne opcje kompilatora mające wpływ na szybkość programów numerycznych, make - czyli wygodne kompilowanie dużych projektów; jak zmierzyć czas procesora w C - 0.5-1 wykład
  
• W14-15met. rozwiązywania nieliniowych układów równań w tym wielowymiarowa met. Newtona i ewentualnie krótkie omówienie met. iteracyjnych dla układów równań liniowych - 2 wykłady
• (Niestety nie ma czasu) analiza prostego modelu matematycznego - jak można w Octavie rozwiązywać proste modele matematyczne wyrażone przez równania różniczkowe cząstkowe - 1 wykład (opcja - dość prawdopodobna)
• (Niestety nie ma czasu) wizualizacja -krótka informacja o różnych możliwościach w szczeg. co można zrobić w octavie (niestety nie za wiele tyle co w gnuplocie) 1 wykład (opcja )

Kilka przykładowych skryptów, m-plików (plików funkcyjnych ) octave'a, źródeł prostych pogramów w C, źródłowych funkcji z blasów czy LAPACKa

Skrypty m-pliki octave'a

Funkcje z blasów (w Fortranie)

Funkcje z LAPACKa (w Fortranie)

Pomiar czasu w C

Make

Zaliczenie:

Kolokwium

Kolokwium poprawkowe

Program labu/ćwiczeń

1. (sala)zapoznanie się z środowiskiem i komendami unixa i octave'a typu kopiowanie, usuwanie, przenoszenie, szukanie plików, tworzenie katalogów. (22/02/2006)
   
2. wstępne zajęcia z octave'a w labie - octave jako kalkulator, operacje macierzowe (np tworzenie wektorów i macierzy, f. tworzące macierze, jak z macierzy odzyskać podmacierz?, mnożenie macierzy itd, funkcje od macierzy itp),  zapisywanie i odczytywanie danych, jak korzystać z helpa, tworzenie wektorów - operator ":" itp. Skrypty - czyli pliki tekstowe z komendami octave'a - przykładowy skrypt matbasic.m  wywoluje sie linii komend octave'a: matbasic. (1/03/2006)
   
3. Kontynuacja.  Zadanie 1: korzystając z funkcji vander() (tworzy macierz Vandermonde'a) oraz polyval() - oblicza wartość wielomianu - rozwiązać zadanie regresji liniowej tzn dla danych x_k,y_k znaleźć a,b takie że \sum_k |ax_k+b -y_k|^2 osiąga minimum. Porównać z wynikami funkcji polyfit(). Zad2: znaleźć wiel. interpolacyjny dla węzłów rółnoodległych na odcinku [-5,5] dla funkcji f(x)=1(1+x*x) - zbadać duskretną normę max tej funkcji i wiel interpolacyjnego (testować dla 5,10,20 i 30 węzłów). Pliki z funkcjami itp (8 marca 2006 - Święto kobiet!)
   
4. Kontynuacja. Tworzenie skryptów i własnych funkcji. Funkcje linspace, plot (proste wykresy),  Numeryczna klasyka w Octavie: algebra liniowa - układy r. liniowych, rozkłady LU, QR, obliczanie macierzy odwrotnej, liniowe zadania najmniejszych kwadratów, uwarunkowanie macierzy, interpolacja wielomianowa, znajdowanie wiel. pasującego do zadanych punktów: funkcja  polyfit.  Zadanie: korzystając z funkcji vander() (tworzy macierz Vandermonde'a), rozwiązywania układ równań w Octavie,  oraz polyval() - oblicza wartość wielomianu napisać funkcję z parametrami która zwraca  współczynniki wiel. interpolacyjnego P(x) st N=5,10,20,40 na węzłach równoodległych i węzłach Czebyszewa [dla odcinka [a,b] n+1 w. Czebyszewa jest zdefiniowanych jako (a+b)/2  + 0.5(b-a)*cos(0.5*Pi*(1+2k)/(n+1)) ] dla przykładu Rungego tzn na odcinku [-5,5] dla funkcji F(x)=1./(1+x.*x),  narysować wykresy funkcją plot F i P w obu przypadkach. Zrobić to samo wykorzystując funkcję polyfit. Porównać wyniki. Dlaczego dla dużych N - polyfit nie działa (zbadać uwarunkowanie macierzy Vandermonde'a dla dużych N). Przykładowy skrypt: sesja3.m
5. Całkowanie numeryczne (funkcja quad),  całki z osobliwościami, Instrukcja warunkowe if else, switch,  pętle while, do until, operatory logiczne (&& and, || - or, !-not, != - nie rowna sie,  == - rownosc itp), zad 1: zaimplementować wektorowo funkcję daszek (f(x)=f(-x);f(x)=0 poza [-1,1], f(x) =1-x na [0,1]);  zmienne globalne - moga w pewnych sytuacjach sluzyc do przekazania parametru (global). Jak napisac funkcje ktorej jedynym parametrem jest nazwa funkcji postaci y=f(x) liczącej całkową normę L2? (było na wykładzie). Zad2: Zaimplementować tą funkcję i napisać wersję zmodyfikowaną liczącą normę L^p (p-drugi parametr).  Zad3: (dodomu zapewne) napisać funkcję liczącą całkę postaci \int_0^1f(x)x^kdx  dla funkcji postaci y=f(x)  a potem korzystając z tego i macierzy Hilberta   wielomian najlepszej aproksymacji w L2(0,1) .   sesja4.m  16/03/05
6. Rozwiązywanie równań nieliniowych (funkcja fsolve).  Zad 1: rozwiązać kilka prostych r. nieliniowych np cos(x)=1, x*x-4=0; z różnymi przyblżeniami startowymi; Zad 2: przetestować fsolve na trudniejszych przykładach: x*(1+0.5sin(x)=0; (x-1)^2=0; z i bez podawania pochodnej itp Zad 3: zadanie nieliniowe np x1+x2=0; x1^2+x2^2-1=0; Zad 4: przy pomocu fsolve narysować wykres funkcji podanej w sposób uwikłany: np wykres y(x) dla y^2+x^2=1 z y(0)=1 albo y(0)=-1; Zad 5: narysować wykres funkcji odwrotenj do danej formułą - na prostych przykłądach np sin(x) (porównać z arcsin(x)) itp 
   
7. Rozwiązywanie RRzw w octave'ie funkcja lsode.   lsode - przypadki wielowymiarowe; parametry lsode (wybór schematów itp) Zad 1 Narysować wykres funkcji F(s)=y(1,s) zdefiniowanej jako F(s)=y(1,s) gdzie y(t,s) rozwiązanie równania y'=f(y,t) z y(0)=s dla s w [0,1], [-1,1] dla f=y,10y,-10y 0.1*y*y itp Zad 2 przy pomocy lsode i fsolve znaleźć s0 takie że rozwiązanie rółnania y'=y*(1-y)*sin(y*y+x)  z war pocz. y(0)=s0  spełnia  y(1,s0)=0.5. Narysować wykres  F(s)=y(1,s) - potok fazowy dla t=1 i y(t,s0) dla t w [0,1]. Zad 3: przy pomocy lsode i fsolve znaleźć rozwiązanie zadania brzegowego: u''+u*u=f(t) u(0)=u(1)=0 dla różnych f np f=0; f=exp(t) itd Narysować wykres rozwiązania, znaleźć min i max rozwiązania. Przy okazji wykresy funkcji w skali logarytmicznej(loglog) i semilogarytmicznej (semilogy, semilogx), opisy wykresów (3 parametr plot) itp
8. Schematy rozwiązywania równań zwyczajnych. Rozwiązać w octavie (lsode) sztywny układ - schematem adamsa i bdf - porównać czas (lsode_options) np dla układu: x'=998*x+1998*y;y'=-999*x-1999*y z war. pocz. x(0)=y(0)=1 na odcinku [0,10], [0,100] itp   Wykresy funkcji 2-wymiarowych (mesh,surf,contour), eksport rysunkow na drukarke czy do pliku w różnych formatach np ps czy eps (funkcja print - octave-forge). Zad: narysować wykres funkcji sin(x*x+y*y) na [-2,2]x[-1,3] i poziomnice tego wykresu, poziomnice wyeksportować do pliku eps (kolorowego) cont.eps; wyświetlić plik eps przy pomocy ghostview. Chaos: przy pomocy lsode rozwiązać układ zaproponowany przez E.N. Lorentza dx/dt = x - y - x^3; dy/dt = x - x*x*y dla różnych war. początkowych Podsumowanie Octave'a . Z wykorzystaniem funkcji lsode  rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego paraboliczne d/dtu=d^2/dx^2u, u(-1,t)=u(1,t)=0, u(x,0)=u0(x) zadane. Dyskretyzujemy po x  u_xx ~ h^{-2}(u_{n-1} -2u_n +u_{n+1})  otrzymujemy układ r. zwyczajnych  du/dt=h^{-2}Au dla A macierzy 3-diagonalnej z -2 na głównej diagonali i 1 na poddiagonalach. - rozwiązujemy lsode dla różnych  u0 np sin(\pi*x)  czy  funkcją z pikiem u0(x)=0  dla x poza  [-eps, eps]  i u0(x) =(1/eps)((1-x/eps)(1+x/eps))^3 dla eps=0.5,0.1,0.01,0.001. narysować wykres rozwiązanian na [0,1]x[0,3]. (12 kwietnia 2006)
   
9. Kolokwium z octave'a.!!!  treść zadań  (przykładowe rozwiązania  kol06.m  (skrypt; polecenia rysujące są wykomentowane) (26 kwietnia 2006)
   
10. Proste programy w języku C. Zastosowanie wszystkich podstawowych struktur: pętle  while, do while, for, instrukcje warunkowe if, switch,  pliki wsadowe,  wczytywanie danych z klawiatury czy pliku, zapisywanie do pliku czy na ekran (scanf, fscanf,printf, fprintf).  Wskaźniki, wektory, macierze, kompilowanie, argumenty programu (czyli funkcji main()).  Zadanie zsumować wyrazy szeregu harmonicznego 1/x^p dla różnych p.  (10/05/2006)
    
11. Kontynuacje i funkcje fortranowskie w C. Stworzyć  typ strukturalny z 2 polami  - wymiar  i pola wektora. Dynamiczna alokacja pamięci (malloc i free) Zad 1:  napisać 2 funkcje tworzące wektor i go wymazujące (tzn alokoujące odp. pamięc i potem usuwające zaalokowaną pamięć) . Zad 2: użyć funkcji z biblioteki fortranowskiej w C na przykładzie możliwie prostej funkcji z blasów dnrm2.f -obliczającej normę euklidesową wektora (to przykład z wykładu) i dscal.f  -mnoży wektor przez skalar  - napisać swój plik wsadowy (w kodzie programu : #include "mojblas.h") zawierający nagłówki obu funkcji (17/05/2006)
    
12. Macierze w C które mogą służyć jako parametry funkcji w Fortranie tzn trzymane w tablicy kolumnami: Zad 1: napisać makro obliczające pozycje elementu (i,j) macierzy trzymanej w wektorze kolumnami. Zad 2: macierze w blasach (czy ogólniej w Fortranie - zastosować funkcję dgemv.f   do wymnożenia wektora np [1 1]' przez macierz [-2 2;  3 3]. Lapack:   dgesv.f  - funkcja typu driver  służąca do  rozwiązywaniu układu równań liniowych z pełną macierzą (dowolną nieosobliwą).   Zadanie 2 -zastosować makro z zad 1 do definicji macierzy i zastosowąc dgesv.f    do jakiś małych układów (nawet 2x2)  Zadanie 3 - zastosować funkcje dptsv.f  rozwiązującą układy równań liniowych z symetrycznymi trójdiag. macierzami dodatnio określonymi do układu równań powstałego z dyskretyzacji r. Laplaca met . różnic skończonych z zerowymi warunkami brzegowymi ( macier trójdiaonalna 2 na diagonali, -1 na pod- i nad diagonali).  Porównać czas obliczeń z analogicznym uzyskanym w Octavie czyli musimy wiedzić jak zmierzyć czas w C! Zadanie domowe znaleźć funkcję w BLASach level 3 mnożącą przez siebie 2 macierze - zastosować do jakiegoś prostego przykładu np A=[0 2; 3 0] i B= [1 -1; 1 2] policzyć C=A*B za pomocą tej funkcji. (24/05/2006)
13. Make makefile czyli  wygodny sposób na kompilacje- mozliwie prosty makefile:makefile-simple  i bardziej skomplikowany makefile. (a tu mamy kilka plików potrzebnych aby przetestować oba makefile  make.tar.gz).  Dla osób bardziej zainteresowanych manual do GNU make  (link OK w dniu zajęć) Pomiar czasu w C.  - jak zmierzyć czas procesora w C? - funkcja times()  i struktura struct tms (opisana w pliku nagłówkowym sys/times.h  Ponieważ funkcja times zwraca ilość taktów zegara potrzebujemy sysconf(_SC_CLK_TCK)  - zwraca ilośc taktów zegara na sekundę no i pliku nagłówkowego do tej funckji unistd.h.  Zad 1: napisać funkcje tic i toc jak w Octavie z wykorzystaniem funkcji times() - warto obejrzeć plik CPUtimer.c - w make.tar.gz.  Zad 2:  Zmierzyć czas rozwiązywania układu równań z poprzednich ćwiczeń - porównać z Octave'm.   Jak stworzyć swoją biblioteke (statyczną) a potem jak ją używać. Zad 3: stworzyć bibliotekę zawierającą Państwa funkcje np. tic toc czy funkcje dotyczące wektorów/macierzy (31/05/2005)
14.   Implementacja wielowymiarowej metody Newtona w octave'ie i w C z wykorzystaniem lapacka. Zad 1: Napisać w lapacku funkcję rozwiązująą układ nieliniowy przy pomocy met. Newtona - pierwszy argument to tablica 2 elementowa z nazwami funkcji obliczającymi dla danego wektora x wektor F(x) i Jakobian  DF(x) odpowiednio.  Zad 2: Rozszerzyć procedurę na przypadek gdy tablica jest 1 wymiarowa tzn podajemy tylko nazwę funkcji obliczającą F - DF obliczyć przy pomocy różnic dzielonych. Porównać czas działania dla prostego ukłądu np F(x)=[x(1)+x(2)-1; x(1)*x(1)+x(2)*x(2)-1]  oraz F(x,a)=[A*x -a*x; x'*x-1]  (rozwiązanie to para [x,a] spełniająca Ax=ax i ||x||2=1. (7/05/2006)
    

Równania różniczkowe zwyczajna z labem