Laboratorium z Równań Różniczkowych zwyczajnych

• Lab 1 -  Rysowanie pól wektorowych i przybliżonych rozwiązań przy pomocy  apletów java DFIELD  i PPPLANE: na stronie www (znalezc link do java version).  Wstępne zapoznanie sie z systemami  scilab i być może  maple'a (o ile będą mieć Państwo konta na serwerze tomoko).  Przykladowy skrypt scilaba (uruchamiany exec intro.sci z lini komend). Plik tekstowy z krótkim opisem do scilaba.19/02/2004
• Lab 2 - proste funkcje w Scilabie - funkcja ODE() - rozwiązuje równanie różniczkowe zwyczajne i funkcja fchamp() rysuje pole wektorowe. Zastosowanie do przykładów z ćwiczeń. Zaprogramowanie prostych schematow dla równania w 1d - schemat midpoint x(n+2) = x(n) +2 h f(t(n+1),x(n+1)), x(0)=x0 dane - x(1) które przybliża rozwiązanie dokładne w pkcie x(t(0)+h) trzeba jakoś inaczej wyznaczyć z dokładnością rzędu h^2. Napisać w scilabie - przetestować dla równania dx/dt=ax, x(0)=1, a- parametr, porównując ze schematem otwartym Eulera.  Skrypt scilaba w ktorym jest funkcja ze schematem otwartym Eulera. 4/03/2004
• Lab 3 - funkcja dsolve w maple'u - rozwiązuje symbolicznie proste równania różniczkowe. Badanie rzędu eksperymentalne dla równań ze znanymi gładkimi i prostymi rozwiązaniami: Euler otwarty, midpoint i ewentualnie Euler zamkniety dla równania liniowego y'=ay, y(0)=1, rozwiązanie: exp(ax). Testować dla różnych t zmieniając krok h tzn: biorąc h0=0.1 i potem h=h0/2, h0/4 itd Liczyc  stosunek błędu dla h i h/2 czy się zmniejsza np 2 (jak schemat ma rząd 2) albo 4 jak ma rząd 2. Badać błąd podzielony przez h, h^2 itp Czy wychodzi stała? - 18/03/2004
• Lab 4 -  Zaliczenie Zadania 1. Badanie błędu schematu otwartego Eulera eksperymentalne: na ustalonym odcinku liczymy schematem wartośc w końcu odcinka i porównujemy z rozwiązaniem dokładnym (musimy je znać dla danego równania) następnie liczymy błąd, ten proces wykonujmy dla połowionych h tzn najpierw dla h0=0.1 potem h=h0/2,h0/4 itd  Otrzymujemy malejący ciąg błędów - możemy teraz liczyć stosuneki błędu dla h i h/2 powinien od w przybliżeniu wynosić 2^p gdzie p - rząd zbieżności (o ile schemat stabilny) - bo w przybliżeniu e(h)=O(h^p) bliskie C h^p czylu e(h)/e(h/2)= Ch^p/C(h/2)^p=2^p  -1/04/2004
• Lab 5 - równania liniowe skalarne wyższego rzędu. Pakiet w maple'u do rozwiązywania rrzw - funkcja DEplot - 15/04/2004
• Lab 6 - równania liniowe na płaszczyźnie, znajdowanie exponentu od macierzy, wartości własnych wektorów własnych za pomocą   maple'a - przeniesione na następne zajęcia. Pewne rzeczy można też zrobić w scilabie (niesymbolicznie oczywiście). Obrazy fazowe (przy pomocy funkcji funkcji DEplot  w maple'u) albo appletów: DFIELD  i PPPLANE dla różnego typu pkt krytycznych dla 2d równań autonomicznych: ściek, źródło, siodło, ogniska odpychające i ściągające, centrum. - 13 maja 2004
  
• Lab 7 - zaliczenie Zadania 2. - 20 maja 2004
  
 

1. Napisać w scilabie (albo innym języku oprogramowania) implementację schematu Rungego 4 rzędu dla  równania w 2D typu x'=f(t,x,y), y'=g(t,x,y), x(a)=x0, y(a)=y0. Testować min. na równaniach liniowych y'=ay,y(0)=1 i y''=-y, y(0)=1,y'(0)=0, (Rozw: cos(x)) na odcinku [0,1] lub [0,Pi]. Wyrzucać na ekran rozwiązania dokładne i obliczone schematem. Porównywać bład w końcu odcinku  pomiędzy rozw. dokładnym a obliczonym schematem czy błąd zachowuje się jak O(h^4)?
2. Albo zamiast schematu Rungego 4 rzędu - napisać schemat typu predyktor-corrector tylko dla równania skalarnego wykorzystujący schematy zamknięty i otwarty Eulera - wykonując jeden krok metody Newtona (dla  rozwiązywania nieliniowego układu równań w każdym kroku met. zamkniętej Eulera). Testować  na równaniu y'=(cos(y))^2 y(0)=0 na odcinku [0,10]. Zbadać rząd eksperymentalnie poprzez badanie błędu dla  kroku połowionego.

1.  Prosta metoda strzałów dla równania -y'' + g(t)y=f(t), y(0)=c, y(1)=d, g(t)>=0, wystarczy oddać dwa strzały tzn policzyć rozwiązanie dla y(0)=c, y(0)=s1 a potem y(0)=c, y(0)=s2 (s1 różne s2) i obliczyć s dla którego rozwiązanie z warunkami y(0)=c, y(0)=s spełni równanie. jak obliczyć s to dodatkowe zadanie - powinni Państwa to wiedzieć z wykładu i ćwiczeń w odpowiednim momencie. Do rozwiązywania równania zastosować dowolny otwarty schemat rzędu 4 np Rungego rzędu 4 i h=0.1,0.01 oraz itd Testować np dla g(t)=1, t^2  i f(t)=-6*t^3, cos(t),  t^2+sin(t) itd  Drukować na ekranie wykres rozwiązania co pozwoli sprawdzić czy rzeczywiście wychodzi to o co chodzi.
2. Schemat ze zmiennym krokiem całkowania (wystarczy dla r. skalarnego) jak opisany w   książce prof Andrzeja Palczewskiego, rozdział  5.2, str. 151-155. Schemat ma porównywać rozwiązanie dokładne dla równania  z Zad 1 podpkt 2  i y'=-x/y, y(x0)=1,1/2,-1, -1/2 itp (mają znane gładkie rozwiązania) w obliczonych pktach i drukować wykresy na ekranie i  podawać na końcu ilość kroków potrzebną do obliczenia rozwiązania na zadanym odcinku czasu.