|
Dynamika holomorficzna
Wykład
monograficzny dla IV-V roku matematyki
Rok
akademicki 2005/06, semestr zimowy
Prowadzący:
Krzysztof Barański
|
|
Wprowadzenie do teorii iteracji
zespolonych funkcji wymiernych i całkowitych. Podstawowe pojęcia i
metody holomorficznych układów dynamicznych i objaśnienie powstających
tam fraktalnych obrazów (zbiory Julii i Mandelbrota).
Opis:
Na wykładzie przedstawione będą
podstawowe pojęcia i metody teorii iteracji funkcji holomorficznych
(wielomiany, funkcje wymierne, całkowite) na sferze Riemanna. Teoria ta,
powstała w latach 1920-1930 dzięki pracom P.Fatou i G.Julii, rozwinęła
się w latach 1980-1990 w związku z rozwojem technik komputerowych
pozwalających na przedstawienie pojawiających się w niej skomplikowanych
fraktalnych obiektów. Planuję przedstawić następujące zagadnienia:
- Wstęp - przykłady dynamiki funkcji holomorficznych.
- Lokalne zachowanie funkcji holomorficznej wokół punktu stałego -
ścieki, źródła, punkty neutralne wymierne i niewymierne.
- Zbiory Julii dla wielomianów i funkcji wymiernych - podstawowe
własności.
- Orbity okresowe, twierdzenie o klasyfikacji okresowych składowych
Fatou - baseny orbit przyciągających i parabolicznych, dyski Siegela,
pierścienie Hermana.
- Punkty krytyczne a dynamika funkcji, hiperboliczne zbiory Julii.
- Rodzina wielomianów kwadratowych - zbiór Mandelbrota, bifurkacje.
- Metoda Newtona znajdowania pierwiastków dla wielomianów
zespolonych.
- Dynamika funkcji całkowitych i meromorficznych.
Literatura:
- A.Beardon, ``Iteration of Rational Functions'', Springer-Verlag,
New York, 1991.
- L.Carleson and T.Gamelin, ``Complex dynamics'', Springer-Verlag,
New York, 1993.
- J.Milnor, ``Dynamics in one complex variable: introductory
lectures'', preprint IMS Stony Brook 1990/5, http://front.math.ucdavis.edu/math.DS/9201272
- F.Przytycki i Jan Skrzypczak, ,,Wstęp do teorii iteracji funkcji
wymiernych na sferze Riemanna'', preprint IM PAN 30, seria B, 1993.
Założenia:
Funkcje analityczne.